第五章—对流换热分析

第五章 对流换热分析
对流换热是发生在流体和与之接触的固体壁面之间的热量传递过程。

牛顿冷却公式：)(f w t t h q -= W/m 2 A t t h f w )(-=Φ W 对流换热问题分析的目的是：确定h 的数值。

确定的方法有4种：分析法、类比法、实验法、数值法。

第一节 对流换热概述
影响对流换热的因素很多，但不外是影响流动的因素及影响流体中热量传递的因素。

这些因素可归纳为以下五个方面：
1．流体流动的起因
按流体运动的起因不同，对流换热可区分分为：自然对流换热和受迫对流换热。

（1）自然对流（natural convection ）：流体因各部分温度不同而引起的密度不同，在密度差的作用下产生的流动。

（举例：暖气片）
（2）受迫对流(forced convection)：在外力的作用下产生的流动。

（举例：泵、风机） 流动的起因不同，流体中的速度场也有差别，所以换热规律也不一样。

2．流体的流动状态
层流(laminar flow)：流层间不掺混，依靠流体分子的热运动传递热量； 紊流(turbulent flow)：有流体微团的掺混，换热作用增强。

3．流体的热物理性质
流体的热物理性质对于对流换热有较大的影响。

流体的热物性参数主要包括： ① 导热系数λ：λ大，则流体内的导热热阻小，换热强；
② 比热容p c 和密度ρ：p c ρ大，单位体积流体携带的热量多，热对流传递的热量多； ③ 粘度μ：粘度大，阻碍流体流动，不利于热对流。

温度对粘度的影响较大。

④ 体积膨胀系数：在自然对流中起作用。

定性温度(reference temperature)：确定流体物性参数值所用的温度。

常用的定性温度主要有以下三种：
1 流体平均温度f t
2 壁表面温度w t （有时对物性参数作某种修正时，以此作定性温度）
3 流体与壁面的平均算术温度：
2
w
f t t +
4．流体的相变
流体发生相变时的换热有新的规律。

无相变时：主要是显热；有相变时：有潜热的释放或吸收。

5．换热表面几何因素 几何因素主要指：
影响流体的流态、流速分布及温度分布
① 壁面尺寸 ⇒影响流态
② 壁面粗糙度 ③ 壁面形状
如：平板、圆管 ④ 壁面与流体的相对位置
如：内流或外流
定型尺寸或特征长度(characteristic length)：指包含在准则数中的几何尺度。

一般选用对于对流换热的特性起决定作用的物体的几何尺度为定型尺寸。

如：管内流动：取管内径；外掠管
子：取管外径；外掠平板：取板长。

由以上分析可见，表面传热系数是众多因素的函数，即：
),,,,,,,,(l c t t u f h p f w μαρλ=
研究对流换热的目的就是找出上式的具体函数式。

本书将介绍以下一些对流换热过程：
第二节 对流换热微分方程组
一、对流换热过程微分方程式
如图表示一个简单的对流换热过程。

流体以来流速度∞u 和来流温度f t 流过一个温度为w t 的固体壁面。

这里选取流体沿壁面流动的方向为 x 坐标、垂直壁面方向为 y 坐标。

由于粘性作用，壁面上的流体是处于不流动或不滑移的状态，也就是存在一个静止不动的流体薄层。

热量将以导热的方式通过这个薄层实现物体和流体之间的热量传递。

设壁面x 处局部热流密度为x q （下标表示特定地点的局部值，不同x 处的热流密度是不同的），根据傅里叶定律：
x
w x y t q ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=λ 2
/m W （1） 式中：x
w y t ,⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂——x 点贴壁处流体的温度梯度，K/m ，（由近壁处的温度场确定）
λ——流体的导热系数，W/（m ·K ）
又从过程的热平衡可知，这些通过壁面流体层传导的热流量最终是以对流的方式传递到流体中去的，根据牛顿冷却公式，假定f w t t >，则
x f w x x t t h q )(-= 2/m W （2）
式中，x h ——x 点处壁面的局部表面传热系数，W/（m 2·K ）
x f w t t )(-——x 点处壁面温度x w t ,与远离壁面处流体温度f t 的差。

