2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高一年级下册学期期末联考数学试题【含答案】

武汉市部分重点中学2022～2023学年度下学期期末联考高一数学试卷
考试时间：2023年6月27日下午14:00－16:00试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设i 为虚数单位，复数z 满足()1i 12i z +=-+，则z z ⋅为（
）．
A.
10
2
B.5
C.2
D.
52
【答案】D
【分析】利用复数的乘法除法法则，结合共轭复数的概念即可求解.
【详解】由()1i 12i z +=-+，得()()()()
212i 1i 12i 1i 2i 2i 13
i 1i 1i 1i 222z -+--+-++-=
===+++-，所以13
i 22
z =
-，所以2
2
1313135i i i 2222222z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.故选：D.
2.从小到大排列的数据1，2，3，x ，4，5，6，7，8，y ，9，10的下四分位数为（）．
A.3
B.
32
x
+ C.8 D.
82
y +【答案】B
【分析】利用下四分位数的公式求解.
【详解】共12个数据从小到大排列，1225%3⨯=，故下四分位数为第3个数据和第4个数据的平均值，即32
x
+.故选：B
3.已知平面向量()1,2a =
，()3,4b = ，那么b 在a 上的投影向量的坐标是（）．
A.11525,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B.525,55⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C.1122,55⎛⎫
⎪⎝⎭
D.
(
)
5,25
【答案】C
【分析】由投影向量的公式以及向量数量积和向量模的坐标运算求解.
【详解】平面向量()1,2a =
，()3,4b = ，
b
在a 上的投影向量为1111522,515551a b a a a a
a ⎪⋅⋅=
⋅==⎛⎫
⎝⎭
，所以b 在a 上的投影向量的坐标是1122,55⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：C
4.圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）．
A.30π
B.31π
C.32π
D.33π
【答案】B
【分析】利用圆台的体积公式求解即可.
【详解】因为圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，所以该圆台的高为()2
25513--=，
则该圆台的体积为(
)
22
1
π1155331π3
⨯+⨯+⨯=.故选：B.
5.在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅
的取值范围是（）．
A.
[]
4,20- B.
[]
1,5- C.[]
0,20 D.
[]
4,20【答案】A
【分析】根据数量积的几何意义，结合图形关系即可求解最值.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
由数量积的几何意义可知：AP AB ⋅ 等于AB 与AP 在AB
上的投影的乘积，
故当AP 在AB
上的投影最大时，数量积最大，此时点P 在以C 为圆心的圆的最上端2P 处，此时投
影为5AM AB r =+=，故数量积为4520⨯=，
故当AP 在AB
上的投影最小时，数量积最小，此时点P 在以D 为圆心的圆的最下端1P 处，此时投
影为1AN r -=-=-，故数量积为()414⨯-=-,
故[]4,20AP AB ⋅∈-
，
故选：
A
6.某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为（）
A.0.61
B.0.675
C.0.74
D.0.8
【答案】D
【分析】先根据分层抽样求各层的人数，再根据平均数、方差的公式运算求解.【详解】由分层抽样可得高三（1）班抽取的人数为
45
1064530
⨯=+，高三（2）班抽取的人数为
30
1044530
⨯=+，
设高三（1）班（6人）答对题目数依次为126,,,x x x ⋅⋅⋅，高三（2）班（4人）答对题目数依次为1234,,,y y y y ，由题意可得：
()()666444222221111111111111,161, 1.5, 1.54 1.50.35666444i i i i i i i i i i i i x x x y y y ======⎛⎫⎛⎫=-=-==-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑∑∑，
可得6
6
4
4
22
1
1
1
1
6,12,6,10.4i i
i i i i i i x x y y ========∑∑∑∑，
则这10人答对题目的平均数64
111 1.210i i i i x y ==⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
∑∑，
这10人答对题目的方差6422211110 1.20.810i i i i x y ==⎛⎫
+-⨯= ⎪⎝⎭
∑∑.
故选：D.
