数学-江苏省南通市2023届高三上学期期末模拟数学试题(解析版)
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C. D.若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】赋值法求 的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得 的值有周期性，即可求得 的值，判断D.
【详解】对于A，令 ，则由 可得 ，
故 或 ，故A错误；
对于B,当 时，令 ，则 ，则 ，
故 ，函数 既是奇函数又是偶函数；
【详解】直线 过抛物线焦点 ，设 ， ，
则 ， ， ， ，
，A错误；
中点坐标为 ， ， ，
圆方程为： ，取 得到 ， ，B正确；
不妨取 ， ，
故 ， 不共线，故 是钝角，C正确；
， ，
，D正确；
故选：BCD
12.已知函数 及其导函数 的定义域均为R，对任意的 ， ，恒有 ，则下列说法正确的有（）
A. B. 必为奇函数
上两式相加得： ，
故有： ，
在 中由正弦定理得： ，
因此 ， .
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列结论正确的是（）
A.若随机变量 服从两点分布， ，则
B.若随机变量 的方差 ，则
D选项： ， ，D选项错误；
故选：BC
11.设抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，直线 与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（）
A. B.
C. 是钝角D. 的面积小于 的面积
【答案】BCD
【解析】
【分析】联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算 ，A错误；计算圆方程为： ，计算得到B正确；计算 ，得到C正确； ， ，D正确；得到答案.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
由 平面 ，
得 ，即 ，化简可得 ，
所以动点 在直线 上，
A选项： ， ， ，所以 与 不垂直，所以A选项错误；
B选项： ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B选项正确；
C选项：动点 在直线 上，且 为侧面 上的动点，则 在线段 上， ，所以 ，C选项正确；
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合 ，则 （）
A. B.
C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合 ，根据集合的并集运算即可得答案.
所以 ，
解得 或sin ,
当 时， ， ，
所以 ， ；
当 时，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由角平分线定理可知， ，又 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
∴ ， ，
所以 ．
18.已知数列 成等比数列， 是其前 项的和，若 成等差数列.
（1）证明： 成等差数列；
（2）比较 与 的大小；
所以数列 是以 为首项 为公比的等比数列，
则 ， ，
故 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 或5，
即所有n的和为 .
故答案为：9.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.
17.在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
对D：若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ，
故 ，故正确.
故选：CD.
10.已知正方体 的边长为2， 为 的中点， 为侧面 上的动点，且满足 平面 ，则下列结论正确的是（）
A. B. 平面
C.动点 的轨迹长为 D. 与 所成角的余弦值为
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项.
又过 ，
代入点斜式得切线方程为： 或 ，
故答案为： 或 .
16.设数列 首项 ，前n项和为 ，且满足 ，则满足 的所有n的和为__________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据 求出数列 的通项，再根据等比数列的前 项和公式求出 ，从而可得出答案.
【详解】解：由 ，得 ，
两式相减得 ，
则 ，
当 时， ，所以 ，
【答案】星期五
【解析】
【分析】利用周期含义以及指数运算即可.
【详解】根据题意，周期为 ， ，所以 除以 的余数为1，即
经过 天后，为星期五.
故答案为：星期五
14.单位圆中， 为一条直径， 为圆上两点且弦 长为 ，则 取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题设 ，再根据数量积坐标运算计算即可.
对于选项C与D，令函数 得 ，
令 得 ，所以 在 上单调递减
所以当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，故D正确．
故选：D
8.已知四棱锥 外接球表面积为 ，体积为 平面 ，且 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将已知 转化为 ，运用余弦定理与基本不等式得到AC的取值范围，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 得 ，对AB，构造 ，根据零点存在性定理判断即可；对CD，构造函数函数 ，求导分析函数单调性，结合所给不等式判断即可.
【详解】由 得 ，
对于选项A与B，函数 在 上单调递增，则存在 ，使得 ，即 ，又 且 ，所以 ， 均有可能，即 与a大小不确定．故A与B都不正确．
【小问2详解】
由（1）得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
【小问3详解】
由（1）和题意得，
，
所以 ，
所以
.得证
19.2020年，新冠病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情，我们伟大的祖国以人民生命至上为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，控制住了疫情的蔓延并迅速开展相关研究工作．某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压…）是否与更容易感染新冠病毒有关，他们对疫情中心的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如下表：
【详解】解 得 ，解 得 ，
故得 ，
故 ，
故选：B．
2.已知复数 ，满足 ，且复数 在复平面内位于第一象限，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解.