式（1）与（2）相等，得：x w x f w x y t t t h ,)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--
=λ
x w x y t t ,⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂∆-=λ 引入过余温度θ，即w t t -=θ （以壁面温度为基准）
则0=w θ （壁面处流体的过余温度），w f f t t -=θ （远离壁面处流体的过余温度） 记x f w x w f x f w x t t t t )()0()(-=+-=-=∆θθθ，则
x
w x x y h ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∆-
=θθλ
该式称为对流换热微分方程式，它确定了对流换热表面传热系数与流体温度场之间的关系 。

要求解一个对流换热问题 ，获得该问题的对流换热系数，必须首先获得流场的温度分布，即温度场，然后确定壁面上的温度梯度，最后计算出在参考温差下的对流换热系数。

整个壁面的平均表面传热系数h ：
对于附壁薄层，整个换热面上的总的热流量为：
⎰-=⎰=ΦA x x f w x A x x dA t t h dA q )(
若流体与表面间的温差是恒定的，则
⎰=-Φ=
A x x f w dA h A
A t t h 1
)(
思考题：
在流体温度边界层中，何处温度梯度最大？为什么？有人说对一定表面传热温差的同种流体，可以用贴壁处温度梯度绝对值的大小来判断表面传热系数h 的大小，你认为对吗？
对流换热问题的边界条件有两类：第一类边界条件和第二类边界条件。

对于第一类边界条件：壁面温度w t 是已知的，此时需求的是壁面法向的流体温度变化率
x w y t ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂或x
w y ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θ 对于第二类边界条件：壁面热流密度x q 是已知的，相应地x
w y ,⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂θ是已知的，此时需求
的是壁温x w t ,。

由于流体的运动影响着流场的温度分布，因而流体的速度分布（速度场）是要同时确定的。

求解对流换热表面传热系数一般要通过解对流换热微分方程组。

对流换热微分方程组
对流换热微分方程式
⇒h
连续性方程式 ⇒描写速度场 ⇒速度场 运动微分方程式 能量微分方程式
⇒描写温度场
⇒温度场
对流换热过程是流体中的热量传递过程，涉及流体运动造成的热量的携带和流体分子运动的热量的传导（或扩散）。

因此， 流体的温度场与流体的流动场（速度场）密切相关 。

要确立温度场和速度场就必须找出支配方程组，它们应该是， 从质量守恒定律导出的连续性方程、从动量守恒定律导出的动量微分方程、和从能量守恒定律导出的能量微分方程 。

从一般意义上讲，推导这些方程应该尽量少的限制性条件。

但是为了突出方程推导的物理实质而又不失一般性，这里选取二维不可压缩的常物性流体流场来进行微分方程组的推导工作。

2-1 连续性方程
连续性方程为： 0=∂∂+∂∂y
v
x u 2-2 动量微分方程
动量微分方程又称N-S 方程：
在 x 方向上： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂2222y u x u x p
X y u v x u u u μτρ
在 y 方向上 ： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂2222y v x v y p
Y y v v x v u v μτρ
2-3 能量微分方程
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂2222y t x t y t v x t u t c p λτρ 方程左边三项中，第一项为流体能量随时变化项，另外两项为流体热对流项；方程右边为热传导（热扩散）项。

当流体不流动时，流体流速为零，热对流项为零，能量微分方程式
便退化为导热微分方程式，即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂2222y t x t t
c p λτρ。

所以，固体中的热传导过程是介质中传热过程的一个特例。

二维常物性对流换热微分方程组包含的方程为：
0=∂∂+∂∂y
v
x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂2222y u x u x p
X y u v x u u u μτρ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂2222y v x v y p Y y v v x v u v μτρ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂2222y t x t y t v x t u t c p λτρ 对于大多数对流换热问题，尤其是流体流动状态从层流转变为紊流之后的换热问题，采用直接求解微分方程的分析办法几乎是不可能的。

因此，对流换热问题的求解往往是一件较为复杂的工作。

通常分析求解主要针对一些简单问题，如：二维的边界层层流流动、库特流动和管内层流流动换热等。

思考题：
对流换热微分方程式中没有出现流速，有人因此得出结论：表面传热系数h 与流体速度场无关。

试判断这种说法的正确性。

第三节 边界层换热微分方程组的解
3-1 流动边界层(flow boundary layer)
流动边界层理论的基本论点： 1．流场可划分为主流区和边界区；
2．边界层很薄，其厚度δ与壁的定型尺寸相比是个很小的量； 3．在边界层内存在较大的速度梯度； 4．在边界层内流动状态分为层流和紊流。