7.某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若小明同学在B ，C 处分别测得
球体建筑物的最大仰角为60︒和20︒，且BC a =米，则该球体建筑物的高度为（
）米．
A.
4cos10a ︒
B.
2cos10a ︒
C.
sin102sin 40a ︒︒
D.
sin10sin 40a ︒︒
【答案】B
【分析】根据三角函数可得3,tan10R AB R AC ==
︒
，利用3tan10R
BC AC AB R a =-=
-=︒，求解R 即可得所求．
【详解】如图，设球心为O ，连接,OB OC ，则30,10OBA OCA ∠=︒∠=︒
设球的半径为R ，则3tan 30OA AB R =
=︒，tan10tan10OA R
AC ==
︒︒
∴3tan10R
BC AC AB R a =-=
-=︒
，
∴sin101
cos103sin103tan10a a R ︒
==︒-︒-︒
sin10sin10sin102sin(3010)2sin 204sin10cos104cos10a a a a
︒︒︒=
===︒-︒︒︒︒︒
，
∴22cos10a
R =
︒，则该球体建筑物的高度为2cos10a ︒
米．
故选：B ．
8.已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为1，侧棱长为2，SC 的中点为E ，过点E 作与SC 垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（）．
A.
33
B.
63
C.
23
D.
2
3
【答案】A
【分析】根据给定条件，作出平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答.
【详解】在正四棱锥S ABCD -中，连接AC ，则2AC SA SC =
==，SAC 是正三角形，由SC
的中点为E ，得AE SC ⊥
，
而,SC SC E αα⊥= ，则AE α⊂，在SBC △中，
2222213
cos 24222SB SC BC BSC SB SC +-+-∠===⋅⨯，
27
sin 1cos 4
BSC BSC ∠=-∠=，令平面α与直线SB 交于F ，连,EF AF ，则SC EF ⊥，2
22
223cos 34
SE SF BSC ===<
∠，
即点F 在棱SB 上，同理平面α与棱SD 相交，令交点为G ，连,EG AG ，
于是四边形AFEG 为平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面，由对称性知AEG AEF ≌，在SEF 中，22714sin 346EF SF BSC =∠=
⨯=
，而π6
sin 32
AE AC ==，在SAF 中，3cos 4ASF ∠=
，由余弦定理得222222322(2)()223343AF =+-⨯⨯=，
在AEF △中，2222
2
2
62214(
)()()
3236cos 22622
223
AE AF EF
EAF AE AF
+-+-∠=
=
=⋅⨯⨯
，1
sin 2
EAF ∠=
，所以所得截面面积162213
22sin 22323
AFEG AEF S S AE AF EAF ==⨯⨯⨯∠=⨯⨯=
.故选：A
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知复数1z ，2z ，3z 是方程310z -=的三个解，则下列说法正确的是（）．
A.1231
z z z ++= B.1231
z z z =C.1z ，2z ，3z 中有一对共轭复数 D.1223311
z z z z z z ++=-【答案】BC
【分析】利用立方差公式及一元二次方程的解法，结合共轭复数的定义及复数的四则运算法则即可求解.
【详解】由310z -=，得()()
2
110z z z -++=，即10z -=或210z z ++=，解得1z =或
13i 22z =-+或13i 22z =--，13i 22
z =-+与13
i 22z =--互为共轭复数，故C 正确；
由题意知，不妨取11z =，213
i 22z =-
+，313i 22
z =--，所以1231313i i 021222z z z ⎛⎫-++-- ++= ⎪⎪⎝+=⎭
，故A.错误；所以2
12
23131313i i i 12221222z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-+⋅--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=⋅，故B 正确；
所以
12233113131313i i i i 1
222222221z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+⋅--+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+=⎭⎝⎭⎝+⋅+⎭2
2
131313i i i 0222222⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-++--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故D 错误.
故选：BC.
