波的能量知识

A0 r0 r y= cos ω (t − ) r u
r1
式中r为离开波源的距离，A0为r = r0处的振幅。
小结： 小结： 波动能量 u 1 x 2 2 2 d dV内： Wk = ρdVA ω sin ω (t − ) 2 u dV 1 x S 2 2 2 dW p = ρdVA ω sin ω ( t − ) 2 u x 2 2 2 dW = ρdVA ω sin ω (t − ) u 不守恒 dW 1 2 2 平均能量密度： 平均能量密度： w = = ρω A dV 2 1 2 2 2 能流密度（波强）： 能流密度（波强）： I = ρ A ω u ∝ A 2
10、3 波的能量 能流密度 一 波动能量的传播 1 波的能量 波的传播是能量的传播， 波的传播是能量的传播，传播 过程中,媒质中的质点由不动到动， 过程中,媒质中的质点由不动到动， 具只动能 W K ,媒质形变具只势能 W P .
以固体棒传播纵波为例分析波动能量的传播. 固体棒传播纵波为例分析波动能量的传播 传播纵波为例分析波动能量的传播
u= E
2
Sdx = dV dy ∂y 考虑到 y 是 x 和 t 的函数，故 应是 dx ∂x ∂y ω x 1 2 ∂y 2 = A sin ω (t − ) dW P = u ρdV ( ) 而 ∂x u u 2 ∂x
ρ
E = u2ρ
1 x 2 2 2 dWP = ρdVA ω sin ω(t − ) 2 u
E 纵波 u = 固体： 固体：
ρ ρ
G 横波 u =
弹性模量
杨氏模量： 杨氏模量：
应力 F S E= = 应变 ∆L L
x d W = ρ d VA ω sin ω (t − ) u (2) 任一体积元都在不断地接收和 ) 放出能量，即不断地传播能量. 放出能量，即不断地传播能量 任一体 积元的机械能不守恒. 积元的机械能不守恒 波动是能量传递 的一种方式 .
2 2 2
O O
x
dx
y
y + dy
x x
比较：
谐振动质点
波传播时的体积元的变形
例题 一平面简谐机械波在弹性媒体中传 播,下述各结论哪个正确？ 下述各结论哪个正确？ 下述各结论哪个正确 选择（ 选择（ D ） (A)媒质质元的振动动能增大时，其弹性势 )媒质质元的振动动能增大时， 能减小，总机械能守恒. 能减小，总机械能守恒 (B)媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期 ) 性变化，但两者相位不相同. 性变化，但两者相位不相同 (C)媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在 ) 任一时刻都相同，但两者数值不同. 任一时刻都相同，但两者数值不同 (D) 媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大 ) 媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大.
能流密度 —— 波的强度
例如 声波的能流密度——声强 人们听觉：声强和声频
例 证明球面波的振幅与离开其波源的 距离成反比，并求球面简谐波的波函数. 距离成反比，并求球面简谐波的波函数 介质无吸收， 证 介质无吸收，通过两个球面的平均 能流相等. 能流相等 w1uS1 = w2uS 2 1 1 2 2 2 ρ A1 ω u 4π r1 = ρA22ω 2 u 4π r22 即 2 2 A1 r2 s1 r s2 = 2 A2 r1
2 2 2
1 d W k = d mv 2
1 x ∂y 2 1 2 2 2 = ρ d V ( ) = ρω A sin ω ( t − ) ⋅ dV 2 u 2 ∂t 1 1 x dWp = k (dy )2= ρω 2 A 2 sin 2 ω ( t − ) ⋅ d V 2 u 2
2
介质元振动能量
1 2 2 平均能流 P = w = ρA ω us us 2
单位：功率的单位Ｗ
波的能流 —— 波的功率
（2）能流密度：单位时间内通过垂直于波线的单 位面积的平均能量 1 2 2 P I = = w u = ρA ω u 2 s 能量传播方向与 u 方向相同
1 2 2 I = ρA ω u 2
单位是 W ⋅m−2
1 d W k = d mv 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 ∂y 2 1 x 2 2 2 = ρ d V ( ) = ρω A sin ω ( t − ) ⋅ dV 2 u 2 ∂t
1 x 2 1 2 2 2 dWp = k (dy ) = ρω A sin ω ( t − ) ⋅ d V 2 u 2 介质元振动能量
x d W = d W k + d W p = ρω A sin ω ( t − ) ⋅ d V u
孤立系统， 孤立系统，机械能守恒
Ek , Ep反相变化
非孤立系统， 不守恒 波动介质元能量 非孤立系统，dW不守恒 dWk , dWp同相变化
介质元振动能量
x d W = d W k + d W p = ρω A sin ω ( t − ) ⋅ d V u
2 2 2
显然体积元的能量在变化，时大时小，这说明 体积元不断从靠近波源的位置处获得能量，又 不断地把获得的能量传递给更远的质点。
2
kdy
ES ⇒k= dx
1 1 dy 2 1 ES 2 dW P = k (dy ) = ⋅ ⋅ (dy ) = ⋅ ESdx ⋅ 2 2 2 dx dx
点点点间的相两位移。 体系整体同相体移动是 不不不不势能的。
1 1 ES 1 dy 2 2 dWP = k(dy) = ⋅ ⋅ (dy) = ⋅ ESdx⋅ 2 2 dx 2 dx
势能 dWp 取取于介质元的形变（ O O
两两质点的相两位移）
x
dx
y
y+ dy
x x
dx是是是、 dy是形变量
整体移动 伸是 1 1 2 dWp = k(dy)2 d W p ≠ ky 2 2
S = kdx E= = dy dy S dx dx
S F
注注：只只两只只移量 不同，才在体积元内不 不形变，形成势能，因 点势能取取于体积元的 形变量 dy。两质点系而 言，取决其势能的不是 单个质点的位移而是质
2. 能量密度
由介质元振动能量
x dW = dWk + dWp = ρω A sin ω(t − ) ⋅ dV u
2 2 2
得能量密度(单位体积介质中的能量 得能量密度 单位体积介质中的能量) 单位体积介质中的能量
x dW 2 2 2 w= = ρA ω sin ω ( t − ) u dV
平均能量密度（一个周期内能量密度的平均值） 平均能量密度（一个周期内能量密度的平均值）
1 w= T
∫
T
0
1 wdt = T
∫
T
0
x 1 2 2 ρA ω sin ω (t − )dt = ρA ω u 2
2 2 2
3.
