湖南十二校届高三第一次联考数学(理)试题(word)

湖南十二校届高三第一次联考数学(理)试题(word)
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湖南十二校 2013届高三第一次联考
数学（理）试题
由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中 石门一中； 澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中联合命题
炎德文化审校、制作
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． 1．已知i 是虚数单位，且()(1)x i i y --=，则实数,x y 分别为 A ．x=一1，y=l B ．x=－1，y=2 C ．x=1，y=l
D ．x=1，y=2
2．已知条件p ：x≤1，条件q ：
1
x
<1，则p ⌝是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体
积为103，则h=
A ．
3
2 B ．3
C ．3 3
D ．5
3
4．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量(n n c a =·
*1),(,1)n n a b n n n N -=+∈下列命题中真命题是
A ．若对任意的*
n N ∈，都有c n ∥b n 成立，则数列{}n a 是筹差数列 B ．若对任意的*n N ∈，都有c n ∥b n 成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若对任意的*n N ∈，都有c n ⊥b n 成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，都有c n ⊥b n 成立，则数列{}n a 是等比数列 5．若下边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为
A ．n≤5
B ．n≤6
C ．n≤7
D ．n≤8
6．若在直线l 上存在不同的三点A 、B 、C ，使得关于x 的方程2
0x OA xOB OC ++=u u u r u u u r u u u r
有解（点
O 不在直线l 上），则此方程的解集为 A ．φ
B ．{一1，0}
C ．{－1}
D ． 1515,22⎧⎫-+--⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
7．已知()tan
sin 42
f x a b x π
=-+（其中以a 、b 为常数且0ab ≠）
，如果(3)5f =则，(20123)f π-的值为
A ．－3
B ．－5
C ．3
D ．5
8．已知函数(),f x x R ∈是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当∈ [0，2]时，()1f x x =-，
则方程1
()1||
f x x =
-在区间[－10,10]上的解的个数是 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡
中对应题号后的横线上．
（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．（极坐标与参数方程）极点到直线12()sin()
4
p p R π
θ=
∈+的距离为 。

10．（几何证明选讲）如图，BC 是半径为2的⊙O 的直径， 点P 茌BC 的延长线上，PA 是⊙O 的切线，点A 在 直径BC 上的射影是OC 的中点，则PB·PC= 。

11．（不等式证明选讲）若不等式|2||3|x x a -++<的解集为φ，则实数 a 的取值范围为 。

（二）必做题（12 ～16题）
12．已知集合2
1{|12},{|1,},2
M x x N y y x x M =-<<==
-∈则/M N =I 。

13．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的 平均成绩的概率为 。

14．设F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点．过点F 的直线l 与双曲线右支交于点P ，
与圆O ：x 2+ y 2 =a 2恰好切于线段PF 的中点M ，则双曲线的离心率为 。

15．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个 小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所
涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜 色，则符合条件的所有涂法共有 种．
16．设数列{}n a 满足：a 1=1，a 2=4，a 3 =9，a n =a n －1+a n －2－a n －3，则：（1）a 8= ，（2）a 2013= 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，m=（2b －c ，a ），n=（cos A －cosC ），且
m ⊥n ．
（1）求角A 的大小； （2）当y= 2sin 2 B+sin （2B 十
6
π
）取最大值时，求角B 的大小． 18．（本小题满分12分）
某研究小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验，准备用A 、B 、C 三种人工降雨方式分别对
甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：
方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 摸拟试验总次数 A 甲 4次 6次 2次 2次 B 乙 3次 6次 3次 12次 C
丙
2次
2次
8次
12次
假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响． （1）求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率；
（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即能达到理想状态，乙地必须是大雨才能达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨就能达到理想状态，求降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望．
19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥S —ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD= 3AB=3，平面SAD ⊥平面ABCD ，
E 是线段AD 上一点，AE=ED=3，SE ⊥AD ．
（1）证明：平面SBE ⊥平面SEC;
（2）若SE=1，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值． 20．（本小题满分13分）
设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知*122()n n a S n N +=+∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在a n 与a n+1，之间插入n 个数，使这n+2个数组成公差为d n 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的
前n 项和T n ．
21．（本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>> 的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为
52
3
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知动直线y=k(x+l ）与椭圆C 相交于A 、B 两点．
①若线段AB 中点的横坐标为一
1
2，求斜率k 的值； ②x 轴上是否存在定点M ，使MA u u u r ·MB u u u r
为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若
不存在，请说明理由．
22．（本小题满分13分）
已知函数3
2
()f x x x b =-++·()1g x a nx = （1）若()f x 在/1,12x ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
上的最大值为
3
8
，求实数b 的值； （2）若对任意x ∈[1，e]，都有3
()(2)g x x a x ≥-++ 恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设(),1
()(),1f x x F x g x x <⎧=⎨≥⎩
，对任意给定的正实数a ，曲线y=F （x ）
上是否存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三
角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．。