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记录这n 次实验的结果，设事件M ＝“n 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N ＝“n 次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（
）．
A.若2n =，则M 与N 不互斥
B.若2n =，则M 与N 相互独立
C.若3n =，则M 与N 互斥
D.若3n =，则M 与N 相互独立
【答案】AD
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解【详解】当2n =时，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，其中（正，反）和（反，正）这两种实验结果，事件M 和事件N 同时发生，故M 与N 不互斥，A 选项正确；
()12
P M =
，()34P N =，()1
2P MN =，()()()P MN P M P N ≠，则M 与N 不相互独立，B 选
项错误；
当3n =时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8种，
其中（正，正，反）、（正，反，正）和（反，正，正）这三种实验结果，事件M 和事件N 同时发生，故M 与N 不互斥，C 选项错误；
()6384P M =
=，()41
82P N ==，()38
P MN =，()()()P MN P M P N =，则M 与N 相互独立，D 选项正确.故选：AD
11.已知P 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（
）．
A.若1133
AP AB AC =+
，则P 是ABC 的重心
B.若P 与C 不重合，PB PC PA PC ⋅=⋅
，则P 在AB 的高线所在的直线上
C.若2533
AP AB AC =-+
，则P 在CB 的延长线上
D.若AP mAB nAC =+ 且15
m n +=，则PBC 的面积是ABC 面积的
4
5【答案】ABD
【分析】利用三角形重心定义判断A ；利用垂直关系的向量表示判断B ；利用向量线性运算及向量共线的意义判断C ；确定点P 的轨迹结合三角形面积公式判断D 作答.
【详解】对于A ，取BC 边的中点D ，连接AD ，则1()2AD AB AC =+
，而1()3
AP AB AC =+ ，
即有23
AP AD =
，因此P 是ABC 的重心，A 正确；
对于B ，0PC ≠ ，由PB PC PA PC ⋅=⋅
，得()0AB PC PB PA PC ⋅=-⋅= ，
有PC AB ⊥，点P 在AB 的高线所在的直线上，B 正确；
对于C ，由2533
AP AB AC =-+
，得2()3AP AC AC AB -=- ，即有23CP BC = ，则点P 在BC
的延长线上，C 错误；
对于D ，由AP mAB nAC =+ ，得555AP mAB nAC =+
，令5AQ AP = ，则55AQ mAB nAC =+ ，
而551m n +=，因此点Q 是直线BC 上任意一点，由5AQ AP =
知，线段AQ 上的点P 到直线BC 距离等于点A 到直线BC 距离的
4
5
，即点P 在与直线BC 平行，并且到直线BC 距离等于点A 到直线BC 距离的
4
5
的直线l 上，因此PBC 边BC 上的高是ABC 边BC 上的高的4
5，即45
ABC PBC S S = ，D 正确.故选：ABD
12.如图，在四边形ABCD 中，ACD 和ABC 是全等三角形，AB AD =，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，1AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①；将ACD 沿着
AC 折起，
得到三棱锥1D ABC -，如图1．折法②：将ABD △沿着BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（
）．
A.按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积恒为4π
B.按照折法①，存在1D 满足1
AB CD ⊥ C.按照折法②﹐三棱锥1A BCD -体积的最大值为
38
D.按照折法②，存在1A 满足1A C ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角正弦值为6
3
【答案】ACD
【分析】由已知利用棱锥的结构特征，球的表面积判断A ；由棱锥的结构特征判断B ；由棱锥体积判断C ；由线面角的定义求出大小判断D.【详解】由题意知2,3AC BC ==
，
取AC 的中点O ,由于ACD 和ABC 是直角三角形且全等，故1OA OC OD OB ===,
故在折法①的折叠过程中,三棱锥1D ABC -的外接球的球心为O ,半径为1,故该球的表面积恒为4π,故A 选项正确；
按照折法①,在折起过程中,点1D 在平面ABC 内的投影1D '在线段BD 上(不包括端点),
而线段BD (不包括端点)不存在1D '使得1CD AB '⊥，故不存在1D 满足1AB CD ⊥，故B 选项错误；按照折法②，取BD 的中点H ，11
2
A H =
，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -体积取得最大值，
此时体积()
2
1111
33
33322
28
BCD V AH S =⋅=⨯⨯⨯
⨯
=
△,故C 选项正确;当1
2AC =时，22211A C A B BC +=，22211A C A D CD +=，
故此时11AC A B ⊥,1
1AC A D ⊥,又因为11111,,A B A D A A B A D =⊂ 平面1A BD ,故1A C ⊥平面1A BD ,
故1A BC ∠为BC 与平面1A BD 所成线面角,则1126
sin 3
3
A C
A BC BC
∠===
，故D 选项正确.故选:ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在正三角形ABC 中，2AB =，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，则AD BE ⋅=
__________．【答案】3
2
-
##-1.5【分析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，()
()()()130,3,1,0,1,0,0,0,,
22A B C D E ⎛⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
,所以()()
3333
0,3,,,032222AD BE AD BE ⎛⎫=-=∴⋅=+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
，故答案为：3
2
-
14.从A ，B 等5名志愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A 和B 至多有一个入选的概率为__________．【答案】
7
10
##0.7【分析】利用古典概率模型，结合组合数的运算求解.