【详解】设 ，
则 ，
则 ，所以 ，
， ，所以 ，
则有 ，解得 ，
又复数 在复平面内位于第一象限，所以 ，
则 ，
消去 得
由 ，得 ，
设切线 的方程为 ，
联立 ，
消去 得 ，
由 得 ，
又直线AC与BD的斜率之积为 ，
.
故选：C
6.已知函数 为 的零点， 为 图象的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为
A.11B.9
C.7D.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（ ， ）上单调，可得ω的最大值．
当 时，令 ，则 ，所以 ，
为偶函数，则 为奇函数；
综合以上可知 必为奇函数，B正确；
对于C，令 ，则 ，故 。
由于 ,令 ,即 ，即有 ，故C正确；
对于D，若 ，令 ，则 ，则 ，
故令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
由此可得 的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
南通市2023届高三上学期期末质量监测模拟
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.
【详解】∵x 为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（ ， ）上单调，则 ，
即T ，解得：ω≤12，
当ω＝11时， φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ| ，
∴φ ，
此时f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；
当ω＝9时， φ＝kπ，k∈Z，
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出切线AC和BD的方程，与椭圆方程联立消去 ，根据判别式 ，求得 的表达式，根据AC与BD的斜率之积求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得.
【详解】设内层椭圆的方程为 ，
由离心率相同可知，外层椭圆的方程为 ，
如图，
设切线 的方程为 ，
代入可得 ．
故选：C
3.已知数列 是递增数列，且 ，则实数t的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.
【详解】因为 ， 是递增数列，
所以 ，解得 ，
所以实数t的取值范围为 ，
故选：C
4.俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产 直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的. 年，为了远程性和安全性上与美国波音 竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了 ，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的 .假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 ，且各引擎是否有故障是独立的，已知 飞机至少有 个引擎正常运行，飞机就可成功飞行； 飞机需要 个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使 飞机比 飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（）
C.若随机变量 服从二项分布 ，则
D.若随机变量 服从正态分布 ， ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若随机变量 服从两点分布， ，则 ，故A错误；
对B：若随机变量 的方差 ，则 ，故错误；
对C：若随机变量 服从二项分布 ，则 ，故正确；
由此运用正弦定理得四边形ABCD外接圆半径的范围，然后根据球的性质得球半径的
范围，得解.
【详解】
以四边形ABCD的外接圆为底，PA为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.
设内接圆柱的底面半径为r、R外接球的半径，,则 ，
，故 ，
，
所以
在 中运用余弦定理与基本不等式得：
，
在 中运用余弦定理与基本不等式得： ，
故 ，故D正确，
故选：BCD
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定 的周期性.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过 天后是__________.
（1）若 ，求tanC的值：
（2）已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 求△ABC的面积．
【答案】（1） 或 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用同角关系式可得 或sin ，然后利用和角公式即得；
（2）由题可得 ，利用角平分线定理及条件可得 ，进而可得 ， ，即得.
【小问1详解】
因为 ，
（3）若 ， 为大于1的奇数，证明：
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差中项得 ， 即可；
（2）作差法比较即可；
（3）利用等比数列求和公式可得 ，然后进行求和即可得到答案
【小问1详解】
由题知， ，
所以 ，
所以 ，
所以公比 ，
所以 ，
所以 ，
所以 成等差数列.得证
【详解】解：如图，由弦 长为 ，可得 ，
不妨设 ，
则 ，
所以
.
故答案为： .
15.已知函数 ，则曲线 经过点 的切线方程是______．
【答案】 或 .
【解析】
【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点 即可.
【详解】设切点为 对 求导得：
，
切线方程为： ，
切线过 ，
解之： 或1，所以斜率 或 ，
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解.
【详解】由题意，飞机引擎正常运行的概率为 ，
则 飞机能成功飞行的概率为 ，
飞机能成功飞行的概率为 ，
令 即 ，解得 .
所以飞机引擎的故障率应控制的范围是 .
故选：C.
5.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（）
∵|φ| ，
∴φ ，
此时f（x）在（ ， ）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：① 的单调区间长度是最小正周期的一半;②若 的图像关于直线 对称,则 或 .
7.已知实数a满足 ，则（）
【答案】BCD
【解析】
【分析】赋值法求 的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得 的值有周期性，即可求得 的值，判断D.