能流和能流密度： 能流和能流密度：
如何表述波动中能量的传递和流 动呢？（大小，方向）
（1）能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量
∆t内通过s的能量
∆P = w ⋅ u ⋅ ∆t ⋅ s ∆P P= = w⋅u ⋅ s ∆t
讨 论
x d W = d W k + d W p = ρω A sin ω ( t − ) ⋅ d V u
2 2 2
(1)在波动传播的媒质中，任一体 )在波动传播的媒质中， 积元的动能、势能、 积元的动能、势能、总机械能均随 x, t 作周期性变化，且变化是同相位的. 作周期性变化，且变化是同相位的 同相位 体积元在平衡位置时，动能、 体积元在平衡位置时，动能、势能 和总机械能均最大. 和总机械能均最大 体积元的位移最大时，三者均为零 体积元的位移最大时，三者均为零.
二、它们运动的外在条件不同。 它们运动的外在条件不同。 它们运动的外在条件不同
我们前面讨论的谐振子是孤立系统， 我们前面讨论的谐振子是孤立系统，没有外力 对它作功，因而它的机械能守恒。 对它作功，因而它的机械能守恒。而波动中的任何 一个质元都不是孤立的，在波传播的过程中， 一个质元都不是孤立的，在波传播的过程中，质元 的前后两个截面上都有外力做功， 的前后两个截面上都有外力做功，而且两个外力还 有相位差，即功率不相同。 有相位差，即功率不相同。 当输入大于输出时，质元的机械能增加， 当输入大于输出时，质元的机械能增加，当输 出大于输入时，质元的机械能减少。 出大于输入时，质元的机械能减少。由于波动的周 期性，这种增加和减少也呈周期性的规律， 期性，这种增加和减少也呈周期性的规律，因而质 元的机械能也呈周期性的变化，不是一个守恒量。 元的机械能也呈周期性的变化，不是一个守恒量。
三、进一步讲 进一步讲
1 1 ES 1 dy 2 2 dWP = k(dy) = ⋅ ⋅ (dy) = ⋅ ESdx⋅ 2 2 dx 2 dx
2
与势能相关的是介质的相对形变， 与势能相关的是介质的相对形变， 质元的势能与相对形变的平方成正 质元的长度是dx，伸长为dy， 比。质元的长度是 ，伸长为 ， 因而质元的相对形变为dy/dx 。借 因而质元的相对形变为 助于波形曲线(如上图 不难看出： 如上图)不难看出 助于波形曲线 如上图 不难看出：在 P点，速度为零，质元的动能为零； 点 速度为零，质元的动能为零； 也为零， 同时曲线斜率 也为零，即相对形变 为零，所以质元的弹性势能也为零。 为零，所以质元的弹性势能也为零。 在Q处，速度最大，动能最大，同时 处 速度最大，动能最大， 波形曲线较陡， 有最大值， 波形曲线较陡， 有最大值，所以弹 性势能也最大。可见质元的动能和 性势能也最大。 势能确实是同相的。 势能确实是同相的。
1：介质元的能量： 设弹性细棒中只纵波 x y = A cos ω t − u
取是为dx的介质元 dm = ρdV = ρSdx
∂y 动能 若dx → 0，体积元内处处速度近似相同： ∂t x 1 1 ∂y 2 1 2 2 2 2 v dW = dm = (ρdV )( ) = ρdVω A sin ω(t − ) k 2 2 ∂t 2 u
在简谐波中每一个质元都在进行简谐振动，为什么 在简谐波中每一个质元都在进行简谐振动， 它的动能和势能会始终相等，机械能不守恒呢？ 它的动能和势能会始终相等，机械能不守恒呢？ 一、波动中的质元的模型和谐振子的模型不同 波动中的质元的模型和谐振子的模型不同。 波动中的质元的模型和谐振子的模型不同
以弹簧振子为例， 以弹簧振子为例，弹簧振子的动能集中在没有 弹性的小球上，而势能却集中在没有质量的弹簧上， 弹性的小球上，而势能却集中在没有质量的弹簧上， 而波动中的质元却既有质量又有弹性， 而波动中的质元却既有质量又有弹性，动能和势能 都集中在它的身上。如果把质元当作小球， 都集中在它的身上。如果把质元当作小球，把旁边 的其它质元当作弹簧，则模型本身就有误了。 的其它质元当作弹簧，则模型本身就有误了。