3-2 热（温度）边界层(thermal boundary layer)
1．定义
当流体流过物体，而平物体表面的温度w t 与来流流体的温度f t 不相等时，在壁面上方形成的温度发生显著变化的薄层，称为热边界层。

2．热边界层厚度
当壁面与流体之间的温差（w t t -=θ）达到壁面与来流流体之间的
温差（w f f t t -=θ）的0.99倍时，即f θθ99.0=，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度,记为t δ。

t δ与
δ一般不相等。

热边界层理论的基本论点：
（1）温度场分为主流区和温度边界层区；
（2）温度边界层厚度远小于壁面尺寸。

l t <<δ，边界层很薄。

温度边界层外，
0≈∂∂y
θ
，可视为等温流动 ⇒ 主流区传热忽略不计（主流区流体间无热量传递） ⇒ 对流换热问题——热边界层内的微分方程组求解。

温度边界层内，↓y ，↑∂∂y
t
，用能量微分方程描述。

理论解求解途径：
（1）精确解：对流换热微分方程组简化→对流换热边界层微分方程组→分析解或数值解→h
（2）近似解：边界层理论→对流换热边界层积分方程组（假设速度、温度分布）→ h 3-3 数量级分析与边界层微分方程
对流换热微分方程组−−−→−数量级分析
对流换热边界层微分方程组 数量级分析：是指通过比较方程式中各项量级的相对大小，把数量级较大的项保留下来，而舍去数量级较小的项，实现方程式的合理简化。

本书以各量在其积分区间的积分平均值判断它的量级。

为了说明问题的实质，分析的对象选为稳态，二维，重力场忽略的受迫对流换热问题。

写出各方程并标出各量的量级。

0=∂∂+∂∂y
v x u 1
1 δδ
x 方向：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222y u x u x p
y u v x u u μρ
1 111[ ]1δδ 1 2δ11
[ ]12δ
y 方向：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222y v x v y p
y v v x v u μρ
1 11[δ ]δδδ δ 2δ1[δ ]2δ
δ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂2222y t x t y t v x t u c p λρ
1 111[ ]1t δδ 2t δ11
[ ]12t
δ
用数量级分析时，相关符号的意义：
（1） “~”——表示“相当于” （2） O （1）——表示“数量级为1” （3） O （δ）——表示“数量级为δ”，指数量级远远小于O （1）的量。

对对流换热微分方程组进行量级分析时，可首先确定5个基本量的数量级。

即： （1）主流速度)1(~O u ∞ （2）主流温度)1(~O t ∞ （3）壁面定型尺寸)1(~O l （4）流动边界层厚度)(~δδO （5）热边界层厚度)(~δδO t
用上述5个量的量级来衡量上述方程中的各量，知：
（1）x 与l 相当，故)1(~O x （x 的变化为从0至l ） 2
dx x 10l
l l =⋅⎰
（2）在边界层中，y 的变化为从0到δ，即δ≤≤y 0，故)(~δO y 2
dy y 10δ
δδ=⋅⎰
（3）u 在0至∞u 间变化，故)1(~O u
（4）
)1(~O x u
∂∂ （5）)1(~O x
t
∂∂
（6）根据连续性方程，得：
x u y v ∂∂-=∂∂，等式两边应有同样的数量级，所以)1(~O y
v
∂∂ （7）y u ∂∂⎰∂∂δδ01~dy y u
⎰∞=u du 01δδ∞=u δ1~
（8）22y u ∂∂21
11~δ
δδ=⋅
（9）)(~δO v
（10）在流动边界层中，粘滞力与惯性力的数量级相同，若密度ρ的数量级定为)1(O ，则)(~2δμO
（11）在热边界层中，导热项与对流项的数量级相等，若)1(~O c p ρ，则)(~2t O δλ （12）在法向动量方程式中，粘滞力和惯性力项的数量级为)(δO ，因此在等式中还须有：
)(~δO y
p
∂∂ 分析x 方向的动量方程知：
x
p
∂∂的数量级将等于或小于)1(O ，这表明，边界层中的压力梯度只沿x 方向发生变化，沿壁面法线方向无压力梯度（
0=∂∂y
p
）。