【详解】由题可知则A 和B 至多有一个入选的概率为123233
35
C C +C 7C 10P ==,
故答案为:
7
10
.15.已知向量a ，b
满足()
0a b b +⋅= ，44a b += ，则a b b ++ 的最大值为__________．
【答案】
4103
##410
3
【分析】利用向量的运算建立平面直角坐标系即可得()(),,,0a OA m n b OB m ==-==
，由44a b += 得22916m n +=，则a b b n m ++=+ ，结合三角函数设π34sin ,4cos ,0,2m n θθθ⎛⎫
==∈ ⎪⎝⎭
，利用三角函数的性质即可求得最值.
【详解】取平行四边形OACB ，连接OC
设,OA a OB b == ，则=+ OC a b ，
因为向量a ，b
满足()0a b b +⋅= ，所以()
a b b +⊥ ，即OC OB ^，
设,OB m OC n ==，,0m n >，如图以O 为原点，,OB OC 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，
则()()()()
0,0,,0,0,,,O B m C n A m n -所以()(),,,0a OA m n b OB m ==-==
，则
()()()224,4,03,94a b m n m m n m n +=-+==+=
，故22916m n +=，所以()()0,,0a b b n m n m
++=+=+
因为22916m n +=，又22sin cos 1θθ+=，可设π34sin ,4cos ,0,2m n θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝
⎭
即4
sin ,4cos 3
m n θθ=
=，所以()()2
244410sin 4cos 4sin sin 333m n θθθϕθϕ⎛⎫
+=+=++=+ ⎪⎝⎭
，其中
4πtan 3,0,423
ϕϕ⎛⎫=
=∈ ⎪⎝⎭，所以()0,πθϕ+∈，所以()(]sin 0,1θϕ+∈，故m n +的最大值为4103，即a b b ++ 的最大值为
4103
.
故选：
4103
.
16.如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km ，峰底A 到峰顶S 的距离为4.8km ，B 是山坡SA 上一点，且AB AS λ=
，()0,1λ∈．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A 到B 的环山观光公路．若从A 出发沿着这条公路到达B 的过程中，要求先上坡，后下坡．则当公路长度最短时，λ的取值范围为__________
．
【答案】4260,4⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭
【分析】作圆锥的侧面展开图，确定从点A 到点B 的最短路径，由条件确定点B 的位置，由此求λ的取值范围.
