(完整版)新北师大初三三角函数知识点总结及中考真题汇总有答案

锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

A 90
B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边
邻边 C A
90B 90∠-︒=∠︒
=∠+∠得由B A
8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
9、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线
水平线
视线
视线俯角
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做
坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h
i l
=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h
i l
α=
=。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

:i h l =h
l
α
要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题
1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）
A ．35
B ．
43 C ．34 D ．45 【解析】选C. tan α4
3
==
角的邻边角的对边αα. 2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1
3，则sin B ＝（ ）
A ．
1010 B ．23
C ．
3
4
D ．
310
10
【解析】选D. 3
1
tan ==
AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=310
sin AC B AB =
= 3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为
3
2
，2AC =，则sin B 的值是（ ）
A ．
23 B ．32 C ．34 D ．43
【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为
3
2.得AD=
3. sin B =.3
2sin ==AD AC D 4.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）
A．
3
sin
2
A=B．
1
tan
2
A=
C．
3
cos
2
B=D．tan3
B=【解析】选D在直角三角形ABC中，1
BC=，2
AB=，所以AC＝3；所以
1
sin
2
A＝，
3
cos A＝，
3
tan A=；
3
sin B＝，
1
cos
2
B＝，tan3
B=；
5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC
△中，CD是斜边AB上的中线，已知2
CD=，3
AC=，则sin B的值是（）
A．
2
3
B．
3
2
C．
3
4
D．
4
3
【解析】选C.由CD是Rt ABC
△斜边AB上的中线，得AB=2CD=4.∴
sin B
4
3
=
=
AB
AC
6.（2007·泰安中考）如图，在ABC
△中，90
ACB
∠=o，CD AB
⊥于D，若3
AC= 32
AB=tan BCD
∠的值为（）
（A2（B）
2
2
（C）
6
3
（D）
3
3答案：B
二、填空题
A
C
B
D
7.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6 cm，
5
3
sin=
A，则AB
的长是 cm．
【解析】,
5
3
6
sin=
=
=
AB
AB
BC
A解得AB=10cm
答案：10
8.（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边
OA上有一点P（3，4），则sinα=．
【解析】因为P（3，4），所以OP＝5，所以
4
sin
5
α=；
答案：
4
5
；
9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，
3
sin
5
A=，则这个菱形的面积= cm2．
【解析】.
5
3
10
sin=
=
=
DE
AD
DE
A解得DE=6cm.∴10660
=⨯=⨯=
LING
S AB DE cm2.
答案：60
三、解答题
10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是
河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin
∠DOE =12
13
．
（1）求半径OD；
A
O
B
E
C D
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
【解析】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24（m），
∴ED =1
2
CD=12（m）．
在Rt△DOE中，∵sin∠DOE =ED
OD =12 13
，
∴OD =13（m）．
（2）OE5（m）
∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．
11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE BC
=，DF AE
⊥，垂足为F，连接DE．
（1）求证：ABE
△DFA
≌△；
（2）如果10
AD AB
=，=6，求sin EDF
∠的值．
【解析】（1）在矩形ABCD中，
90
BC AD AD BC B
=∠=
，∥，°
DAF AEB
∴∠=∠
DF AE AE BC
⊥=
Q，
90
AFD B
∴∠=∠
°=
AE AD
=
ABE DFA
∴△≌△．
（2）由（1）知ABE DFA
△≌△
6
AB DF
∴==
在直角ADF
△中，
8
AF===
2
EF AE AF AD AF
∴=-=-=
在直角DFE △中，
222262210DE DF EF =+=+= 210
sin 10
210EF EDF DE ∴∠=
==
． 12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =5
4
，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．
【解析】在Rt △ABC 中, ∠C =90°, AB =15
A sin =
AB BC =5
4
, ∴ 12=BC 912152222=-=-=BC AB AC
∴周长为36,BC 124
tan A .AC 93
=
== 13.（2008·肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.
【解析】在Rt △ABC 中，c =5，a =3． ∴ 22a c b -=2235-=4=
∴ 53sin ==
c a A 43
tan ==b a A ．
14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，
(1) 求证：AC=BD ； (2)若12
sin 13
C =
，BC =12，求AD 的长．
【解析】(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ． ∴∠ADB =90°，∠ADC =90°． 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中， ∵tan B =
AD BD ，cos DAC ∠=AD
AC
又已知
tan cos B DAC =∠
∴
AD BD =AD AC
．∴AC=BD ． (2)在Rt △ADC 中， 12
sin 13
C =，故可设A
D =12k ，AC =13k ．
22DC AC AD 5k
AD AD BD 13k
tan B cos DAC BC 13k 5k 12
2
k ,AD 8.
3
∴=-====∠∴=+=∴== 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题
1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（ ）
A ．
3 B ．
2 C ．12
D ．
3 答案：C
2.（2009·长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，
452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）
A ．2，
B ．2)，
C ．211)，
D ．(121)，
答案：C
3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A ．8米
B ．83
C 83
D 43
米
答案：C
4.（2008·宿迁中考）已知α为锐角，且2
3
)10sin(=
︒-α，则α等于（ ） Ａ．︒50 Ｂ．︒60
Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 答案：Ｃ
5.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）
A ．1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，
B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，
C ．1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，
D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
， 答案：A
6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+o o o g
等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 答案：C
二、填空
7. （2009·荆门中考）104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．
【解析】104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---
331
4()121
3()1
232=⋅
⋅+--=+--= 答案：2
3
8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．
答案：43
9.（2008·江西中考）计算：（1）1
sin 60cos302
-
=o o g ． 【解析】1sin 60cos302
-=o o g .412143212323=-=-⨯ 答案：
1
4
10.（2007·济宁中考）计算
sin 60tan 45cos30︒
-︒︒
的值是 。

