2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)

2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1} 2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）
A．与
B．与
C．f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgx
D．f（x）＝x0与
4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
5．关于函数，下列说法正确的是（）
A．f（x）最小值为1
B．f（x）的图象不具备对称性
C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增
D．对任意x∈R，均有f（x）≤1
6．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）
A．[]B．[]C．[）D．[）7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或4
8．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有
B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有
C．f（x）有最小值，无最大值
D．g（x）有最小值，无最大值
9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）
A．B．
C．D．
10．己知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大
依次为x1，x2，x3，x4，则﹣x1x2+x3+x4的取值范围为（）
A．（3，3+e]B．[3，3+e）C．（3，+∞）D．[3，3+e）
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11．已知集合，则列举法表示集合A＝，集合A的真子集有个．
12．函数的定义域是，值域是．
13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝．
14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有个，其中函数的值域一共有种不同情况．
15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．16．若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为．
17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围．
三、解答题：5小题，共74分
18．计算求值：
（1）；
（2）．
19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．
21．已知函数．
（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；
（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．
（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；
（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝max{e f（x），e g（x）}的最小值．
2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题4分，共40分
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
又∵B＝{x|x＞1}，
∴∁U B＝{x|x≤1}，
则集合A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}
故选：D．
2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，
f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，
可得f（﹣1）f（0）＜0．
由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．
故选：B．
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）
A．与
B．与
C．f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgx
D．f（x）＝x0与
【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝﹣x（x≤R），与g（x）＝x（x ≤0）的对应关系不同，不是同一函数；
对于B，函数f（x）＝•＝（x≥1），与g（x）＝
（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，不是同一函数；
对于C，函数f（x）＝lgx2＝2lg|x|（x≠0），与g（x）＝2lgx（x＞0）的定义域不同，对
应关系也不同，不是同一函数；
对于D，函数f（x）＝x0＝1（x≠0），与g（x）＝＝1（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：D．
4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：由题意，可知：
a＝log52＜1，
b＝log0.50.2＝＝＝log25＞log24＝2．
c＝0.50.2＜1，
∴b最大，a、c都小于1．
∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝．
而log25＞log24＝2＞，
∴＜．
∴a＜c，
∴a＜c＜b．
故选：A．
5．关于函数，下列说法正确的是（）
A．f（x）最小值为1
B．f（x）的图象不具备对称性
C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增
D．对任意x∈R，均有f（x）≤1
【解答】解：根据题意，对于函数，
设t＝x2+4x+5，则y＝，
t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，在区间（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）上为增
函数，
y＝在[1，+∞）上为减函数，
则f（x）在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，
则当x＝﹣2时，f（x）取得最大值f（﹣2）＝1，
故A、C错误，D正确；
t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1为二次函数，其图象关于直线x＝﹣2对称，则
的图象关于直线x＝﹣2对称，B错误；
故选：D．
6．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）
A．[]B．[]C．[）D．[）【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，
又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝﹣＝2，
由复合函数单调性可得函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为（2，5），要使函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，