【详解】以SA
为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如下：
则从从点A 到点B 的最短路径为线段A B '，
在A B '上任取一点P ，连接SP ，则SP 的长表示点P 到山顶的距离，
若1A B S '∠为直角，观察可得当点P 从点A 向点1B 运动时，SP 的长逐渐变小，即从A 出发沿着这条公路到达1B 的过程中，一直在上坡，与条件矛盾，
若2A B S '∠为钝角，观察可得当点P 从点A 向点2B 运动时，SP 的长逐渐变小，即从A 出发沿着这条公路到达2B
的过程中，一直在上坡，与条件矛盾，
若3A B S '∠为锐角，过点S 作3SH AB ⊥，垂足为H ，
观察可得当点P 从点A 向点3B 运动时，SP 的长先变小，后变大，即从A 出发沿着这条公路到达3B
的过程中，先上坡，后下坡．
由已知1AB AB <，
又弧AA '的长为2π， 4.8SA =，
所以2π5π4.812ASA '∠=
=，15π4.8cos 12
SB =，所以15π
4.8 4.8cos 12AB =-，
故5π
4.8 4.8cos 12
AB <-，
所以5πππππππ4261cos 1cos 1cos cos sin sin 124646464AB AS
λ+-⎛⎫
=<-=-+=-+= ⎪⎝⎭ ，
又0λ>，
所以λ的取值范围为4260,4⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：4260,4⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
.【点睛】方法点睛：求曲面上两点之间的最短距离常将曲面展开为平面图形，利用平面上两点之间线段最短的结论求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组
[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，第四组[]
90,100（单位：分），得到如下的频率分布
直方图．
（1）求图中m 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；
（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】（1）0.01m =，中位数为82.5．（2）82x =，有520名学生获奖．
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解；
（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率即可.【小问1详解】
由频率分布直方图知：()0.030.040.02101m ++++⨯=，解得0.01m =，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为0x ，
因数据落在[)60,80内的频率为0.4，落在[)60,90内的频率为0.8，从而可得08090x <<，由()0800.040.1x -⨯=，得082.5x =，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．【小问2详解】
由频率分布直方图及（1）知：
数据落在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
650.1750.3850.4950.282x =⨯+⨯+⨯+⨯=，
此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为9082
0.20.40.5210
-+⨯=，则10000.52520⨯=，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖18.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.（1）求甲最后没有得奖的概率；
（2）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率.【答案】（1）0.65（2）0.105
【分析】（1）甲没中奖分为第一关没有通过，和第一关通过且第二关没有通过两种情况，分别求得两个事件的概率再求和即可；
（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解．【小问1详解】
甲第一关没通过的概率为10.70.3-=，
第一关通过且第二关没通过的概率为0.7(10.5)0.35⨯-=，故甲没有得奖的概率0.30.350.65P =+=．
【小问2详解】
记甲和乙通过了第二关且最后获得二等奖为事件E ，通过了第二关且最后获得一等奖为事件F ，
则()0.5(10.3)0.35P E =⨯-=，()0.50.30.15P F =⨯=，
甲和乙最后所得奖金总和为700元，
∴甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，
若甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为10.350.150.0525P =⨯=，若乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为20.350.150.0525P =⨯=，
∴甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率120.05250.05250.105P P P =+=+=．
19.已知ABC 为锐角三角形，且()cos sin 3sin cos A B A B +=+．
（1）若π
3
C =
，求A ；（2）已知点D 在边AC 上，且2AD BD ==，求CD 的取值范围．【答案】（1）π4
A =；（2）()1,2.