因此，边界层内任一x 截面的压强与y 无关，而等于主流压强，可将x p ∂∂写为dx
dp。

由伯努利方程（const =+∞2u p 2ρ）得：dx
du u dx dp
∞∞=-
ρ 以上边界层中的压力分布情况，是边界层的又一重要特性。

比较方程组中各项的数量级
y 方向动量方程中各项数量级都是)(δO ，而x 方向动量方程中各项数量级都是)1(O ，两者比较，y 方向动量方程可以从方程组中舍去。

（y 方向惯性力小）（舍去一个方程）
在x 方向动量方程中，)(~2
22δμO x u ∂∂与)1(~22O x
v ∂∂μ相比，可以舍去。

（从一个方程中舍
去一项）
在能量方程中，)(~2
22t O x
t δλ∂∂)1(~22O y t ∂∂λ相比，可以舍去。

这样就得到用边界层概念简化的边界层对流换热微分方程组：
0=∂∂+∂∂y
v
x u 221y u dx dp y u v x u u ∂∂+-=∂∂+∂∂νρ （普朗特边界层方程，1904年） 22y
t a y t v x t u ∂∂=∂∂+∂∂ 式中，
dx
dp
由伯努利方程确定，则上述方程中只有三个未知量：t v u ,,。

（原来为：t p v u ,,,） 对于层流外掠平板，此时主流区中const u =∞，则0=-=∞∞dx
du u dx dp
ρ，则动量方程简化为： 22y
u
y u v x u u ∂∂=∂∂+∂∂ν
利用边界层概念，把原来应在整个流场中求解N-S 方程和能量方程的问题，简化为求解边界层方程（边界层区）和伯努利方程（主流区）。

注意：在const u =∞时，22y u y u v
x u u ∂∂=∂∂+∂∂ν与22y
t
a y t v x t u ∂∂=∂∂+∂∂具有相同的形式，只是ν和a 不同。

这表明，在const u =∞的情况下，动量传递与热量传递有相似的规律。

当ν=a 时，速度场和温度场就相同了，且t δδ=。

为了方便，将方程式改写成无量纲形式，即：
l x X =
，l
y
Y =，2
∞=u p P ρ，∞=u u U ，∞=u v V ，w f w t t t t --=Θ 无量纲化各量数值均在1~0之间。

0=∂∂+∂∂Y
V
X U 22Re 1Y U dX dP Y U V X U U ∂∂+-=∂∂+∂∂ 2
2Pr Re 1Y y V X U ∂Θ∂⋅=∂Θ∂+∂Θ∂ 式中，a
ν
=
Pr ，普朗特数。

虽然边界层中的速度分布与多个变量有关，可是一旦无量纲化以后，自变量的数目就减少了。

（无量钢化的优点：扩大了方程式的概括能力和计算结果的适用性）
总结：微分方程组经过在边界层中简化后，由于动量方程和能量方程分别略去了主流方向上的动量扩散项和热量扩散项 ，从而构成上游影响下游而下游不影响上游的物理特征。

这就使得动量方程和能量方程变成了抛物型的非线性微分方程；且由于动量方程由两个变成为一个，而且
dx
dp
项可在边界层的外边缘上利用伯努利方程求解。

于是方程组在给定的边值条件下可以进行分析求解。

3-4 外掠平板层流换热边界层微分方程式分析解阐述
常物性流体外掠平板层流边界层换热微分方程组为：
0=∂∂+∂∂y v x u 22y u y u v x u u ∂∂=∂∂+∂∂ν 22y t
a y t v x t u ∂∂=∂∂+∂∂ x w x y t t h ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∆λ 解此方程组得出边界层速度场、温度场，进而求出局部表面传热系数。