只需，解关于m的不等式组得≤m＜2，
故选：C．
7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或4
【解答】解：令t＝f（x），y＝f[f（x）]＝f（t）＝2t2﹣t+a．
函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，即方程2x2﹣x+a＝0有根，
若方程2x2﹣x+a＝0有1个零点，则△＝1﹣8a＝0，即a＝．
而方程2t2﹣t+a＝0化为，即（4t﹣1）2＝0，t＝，
此时函数y＝f[f（x）]有2个零点；
若方程2x2﹣x+a＝0有2个零点，则△＝1﹣8a＞0，得a＜．
此时方程2t2﹣t+a＝0的根为t＝，而小根＞在a＜时成立，∴函数y＝f[f（x）]有4个零点．
综上，函数y＝f[f（x）]零点的个数是2或4．
故选：C．
8．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有
B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有
C．f（x）有最小值，无最大值
D．g（x）有最小值，无最大值
【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x，f“（x）＝e x+e﹣x≥2，f（x）递增，无最小值，无最大值，
g（x）＝e x+e﹣x≥2，当x＞0时，g'（x）＝e x﹣e﹣x＝≥0，g（x）递增，g（x）为
偶函数，所以g（x）在（﹣∞，0）递减，所以（0，+∞）上递增，所以g（x）min＝g（0）＝2，无最大，
故选：D．
9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝|x|，且x≠0，故A符合，
当x＞0时，且a＞0时，f（x）＝x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）＝﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，
当x＜0时，且a＜0时，f（x）＝﹣x+≥2＝2，当x＞0时，且a＜0时，f （x）＝x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，
故选：C．
10．己知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大
依次为x1，x2，x3，x4，则﹣x1x2+x3+x4的取值范围为（）
A．（3，3+e]B．[3，3+e）C．（3，+∞）D．[3，3+e）
【解答】解：函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，即两函数y＝f（x）与y＝a图象有四个不同的交点，如图所示，
由图象可知，1＜a≤e，
x1，x2是方程的两根，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，
∴x1x2＝1﹣lna，
x3，x4是方程x+﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，
∴x3+x4＝3+a，
∴﹣x1x2+x3+x4＝2+a+lna．
∵g（a）＝2+a+lna在（1，e]上为单调增函数，
∴g（a）∈（3，e+3]．
故选：A．
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11．已知集合，则列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A 的真子集有15个．
【解答】解：∵集合，
∴列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，
集合A的真子集有24﹣1＝15个．
故答案为：{0，1，3，9}，15．
12．函数的定义域是[﹣1，7]，值域是[0，4]．
【解答】解：7+6x﹣x2≥0，解得x∈[﹣1，7]，
t＝﹣（x﹣3）2+16，t∈[0，16]，
y＝∈[0，4]，
故答案为：[﹣1，7]，[0，4]
13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝﹣2或4．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣2）＝|﹣2|＝2，
f（f（﹣2））＝f（2）＝；
∵f（a）＝2，
∴当a≤0时，f（a）＝|a|＝2，解得a＝﹣2；
当a＞0时，f（a）＝＝2，解得a＝4．
综上，实数a的值为﹣2或4．
故答案为：，﹣2或4．
14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有27个，其中函数的值域一共有7种不同情况．
【解答】解：因为函数的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，
所以：①当函数值为一个数时，函数共有3个，函数的值域有3种情况，
②当函数值为两个数时，函数共有＝18个，函数的值域有3种情况，
③当函数值为三个数时，函数共有A＝6个，函数的值域有1种情况，
故这样的函数一共有3+18+6＝27个，函数的值域一共有7种情况，
故答案为：27；7．
15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为2＜a ≤4．
【解答】解：根据题意函数是R上的单调减函数，
2﹣a＜0，a≤4，且2﹣a+3a≥4，
即a＞2，a≤4，a≥1，
故2＜a≤4，
故答案为：2＜a≤4．
16．若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
【解答】解：若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|，
即为|ax﹣﹣1|≥2恒成立，
可得a（x﹣）≥3或a（x﹣）≤﹣1，
由|x|且x≠0可得y＝x﹣的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞），
由于a＝0不等式不成立，当a＞0，0＜x≤时，a∈∅或a（x﹣）≤﹣a，
即﹣1≥﹣a，则a≥；
当a＞0，﹣≤x＜0时，a（x﹣）≥a或a∈∅，
即3≤a，则a≥2，
综上可得a≥2；
同理可得a＜0时，|ax﹣﹣1|≥2恒成立，可得a≤﹣2，
故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围（﹣，﹣]∪[，）．．
【解答】解：∵x2﹣1＞0，x∈Z，∴A＝{x|x＞1或x＜﹣1，x∈Z}，
∵B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，设方程x2﹣2tx﹣1＝0的两根为m，n，不妨设m＜n，
则m+n＝2t，mn＝﹣1；∴m，n一正一负，且互为负倒数；且B＝{x|m≤x≤n}
∵A∩B＝{x1，x2}，令f（x）＝x2﹣2tx﹣1，则有2种情况：
①，当A∩B＝{2，3}时，即﹣1＜m＜0，3≤n＜4，
则，得，解得，≤t＜；
②当A∩B＝{﹣2，﹣3}时，即﹣4＜m≤﹣3，0＜n＜1，
则，得，解得，﹣＜t≤﹣；
综上述：t的取值范围是（﹣，﹣]∪[，）．
故答案为：（﹣，﹣]∪[，）．
三、解答题：5小题，共74分
18．计算求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）＝﹣1+
﹣+＝﹣1+100﹣+24＝﹣1+100﹣+16＝
115．
（2）＝lg（×）+＝
lg10+＝+1＝．
19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为4∈A，所以2a≤4≤a2+1，解得a≤﹣或≤a≤2．
又3∉A，所以2a＞3或a2+1＜3，故﹣＜a＜或a＞．
∴若4∈A，3∉A，有≤a≤2；