【分析】（1）利用三角恒等变换可得ππcos cos 36A B ⎛
⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，再利用三角函数的性质结合条件即得；
（2）利用正弦定理结合条件可得1
sin CD C
=，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.【小问1详解】
因为()cos sin 3sin cos A B A B +=+，
所以cos 3sin 3cos sin A A B B -=-，即ππcos cos 36A B ⎛⎫⎛⎫+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，又π0,2A ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，π0,2B ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以
ππ5πππ2π,336663
A B <+<<+<，所以ππ36A B +=+，即π6
B A =+，又πA B
C ++=，π
3C =，
所以πππ63
A A +++=，即π
4A =；
【小问2详解】
因为2AD BD ==，所以DBA A ∠=∠，又π6
ABC A ∠=+，可得π6
DBC ∠=
，在DBC △中，
sin sin CD BD
DBC C =∠，
所以sin 1
sin sin BD DBC CD C C
∠==，
在ABC 中，()πsin sin sin 26C A B A ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭
，因为ABC 为锐角三角形，
所以π02ππ062ππ0π62A B A C A A ⎧
<<⎪⎪
⎪
<=+<⎨⎪
⎪
<=---<⎪⎩
，得ππ63A <<，
所以
ππ5π2266A <+<，1πsin 21
26A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以
1
sin C
()1,2∈，即CD 的取值范围为()1,2.20.已知四棱锥C ABED -的底面是直角梯形，//AB DE ，90ADE ∠=︒，2AB =，1DE =，
3AD =，侧面BCE 是正三角形，侧棱长6AC =
，如图所示．
（1）证明：平面BCE ⊥平面ABED ；
（2）求直线CD 与平面BCE 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）
14
4
【分析】（1）利用三角形的边角关系，可得线线垂直，进而可得线面垂直，由线面垂直即可得面面垂直，
（2）根据面面垂直得性质可得线面垂直，即可由线面角的几何法结合三角形的边角关系即可求解.【小问1详解】
证明：取BE 的中点F ，连接AE 、AF 、CF ，
在直角梯形ABED 中，3,1,90AD DE ADE =
=∠=︒，
所以2,60,60,AE AED EAB =∠=︒∴∠=︒又2,2AE AB BE ==∴=，3AF ∴=
,
又BCE 是边长为2的正三角形，所以3CF =，6AC =，
所以222AF CF AC +=，则CF AF ⊥．由题意知，CF BE ⊥，且AF BE F ⋂=，AF ，BE ⊂平面ABED ，
所以CF ⊥平面ABED ，
又CF ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面ABED ．【小问2详解】
过D 作DH BE ⊥交BE 于H ，
因为平面BCE ⊥平面ABED ，平面BCE 平面ABED BE =，DH ⊂平面ABED ，所以DH ⊥平面BCE ，则DCH ∠为直线CD 与平面BCE 所成角，设点D 到平面BCE 的距离为d ，
由于120,60DEB DEA AEB DEH ∠=∠+∠=∴∠= ,则3
sin 602
d DH DE ==︒=
，连接DF ，在DEF 中，因为1DE EF ==，2π3
DEF ∠=
，由余弦定理可得2212cos12011232DF DE EF DE EF ⎛⎫
=
+-⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭
．
又DCF 为直角三角形，于是226DC DF CF =+=，
设直线CD 与平面BCE 所成角为θ，则
322sin 46
d DC θ===
，又π0,2θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以14cos 4
θ=
．.
21.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足22
2
1sin sin sin 2
C A B -=．（1）当tan 2A =时，求tan C 的值；
（2）当2a =，且C A -取得最大值时，求ABC 的面积．【答案】（1）6
（2）23
【分析】（1）将2
2
21sin sin sin 2C A B -=角化边22
212c a b -=，代入余弦定理222cos 2b c a A bc
+-=
中，再边化角得出tan 3tan C A =将tan 2A =代入即可求得tan C ；（2）由（1）知tan 3tan C A =，代入()tan tan tan 1tan tan C A
C A C A
--=
+中化简，即可得出取最大值时
π6A =
，π2B =，π
3
C =，由正弦定理求得c 即可求得面积.【小问1详解】由2
2
2
1sin sin sin 2
C A B -=
，根据正弦定理得：2
2
212
c a b -=
，又由余弦定理得，
22
2
2