求解得到的结论如下（对于层流）： （1）边界层厚度δ及局部摩擦系数x f C ,
2
1
Re 0.5-
=x x
δ
和 2
1,Re 664.0-
=x x f C 这里ν
x
u x ∞=
Re
（2）常壁温（const =w t ）平板局部表面传热系数
3
121Pr Re 332
.0⋅=x
x x
h λ
写成无量纲准则关联式的形式：3
121Pr Re 332.0⋅=⋅=
x
x x x
h Nu λ
求解长为l 的一段平板的平均表面传热系数h ：
⎰=l
x dx h l h 01l h l 2Pr Re 332.0231
21=⋅⋅⨯=λ （平均换热系数是l 处局部换热系数的2倍）
所以，3121Pr Re 664
.0⋅⋅=l
h λ
或 3
121Pr Re 664.0⋅=Nu
式中，νl
u ∞=Re ， λ
μρλρ
μν
p p c c a =
==Pr ，（Pr 为物性准则） λ
hl
Nu =
，它反映流体与固体表面之间对流换热的强弱。

定性温度：取边界层平均温度2
w
f m t t t +=。

（3）3
121Pr Re 332
.0⋅=x
x x
h λ
表明流体物性以3
1
Pr 影响换热。

（4）31Pr -=δ
δt
对于1Pr =的流体，边界层无量纲速度曲线与无量纲温度曲线重合，且t δδ=，当1Pr >时，
a >ν，粘性扩散 >热量扩散，t δδ>，当1Pr <时，a <ν，粘性扩散<热量扩散，t δδ<。

（5）对流换热表面传热系数可以用有关准则数来表示，这样可以把影响h 的众多因素用几个准则数来概括，使变量大为减少。

如Pr)(Re,f Nu =
这对问题的分析，实验研究及数据整理，有普遍指导意义。

思考题：对流换热边界层微分方程组是否适用于黏度很大的油和Pr 数很小的液态金属？ 答：对黏度很大的油类，Re 数很低，速度边界层的厚度x δ与x 为同一数量级，因而动量
方程中22x
u ∂∂与22y u
∂∂为同一数量级，不可忽略，且此时由于x δ～x ，速度u 与v 为同一量级，y
方向的动量方程不能忽略。

对液态金属，Pr 数很小，速度边界层厚度δ与温度边界层厚度t δ相比，δ<<t δ，在边界
层内22x t ∂∂～22y t ∂∂，因而能量方程中22x
t
∂∂不可忽略。

第四节 边界层换热积分方程组及求解
描述对流换热的微分方程是建立在微元控制体的质量、动量和能量守恒的基础上的。

它们在一定的假设条件下准确地描述了对流换热现象。

但也应看到，即使是一个极简单的平板对流换热问题，其微分方程组的求解也是相当困难的。

一种近似的方法是建立和求解边界层中的积分方程。

边界层中积分方程是把有限控制体扩展到整个边界层，在这样一个有限控制
体（而不是微元控制体上），满足质量、动量和能量守恒。

4-1 边界层动量积分方程
分析常物性、不可压缩牛顿型流体的二维稳态受迫流动边界层。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎰∞δρ
0)(dy
u u u dx d w dy u u dx du τρδ=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+⎰∞∞0)( 此式是卡门在1921年推导出的边界层动量积分方程。

边界层动量积分方程的特点： 1 适用于层流，也适用于紊流；
2 动量方程只包含x 一个变量，比包含x ，y 两个变量的动量微分方程容易求解；（积分
方程推导时，忽略 y 方向上的参量变化，只注意 x 方向上的参量变化；微分方程对两个方向上的参量均
考虑。

）
3 积分方程的解是近似的。

（从推导过程来看，积分方程只要求控制
体在进出口截面处整体上满足守恒关系，也就是说，只要求在进出口截面上的积分平均满足守恒定律，而不去深究每个质点是否满足动量守恒关系，而微分
方程要求每个流体质点都满足动量守恒关系， 举例来说，积分方程推导中，平面 ab 的质量流量为
⎰l dy u 0
ρ，只要⎰l
dy u 0
相等，即如图所示的两根速度曲线与 y 轴间的面积相等，即认为两者无差别。