答案：0 三、解答题
11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－
3
3
tan30°－tan45° 【解析】3－1+(2π－1)0－
3
3
tan30°－tan45° 11
11330=
+--=
12.（2009·崇左中考）计算：0
200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭
°°．
【解析】原式=332311⨯
-⨯+-=0． 13.（2008·义乌中考）计算：33sin 602cos 458-+o o
【解析】33sin 602cos458-+=o o 323222
⨯-⨯+ =2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题
1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A．8米 B ．83米 C．
83
3
米 D．
43
3
米
【解析】选C. 梯子的长至少为
3
3
8
60
sin
4
=（米）.
2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（）
A．1
4
B．4 C．1
17
D．4
17
答案：A
3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之
间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）
A. α
cos
5 B.
α
cos
5
C. α
sin
5 D.
α
sin
5
答案：B
4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距
离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）
A．5m B．6m C．7m D．8m
5
A
B
【解析】选A 由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m ，相邻两树间的垂直距离为h ，则
0.754
h
=，则h ＝3m ，所以坡面距离为5m ； 5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得
30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．
A ．25
B ．253
C ．
1003
3
D ．25253+
【解析】选B 过点B 作BE ⊥AD 于点E ，在直角三角形BAE 中，0tan 30,BE AE
=
则0,tan 30BE AE =
在直角三角形BCE 中，0
tan 60,BE CE =则0
tan 60BE CE =。

所以AE-CE=AC=50,即00
50,tan 30tan 60
BE BE
-=解得BE ＝253； 二、填空题
6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为
3
5
，则坡面AC 的长度为 m ．
【解析】因为sin ∠ACB =5
3
6==AC AC AB ,所以AC=10 答案：10.
7.（2009·衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_________.
答案：1:2
8. （2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，
则海轮行驶的路程AB 为 _____________海里（结果保留根号）．
【解析】∵402
2
24045sin 0=⨯
===AP PC AC , 3403
3
40
30tan 0
===
PC BC ∴40340+=+=AC BC AB 答案：()
40340+
9 (2009·安徽中考) 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．
【解析】当梯子与地面夹角为045时，梯子顶端高为04sin 4522()m =； 当梯子与地面夹角为060时，梯子顶端高为04sin 6023()m =， 所以梯子顶端升高了32);m 答案：32)；
10.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，
3
cos 4
BAC ∠=
，则梯子长AB = 米.
答案：4
11.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏
杆上，严重影响了同学们的行走安全。

他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）
答案：1.28
三、解答题
12.（2009·庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如（2）
是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（3 1.7
≈，结果精确到整数）
【解析】如图，过点B作BC⊥OA于点C
∵∠AOB=45°，∴∠CBO=45°，BC=OC．
设BC=OC=x，∵∠OAB=30°，
∴AC=BC×tan60°=3x．
∵OC+CA=OA，∴x+3x=60，
∴ x =3
160+≈22（cm ）．
即点B 到OA 边的距离是22 cm ．
13.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB 的高度为1.5米，测得仰角α为30°，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）
【解析】在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP =米 MP=10·tan300 =10×3
3
≈5.773米 因为 1.5AB =米
所以MN=1.5+5.77=7.27米 答：路灯的高度为7.27米
14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。

【解析】如图，过B 点作BD ⊥AC 于D
∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB ＝90°－45°＝45° 设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°＝3x 在Rt △BDC 中，BD
＝DC ＝x BC ＝2x
又AC ＝5×2＝10 ∴310+=x x ， 得5(31)x =-， ∴25(31)5(62)BC =⋅-=-（海里） 答：灯塔B 距C 处5(62)-海里
15.（2009·常德中考）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，
3 1.73≈，结果保留整数）．
【解析】设山高BC =x ，则AB =1
2
x ，
tan 3012002
BC x BD x =
=
+o ，得 (231)400x =，
解得400(231)162231
x +=-米
16.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

(236 2.449=== )
【解析】（1）在Rt ABC △中，
5
sin 452(m)2AC AB ==
o g 5
cos 452(m)2BC AB ==o g
Rt ADC △中
52(m)sin 30AC
AD =
=o
5
6(m)tan 302AC CD ==o
2.07(m)AD AB ∴-≈
改善后的滑滑板会加长2.07m ． （2）这样改造能行．
因为 2.59(m)CD BC -≈，而63 2.59->。