333sin 2cos 2244sin b
b c a b B A bc bc c C
+-====
，∴4sin cos 3sin 3sin cos 3sin cos C A B A C C A ==+，
∴sin cos 3sin cos tan 3tan 6C A A C C A =⇒==．【小问2详解】
由（1）知，若cos 0A =，则cos 0C =，则π
2
A C ==，与题设矛盾．所以tan 3tan 0C A =>，于是有
()2tan tan 2tan 2
3tan 1
1tan tan 13tan 33tan tan C A A
C A C A A
A A
--=
==
≤
+++，
当且仅当3
tan 3
A =时，()tan C A -有最大值，此时C A -最大．此时，π6A =
，π2B =，π3
C =，由正弦定理得π2sin
sin 323πsin sin 6
a C c A =
==．所以11
2232322
S ac ==⨯⨯=．
22.如图，在四面体ABCD 中，ABC 是边长为2的等边三角形，DBC △为直角三角形，其中D 为直角顶点，60DCB ∠=︒．E 、F ，G 、H 分别是线段AB 、AC 、CD 、DB 上的动点，且四边形EFGH
为平行四边形．
（1）当二面角A BC D --从0︒增加到90︒的过程中，求线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域的面积；（2）设AE
AB
λ=
，()0,1λ∈，且ACD 是以CD 为底的等腰三角形，当λ为何值时，多面体ADEFGH 的体积恰好为1
4
．
【答案】（1）
34
（2）1
2
【分析】（1）画出A BC D --为0︒、90︒时A 的投影，由此判断出线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域，进而求得区域的面积．
（2）先求得三棱锥A BCD -的面积为12，通过分割的方法，得到ADEGH A EFGH A DGH V V V --=+，分别求得A EFGH V -，A DGH V -与A BCD V -的关系式，再由12
ADEGH A BCD V V -=
⋅列方程，解方程求得λ的值．【小问1详解】
∵AB AC =，
∴A 在平面BCD 上的投影A '满足A B A C ''=，即A 在平面BCD 上的投影A '在线段BC 的中垂线上．
如图所示，将Rt BCD 补成边长为2的正三角形BCM ，
当二面角A BC D --为0︒时，即点A 在平面BCD 上，此时A 为M ，
当二面角A BC D --为90︒时，此时A '为BC 中点N ，
故DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域为DMN ，而1344
DMN MBC S S == ，故线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域的面积为
34．【小问2详解】
∵2AC =，1CD =，且ACD 为等腰三角形，∴2AD =．
取BC 中点O ，连接OD ，AH ，AG ，
由题意得：OA BC ⊥，3OA =，12
BC OD ==，
满足222OA OD AD +=，根据勾股定理可知OA OD ⊥，
又,,BC OD O BC OD ⋂=⊂平面BCD
∴OA ⊥平面BCD ．∴11113322
A BCD BCD V S OA CD BD OA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，而多面体ADEFGH 的体积恰好为
14，即多面体ADEFGH 的体积恰为四面体ABCD 体积的一半．
设点F 到平面ABD 的距离为F h ，点C 到平面ABD 的距离为C h ，
因为四边形EFGH 为平行四边形，所以//,EF HG EF HG =，又EF ⊄平面BCD ，HG ⊂平面BCD ，所以//EF 平面BCD ，
因为EF ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，所以//EF BC ，则
AE AF EF HG AB AC BC BC λ=
===，所以//BC HG ，则HG DH DG BC BD DC λ===，则11sin sin 22AEH ABH S AE AH BAH AB AH BAH S λλ=⋅⋅∠=⋅⋅∠= 又()()11sin 1sin 122ABH ABD S AB BH ABH AB BD ABH S λλ=⋅⋅∠=⋅-⋅∠=- ，所以()1AEH ABD
S S λλ=- ∴()21222232113AEH F A EFGH A EFH F AEH AEH A BCD A BCD C ABD
ABD ABD C S h V V V S AF V V V S AC S h λλ------⨯⨯⨯⋅=====-⋅⨯⨯ ，∴()221A EFGH A BCD V V λλ--=-⋅．
设点A 到平面BCD 的距离为A h ，
211sin sin 22
DGH BCD S DH DG BDC BD DC BDC S λλλ=
⋅⋅∠=⋅⋅∠= ∴21313DGH A A DGH DGH A BCD DBC BCD A S h V S V S S h λ--⋅⋅===⋅⋅△△△△，∴2
A DGH A BCD V V λ--=⋅．
∴()21322A EFGH A DGH A BCD A BCD ADEFGH V V V V V λλ----=+=-⋅=多面体，∴()21322λλ-=，整理得()2122102λλλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得：12λ=或132
λ±=．又因为()0,1λ∈，所以12λ=.。