实际速度分布完全不同，这是它的解被称为近似解的原因。

）
4 要求解方程，必须先给出边界层速度分布函数)(y f u =的表达式，给出的表达式是否精确，将影响积分结果。

四、外掠平板层流边界层的厚度及摩擦系数
对于∞u 为常数的常物性流体外掠平板层流流动：
const u =∞ ⇒
0=∞
dx
du w w dy
du )(
μτ= 则：⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⋅-⎰∞δρ
0)(dy u u u dx d w
dy du )(μ= 可见，只要选定边界层内的速度分布，上式便可求解。

计算结果的准确程度取决于选定速度分布的准确性。

选用以下有 4 个任意常数的多项式作为速度分布的表达式：
32y d y c y b a u ⋅+⋅+⋅+= （4 个待定常数由边界条件及边界层特性来确定）
由边界层特性知，)(y f u =应满足以下边界条件： （1）0=y 时 0=u
022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w
dy u d 0=y 处，0=u ，0=v ，由22y u
y u v x u u ∂∂=∂∂+∂∂ν 得 022=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛w
dy u d （2）δ=y 时 ∞=u u
0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δ
dy du δ=y 处，0==dy du μτ 得 0=dy du
根据上述边界条件，求得：0=a ，δ∞=
u b 23，0=c ，3
21δ∞-=u d 于是速度分布表达式为： 3
2123⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∞δδy y u u
则，=w dy du )(∞∞⎪⎭
⎫
⎝⎛-u y u 2
2323δδδ∞=
u 23 ⇒ δμτ∞=u w 23 再对动量方程进行积分，得：
δ
μδρ23280392∞∞=u dx d u ⇒ dx u d ∞=
νδδ13140 并注意到 0=x 时 0=δ，则对上式从x →0积分，得：
⎰
⎰
∞
=x
dx u d 00
13140ν
δδδ
⇒ ∞
=u x
νδ64
.4， 其无量纲表达式为：
x u x ∞=ν
δ64.4x
Re 64
.4=
（νx u x ∞=Re ） （微分方程的解：21
Re 0.5-=x x δ） 壁面局部粘滞应力w τ为：δμτ∞=u w 23x
u Re 323.02
∞
=
ρ 在工程计算中，常使用局部切应力与流体动压头之比，称为摩擦系数，亦称范宁摩擦系数，即：x
w x
f u C Re 646
.02
2
,==∞ρτ （ 微分方程的解：21
,Re 664.0-=x x f C ） 在长度为l 的一段平板上的层流平均摩擦系数为：
Re
292.121,0,===
⎰l f l x f f C dx C l C 4-2 边界层能量积分方程
把能量守恒定律应用于控制体可推导出边界层能量积分方程。

控制体：x 方向上长为 dx ， y 方向上大于流动边界层及热边界层厚度，而 z 方向上为单位长度。

为简化方程的推导，设定的换热条件为：
（1）壁温为w t ，主流温度为f t ，主流速度为∞u ，稳态对流换热从0=x 开始。

（2）流体为常物性，且1Pr >。

（即δδ<t ，工程常用流体满足此条件） （3）流体无内热源，流速不高，不考虑粘性耗散热
在边界层数量级分析中已经得出结论：2222y
t
x t ∂∂<<∂∂ ，所以推导中仅考虑 y 方向的导热。

w
f y t a dy u t t dx d t
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰δ0)( —— 常物性，流体边界层能量积分方程 边界层能量积分方程与边界层动量积分方程一起组成对流换热边界层积分方程组。

四、外掠平板层流热边界层厚度及表面传热系数
以稳态、常物性流体外掠常壁温平板层流换热作为讨论对象
为求解边界层能量积分方程，不仅要选定边界层中的速度分布，同时还要选定边界层中的温度分布。

选用多项式的边界层温度分布表达式： 32y d y c y b a t ⋅+⋅+⋅+= 热边界层中的边界条件为： （1）0=y 时 w t t =
022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w
dy t d 0=y 处，0=u ，0=v ，由22y t y t v x t u ∂∂=∂∂+∂∂ν 得 022=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛w
dy t d （2）t y δ=时 f t t =
0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t dy t d δ 因为 δ=y 处，0)(=-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-f f t t h dy dt t
δλ
根据上述边界条件，求得：w t a =，t
w
f t t b δ-=
23，0=c ，3
21t w f t t d δ--= 引入过余温度θ：w t t -=θ，于是边界层中温度分布表达式为： 3
2123⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=t t f y y δδθθ 根据上式及边界层中速度分布，求解边界层能量积分方程得：
（1）热边界层厚度：3
1Pr -≈δ
δt
31
Pr 025.11-=δδt 这个结论是在1Pr >的前提下得到的，对1Pr >的流体才适用。