【详解】对于A，令 ，则由 可得 ，
故 或 ，故A错误；
对于B,当 时，令 ，则 ，则 ，
故 ，函数 既是奇函数又是偶函数；
【详解】直线 过抛物线焦点 ，设 ， ，
则 ， ， ， ，
，A错误；
中点坐标为 ， ， ，
圆方程为： ，取 得到 ， ，B正确；
不妨取 ， ，
故 ， 不共线，故 是钝角，C正确；
， ，
，D正确；
故选：BCD
12.已知函数 及其导函数 的定义域均为R，对任意的 ， ，恒有 ，则下列说法正确的有（）
A. B. 必为奇函数
上两式相加得： ，
故有： ，
在 中由正弦定理得： ，
因此 ， .
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列结论正确的是（）
A.若随机变量 服从两点分布， ，则
B.若随机变量 的方差 ，则
D选项： ， ，D选项错误；
故选：BC
11.设抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，直线 与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（）
A. B.
C. 是钝角D. 的面积小于 的面积
【答案】BCD
【解析】
【分析】联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算 ，A错误；计算圆方程为： ，计算得到B正确；计算 ，得到C正确； ， ，D正确；得到答案.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
由 平面 ，
得 ，即 ，化简可得 ，
所以动点 在直线 上，
A选项： ， ， ，所以 与 不垂直，所以A选项错误；
B选项： ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B选项正确；
C选项：动点 在直线 上，且 为侧面 上的动点，则 在线段 上， ，所以 ，C选项正确；
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合 ，则 （）
A. B.
C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合 ，根据集合的并集运算即可得答案.
所以 ，
解得 或sin ,
当 时， ， ，
所以 ， ；
当 时，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由角平分线定理可知， ，又 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
∴ ， ，
所以 ．
18.已知数列 成等比数列， 是其前 项的和，若 成等差数列.
（1）证明： 成等差数列；
（2）比较 与 的大小；
所以数列 是以 为首项 为公比的等比数列，
则 ， ，
故 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 或5，
即所有n的和为 .
故答案为：9.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.
17.在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB
对D：若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ，
故 ，故正确.
故选：CD.
10.已知正方体 的边长为2， 为 的中点， 为侧面 上的动点，且满足 平面 ，则下列结论正确的是（）
A. B. 平面
C.动点 的轨迹长为 D. 与 所成角的余弦值为
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项.
又过 ，
代入点斜式得切线方程为： 或 ，
故答案为： 或 .
16.设数列 首项 ，前n项和为 ，且满足 ，则满足 的所有n的和为__________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据 求出数列 的通项，再根据等比数列的前 项和公式求出 ，从而可得出答案.
【详解】解：由 ，得 ，
两式相减得 ，
则 ，
当 时， ，所以 ，
【答案】星期五
【解析】
【分析】利用周期含义以及指数运算即可.
【详解】根据题意，周期为 ， ，所以 除以 的余数为1，即
经过 天后，为星期五.
故答案为：星期五
14.单位圆中， 为一条直径， 为圆上两点且弦 长为 ，则 取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题设 ，再根据数量积坐标运算计算即可.
对于选项C与D，令函数 得 ，
令 得 ，所以 在 上单调递减
所以当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，故D正确．
故选：D
8.已知四棱锥 外接球表面积为 ，体积为 平面 ，且 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将已知 转化为 ，运用余弦定理与基本不等式得到AC的取值范围，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 得 ，对AB，构造 ，根据零点存在性定理判断即可；对CD，构造函数函数 ，求导分析函数单调性，结合所给不等式判断即可.
【详解】由 得 ，
对于选项A与B，函数 在 上单调递增，则存在 ，使得 ，即 ，又 且 ，所以 ， 均有可能，即 与a大小不确定．故A与B都不正确．
【小问2详解】
由（1）得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
【小问3详解】
由（1）和题意得，
，
所以 ，
所以
.得证
19.2020年，新冠病毒席卷全球，给世界各国带来了巨大的灾难面对疫情，我们伟大的祖国以人民生命至上为最高政策出发点，统筹全国力量，上下一心，进行了一场艰苦的疫情狙击战，控制住了疫情的蔓延并迅速开展相关研究工作．某医疗科学小组为了了解患有重大基础疾病（如，糖尿病、高血压…）是否与更容易感染新冠病毒有关，他们对疫情中心的人群进行了抽样调查，对其中50人的血液样本进行检验，数据如下表：
【详解】解 得 ，解 得 ，
故得 ，
故 ，
故选：B．
2.已知复数 ，满足 ，且复数 在复平面内位于第一象限，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解.