故a的取值范围是：[，2]．
（2）B＝{x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，
当3a+1＝2，即a＝时，B＝{2}，不合题意．
当3a+1＜2，即a＜时，B＝{x|3a+1≤x≤2}，所以，∴，解得a＝﹣1．
当3a+1＞2，即a＞时，B＝{x|2≤x≤3a+1}，所以，∴，解
得1≤a≤3．
综上知，a＝﹣1或1≤a≤3．
故实数a的取值范围是{a|a＝﹣1或1≤a≤3}．
20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）设﹣1＜x≤0，则0≤﹣x＜1，
∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+1＝﹣x2+1，
∵f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）＝﹣x2+1，（﹣1＜x＜≤0），
设x≤﹣1，则﹣x≥1，
∴f（﹣x）＝2﹣2﹣x，
∵f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）＝2﹣2﹣x，（x≤﹣1），
∴当x＜0时，f（x）的解析式为；
（2）易知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为减函数，
∴f（2﹣x）≤f（x+m）⇔f（|2﹣x|）≤f（|x+m|）⇔|2﹣x|≥|x+m|，
∴（2m+4）x≤4﹣m2对任意x∈[m﹣1，m]恒成立，
当2m+4≥0，即m≥﹣2时，只需（2m+4）m≤4﹣m2，解得，故此时；
当2m+4＜0，即m＜﹣2时，只需（2m+4）（m﹣1）≤4﹣m2，解得，此时无解．
综上，实数m的取值范围为．
21．已知函数．
（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；
（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）当a＝5，b＝﹣3时，，
令，则（3x）2﹣4•3x﹣5＝0，解得3x＝5或3x＝﹣1（舍），
∴x＝log35；
（2）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴，
∴＝3x+3﹣x﹣1，
∴不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10即为32x+3﹣2x﹣1≥m（3x+3﹣x﹣1）﹣10，亦即（3x+3﹣x）2﹣m（3x+3﹣x）+7﹣m≥0对任意x∈R且x≠0恒成立，
令t＝3x+3﹣x＞2，则t2﹣mt+7﹣m≥0对任意t∈（2，+∞）都成立，亦即对任意t∈（2，+∞）都成立，
令，则m≤h（t）min，
又，由双勾函数可知，h（t）在（2，+∞）为增函数，
∴，
∴，
∴m的最大值为．
22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．
（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；
（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝max{e f（x），e g（x）}的最小值．
【解答】解：（1）若a＝2，则φ（x）＝e|x﹣3|+e|x﹣2|+1，
由于x∈[2，3]，即|x﹣3|＝3﹣x，|x﹣2|+1＝x﹣2+1＝x﹣1，
∴φ（x）＝e3﹣x+e x﹣1＝+≥2＝2e，
当且仅当＝时，即x＝2时φ（x）有最小值2e．
（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，
得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，
即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，
因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|，
故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2，
故a的取值范围为[0，2]．
（3）h（x）＝max{e f（x），e g（x）}＝e max{f（x），g（x）}＝e max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}，
接下来讨论max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}在[1，6]上的最小值，
情形一：2a﹣1≤a≤1，即a≤1时，x∈[1，6]，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}，
①当a≤0时，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣2a+1≥2﹣2a，
②当0＜a≤1时，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣a+1≥2﹣a，情形二：1＜a＜2a﹣1＜6，即时，
③当1＜a≤2时，
（i）当1＜x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2≤0，
（ii）当a＜x≤2a﹣1时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜3a﹣2﹣2a＜0，
（iii）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，
∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝|x﹣a|+1≥1，
④当时，
（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，
（ii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，
（iii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，
（ⅳ）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，
∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，
；
情形三：当1＜a＜6≤2a﹣1，即时，
⑤当时，
（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，
（ii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，
（iii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，
∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，
；
⑥当时，
（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，
（ii）当a＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，
∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝2a﹣7；
情形四：当a≥6时，
（i）当1≤x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，
∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝2a﹣7；
综上，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝，
∴．。