但对于空气，7.0Pr =，上式也可以近似适用。

但对于液态金属（1Pr <<）和油类（Pr 数较高）则不适用。

进一步理解a
ν
=
Pr 的物理意义：
ν表示流体分子传递动量的能力，a 表示流体分子传递热量的能力。

二者的比值反映了流体的动量传递能力与热量传递能力之比的大小。

Pr 越大，表示传递动量的能力越大。

（2）局部表面传热系数x h
t
f f w w f w x t t dy dt t t h δθλλ
23⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31
21Pr Re 332.0⋅=x x λ 其无量纲表达形式为：3
121
Pr Re 332.0⋅=x
x Nu （与微分方程所得的精确解相吻合）
引入斯坦登准则：∞
==
u c h Nu St p x
x x x ρPr Re 是Nu 、Re 、Pr 三者的综合准则 则：21
3
2Re 332.0Pr -=⋅x x St
长为l 的一段平板的平均表面传热系数h ：
⎰=l
x dx h l h 0131
21Pr Re 664.02⋅⋅==l h l λ ν
l u ∞=Re 特征尺度为平板长度 l
3
12
1Pr Re 664.0⋅=Nu λ
hl
Nu =
2
13
2
Re 664.0Pr -=⋅St ∞
==
u c h
Nu St p ρPr Re 计算物性参数用的定性温度为边界层平均温度：2
f
w m t t t +=
[例5-2] 自学
第五节 动量传递与热量传递的类比
比拟理论：利用两个不同物理现象之间在控制方程方面的类似性，通过测定其中一种现象的规律而获得另一种现象基本关系的方法。

紊流换热比层流换热更困难。

紊流流动时，流动阻力系数的实验数据相对地比较容易确定。

热量传递和动量传递具有类比性，类比原理就利用紊流阻力系数来推算紊流换热系数。

类比原理使用于层流、紊流以至分离流。

类比的思路：
动量传递：
ν——阻 力——阻力系数 实验−→−
阻力系数−−→−类比换热系数
热量传递；a ——热流密度——换热系数 本节分析类比原理 在紊流换热中的应用。

5-1 紊流动量传递和热量传递
紊流传递的机理，除了有和层流一样的分子扩散传递外，还有流体质点脉动带来的传递动量和热量的机理。

紊流时，动量传递和热量传递的大为增强是依靠后一种机理。

1 脉动引起的动量传递
脉动传递的动量为：''u v ρ- （单位时间通过垂直于'v 的单位面积传递的动量）
紊流动量传递的净效果可用此量的时均值表示为：''u v t ρτ-=
这里，t τ—紊流切应力，下标t 表示紊流，亦称雷诺应力（Reynolds stress ）
由于脉动值难于确切表达，使用不便。

通常仿照层流粘滞应力计算式的形式，将紊流粘滞应力与当地时均速度变化率联系起来，表示成：dy
du
u v m
t ερρτ=-='' 2/m N 式中，m ε—紊流动量扩散率(momentum eddy diffusivity)（或称为紊流黏度），s m /2，可由实验测定。

dy
du
—紊流时均速度梯度，s /1 2 脉动引起的热量传递 脉动传递的热量为：''t v c p ρ
紊流热量传递的净效果可用此量的时均值表示为：''t v c q p t ρ= 为了避免用脉动值，通常仿照层流导热计算式的形式（dy
dt
a c dy dt q p l ρλ
-=-=）表示为： dy
dt c t v c q h
p p t ερρ-=='' 式中，h ε—紊流热扩散率(thermal eddy diffusivity)，s m /2。

dy
dt
—紊流时均温度梯度，m K / 3 注意：m ε和h ε虽分别与运动黏度ν和热扩散率a 相对应，也具有扩散率的单位s m /2，但它们不是流体的物性，它们只反映紊流的性质，与雷诺数、紊流强度以及离壁面距离有关。