【详解】设 ，
则 ，
则 ，所以 ，
， ，所以 ，
则有 ，解得 ，
又复数 在复平面内位于第一象限，所以 ，
则 ，
消去 得
由 ，得 ，
设切线 的方程为 ，
联立 ，
消去 得 ，
由 得 ，
又直线AC与BD的斜率之积为 ，
.
故选：C
6.已知函数 为 的零点， 为 图象的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为
A.11B.9
C.7D.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（ ， ）上单调，可得ω的最大值．
当 时，令 ，则 ，所以 ，
为偶函数，则 为奇函数；
综合以上可知 必为奇函数，B正确；
对于C，令 ，则 ，故 。
由于 ,令 ,即 ，即有 ，故C正确；
对于D，若 ，令 ，则 ，则 ，
故令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
由此可得 的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
南通市2023届高三上学期期末质量监测模拟
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.
【详解】∵x 为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（ ， ）上单调，则 ，
即T ，解得：ω≤12，
当ω＝11时， φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ| ，
∴φ ，
此时f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；
当ω＝9时， φ＝kπ，k∈Z，
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出切线AC和BD的方程，与椭圆方程联立消去 ，根据判别式 ，求得 的表达式，根据AC与BD的斜率之积求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得.
【详解】设内层椭圆的方程为 ，
由离心率相同可知，外层椭圆的方程为 ，
如图，
设切线 的方程为 ，
代入可得 ．
故选：C
3.已知数列 是递增数列，且 ，则实数t的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.
【详解】因为 ， 是递增数列，
所以 ，解得 ，
所以实数t的取值范围为 ，
故选：C
4.俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产 直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的. 年，为了远程性和安全性上与美国波音 竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了 ，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的 .假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 ，且各引擎是否有故障是独立的，已知 飞机至少有 个引擎正常运行，飞机就可成功飞行； 飞机需要 个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行.若要使 飞机比 飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（）
C.若随机变量 服从二项分布 ，则
D.若随机变量 服从正态分布 ， ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若随机变量 服从两点分布， ，则 ，故A错误；
对B：若随机变量 的方差 ，则 ，故错误；
对C：若随机变量 服从二项分布 ，则 ，故正确；
由此运用正弦定理得四边形ABCD外接圆半径的范围，然后根据球的性质得球半径的
范围，得解.
【详解】
以四边形ABCD的外接圆为底，PA为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.
设内接圆柱的底面半径为r、R外接球的半径，,则 ，
，故 ，
，
所以
在 中运用余弦定理与基本不等式得：
，
在 中运用余弦定理与基本不等式得： ，
故 ，故D正确，
故选：BCD
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定 的周期性.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过 天后是__________.
（1）若 ，求tanC的值：
（2）已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 求△ABC的面积．
【答案】（1） 或 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用同角关系式可得 或sin ，然后利用和角公式即得；
（2）由题可得 ，利用角平分线定理及条件可得 ，进而可得 ， ，即得.
【小问1详解】
因为 ，
（3）若 ， 为大于1的奇数，证明：
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差中项得 ， 即可；
（2）作差法比较即可；
（3）利用等比数列求和公式可得 ，然后进行求和即可得到答案
【小问1详解】
由题知， ，
所以 ，
所以 ，
所以公比 ，
所以 ，
所以 ，
所以 成等差数列.得证
【详解】解：如图，由弦 长为 ，可得 ，
不妨设 ，
则 ，
所以
.
故答案为： .
15.已知函数 ，则曲线 经过点 的切线方程是______．
【答案】 或 .
【解析】
【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点 即可.
【详解】设切点为 对 求导得：
，
切线方程为： ，
切线过 ，
解之： 或1，所以斜率 或 ，
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由独立重复实验概率公式可得两种飞机正常飞行的概率，解不等式即可得解.
【详解】由题意，飞机引擎正常运行的概率为 ，
则 飞机能成功飞行的概率为 ，
飞机能成功飞行的概率为 ，
令 即 ，解得 .
所以飞机引擎的故障率应控制的范围是 .
故选：C.
5.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，若直线AC与BD的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（）
∵|φ| ，
∴φ ，
此时f（x）在（ ， ）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：① 的单调区间长度是最小正周期的一半;②若 的图像关于直线 对称,则 或 .
7.已知实数a满足 ，则（）