h
m
t εε=
Pr 称为紊流普朗特准则（turbulent Prandtl number ）。

它的数值随紊流边界层中的位置有所变化，一般在0.9~1.6之间。

1Pr =t ，意味着动量和热量的紊流传递相同，无量纲速度场与无量纲温度场重合。

4 综上所述，紊流总粘滞应力为：层流粘滞应力l τ与紊流粘滞应力t τ之和，即：
dy
du m t l )
(ενρτττ+=+= 紊流总热流密度为：层流导热量l q 与紊流传递热量t q 之和，即：
dy
dt a c q q q h p t l )
(ερ+-=+= 以上两式是紊流传递过程分析的基本关系式。

5-2 雷诺类比（Reynolds analogy ）（两个主要假设：1Pr =，1Pr t =）
1 对于层流：
0=m ε，0=h ε ⇒
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫==-==dy
du
dy
dt a
c q q l p l ν
ρττρ （两式相除）⇒ du dt q l
l
⋅-
=μλτdy
u d dy t c d dy u d dy t c d c dy c dy c du dt p p p p p )()
(Pr 1)()
(ρρρρμλρρμλ⋅
-=⋅-=⋅⋅-= 式中，dy
t c d p )(ρ——热量梯度，决定热量交换的速率；
dy
u d )
(ρ——动量梯度，决定动量交换的速率。

上式表达了层流热量和动量传递的类比关系。

当1Pr =时，上式可改写为：
du
dt c q p l
l
⋅
-=τ 2 对于紊流：
雷诺的分析采用一个很粗糙的一层模型，假定整个流场是由单一的紊流层构成，即认为
不存在层流底层（即在雷诺考虑的紊流流场内，紊流传递作用远大于分子扩散作用，m εν<<，h a ε<<）。

此时，
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫-====dy
dt c q q dy
du
h
p t m
t ερρεττ ⇒ du dt c q m h p ⋅⋅-=εετ
取1Pr ==
h m t εε， 则有： du
dt
c q p ⋅-=τ （这里u t ,取时均值） 上式表达了紊流热量和动量传递的类比关系。

当1Pr Pr ==t 时，层流和紊流的热量与动量的类比关系形式一致。

3 推导紊流摩擦系数与表面传热系数的关系 在一层模型中，认为
τ
q
等于壁面的比值w w q τ，并作常数处理，则：
du
dt
c q p w
w
⋅
-=τ ⇒ dt c du q p w w ⋅-=⋅τ ⇒ ⎰⎰
⋅-=⋅∞
f
w
t t p w u w dt c du q τ0
⇒ )(w f p w w t t c u q -⋅⋅-=⋅∞τ ⇒
⎪⎭
⎪
⎬⎫
-=-⋅
⋅=-⋅
⋅-=∞∞)(f w w f w p w w
f p w w t t h q u t t c u t t c q 又ττ ⇒ ∞⋅⋅=u c h p w 1τ ⇒ ∞=u c h w p τ −−−→−∞
u ρ1
同乘 2∞∞=u u c h w p ρτρ ⇒ 2
f C St = （雷诺类比的解） 对于局部传热系数x h 和局部摩擦系数x f C ,，则：2
,x f x C St =
以上解表达了紊流表面传热系数和摩擦系数间的关系，称为简单雷诺类比律。

这样，已知摩擦系数，就可推算表面传热系数。

注意：上面的解只适用于1Pr =的流体，当1Pr ≠时，用3
2
Pr 修正St ，则：2
Pr 3
2f C St =
⋅，
此式为柯尔棚类比律，或称为修正雷诺类比（modified Reynolds analogy ），定性温度为：
2
f
w m t t t +=
，适用于：50~5.0Pr =
5-3 外掠平板紊流换热
流体平行流过平板的流动换热过程如图所示，是典型的边界层流动问题，对于边界层层流流动换热可以通过边界层微分方程组的求解获得相应的准则关系式，而紊流问题也可以通过求解边界层积分方程而得出相应的准则关系式。

这里不对其进行详细的分析，而是给出其结果。

层流与紊流的区分是根据临界雷诺数：5105Re ⨯=c
对于光滑平板，平板紊流局部摩擦系数：。