北师大版高三数学(理)一轮复习：第9章 第2节 两条直线的位置关系

第二节 两条直线的位置关系
[最新考纲] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离．
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直
①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),则l 1与l 2的交点坐标就是方
程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2
＋y 2
. (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2
. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
. [常用结论]
由一般式方程确定两直线位置关系的方法
直线方程l 1与l 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 2
1≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2
2＋B 2
2≠0) 垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1
C 2
(A 2B 2C 2≠0) 相交的充分条件
A 1A 2≠
B 1
B 2
(A 2B 2≠0)
重合的充分条件
A 1A 2＝
B 1B 2＝
C 1
C 2
(A 2B 2C 2≠0)
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交．( ) (4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) [答案] (1)× (2)× (3) √ (4)√ 二、教材改编
1．已知点(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1
D.2＋1
C [由题意得|a －2＋3|
2＝1,即|a ＋1|＝2,
又a>0,∴a ＝2－1.]
2．已知P(－2,m),Q(m,4),且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0,则m ＝________. 1 [由题意知m －4
－2－m ＝1,所以m －4＝－2－m,
所以m ＝1.]
3．若三条直线y ＝2x,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．
－9 [由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x ，
x ＋y ＝3，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝2.
所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0, 即m×1＋2×2＋5＝0,所以m ＝－9.]
4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行,则它们之间的距离是________． 2 [由两直线平行可知36＝4
m
,即m ＝8.
∴两直线方程分别为3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0, 则它们之间的距离d ＝
|7＋3|9＋16
＝2.]
考点1 两条直线的位置关系
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 前思 在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分类讨论 后想 在解题后要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解
1.设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [当a ＝1时,显然l 1∥l 2, 若l 1∥l 2,则a(a ＋1)－2×1＝0, 所以a ＝1或a ＝－2.
所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]
2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直,则实数a 的值为( ) A.12 B.32 C.14
D.34
D [由已知得3(a －1)＋a ＝0,解得a ＝3
4
.]
3．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0,l 2：4x ＋3y ＋5＝0,l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23
B.
⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
－43
，－23，23
D [∵三条直线不能构成一个三角形, ∴①当l 1∥l 3时,m ＝2
3；
②当l 2∥l 3时,m ＝－4
3
；
③当l 1,l 2,l 3交于一点时,也不能构成一个三角形,
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，得交点为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－13,代入mx －y －1＝0,得m ＝－23.故选D.]
直接运用“直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行与垂直的充要条件解题”可有效避免
不必要的参数讨论．
考点2 两条直线的交点与距离问题
(1)求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直
线方程．
(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 ①求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式．
②求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y 的系数对应相等．
(1)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点,且与直线2x －y －1＝0垂直
的直线方程为________
(2)直线l 过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________．
(1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －4＝0，
x －y ＋2＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝3，∴l 1与l 2的交点
坐标为(1,3)．
设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0, 则1＋2×3＋c ＝0,∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.
(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2＝k(x ＋1),即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|
k 2
＋1, 即|3k －1|＝|－3k －3|,∴k ＝－1
3
,
∴直线l 的方程为y －2＝－1
3
(x ＋1),即x ＋3y －5＝0.
当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝－1,也符合题意．]
1.直线系方程的常见类型
(1)过定点P(x 0,y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k(x －x 0)(k 是参数,直线系中未包括直线x ＝x 0),也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1
＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R,但不包括l 2)．
2．动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算．
[教师备选例题]
1．已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0,x ＋y －7＝0,2x －7y －14＝0,求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程．
[解] 设所求高所在的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x＋y －7)＝0,即(2＋λ)x＋(λ－1)y ＋(4－7λ)＝
0,
可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0, 解得λ＝11
5
,
所以所求高所在的直线方程为7x ＋2y －19＝0.
2．求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点,且和A(－3,1),B(5,7)等距离的直线方程． [解] 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x－21y －1)＝0, 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0, 由点A(－3,1),B(5,7)到所求直线等距离,可得 |
2＋7λ×－3＋7－21λ×1－4－λ|
2＋7λ2＋7－21λ2
＝
|2＋7λ×5＋7－21λ
×7－4－λ|
2＋7λ
2
＋7－21λ
2
,
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|,解得λ＝2935或λ＝1
3,
所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.
1.当0<k<1
2
时,直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
B [由⎩⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝k k －1
，y ＝2k －1
k －1.
又∵0<k<12,∴x ＝k k －1<0,y ＝2k －1
k －1>0,故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象
限．]
2．若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ) A.9
5 B.185 C.2910
D.
295
C [因为36＝48≠－12
5,所以两直线平行,将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0,由题意可知|PQ|
的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋8
2
＝2910,所以|PQ|的最小值为29
10.]
考点3 对称问题
中心对称问题 中心对称问题的解法
(1)点关于点：点P(x,y)关于点Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x′＝2a －x ，
y′＝2b －y.
(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
过点P(0,1)作直线l,使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P
平分,则直线l 的方程为________．
x ＋4y －4＝0 [设l 1与l 的交点为A(a,8－2a),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l 2上,代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0,解得a ＝4,即点A(4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.]
点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题,利用中点坐标公式求解． 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2恒过定点( )
A ．(0,4)
B ．(0,2)
C ．(－2,4)
D ．(4,－2)
B [直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2恒过定点(0,2)．]
轴对称问题 轴对称问题的解法
(1)点关于线：点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n), 则有⎩⎪⎨⎪⎧
n －b m －a ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n
2
＋C ＝0.
(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
(1)已知直线y ＝2x 是△ABC 中角C 的平分线所在的直线,若点A,B 的坐标分别是(－
4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2,－4)
C ．(2,4)
D ．(2,－4)
(2)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________．
(1)C (2)6x －y －6＝0 [(1)设A(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x,y),则
⎩⎪⎨⎪⎧
y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝
－2－1
4－3
(x －3),即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝4，
则C(2,4)．
(2)设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′, 所以⎩⎪⎨⎪⎧
b －4
a －－3·1＝－1，－3＋a 2－
b ＋4
2＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0.即M ′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6), 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,
即6x －y －6＝0.]
在求对称点时,关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心
在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解．
1.若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m ＋n ＝
________.
34
5
[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y ＝2x －3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是⎩⎪⎨⎪⎧
3＋n 2＝2×7＋m
2
－3，n －3m －7＝－1
2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝35，n ＝31
5，
故m ＋n ＝34
5
.]
2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l′的方程． [解] (1)设A′(x ,y),
则⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －2
2
＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－33
13，y ＝4
13，
即A′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3313，413.
(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a ,b),则⎩⎪⎨⎪
⎧
2×a ＋22－3×b ＋0
2
＋1＝0，
b －0a －2×2
3＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6
13，b ＝30
13，
即M′⎝ ⎛⎭
⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N,则由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，
3x －2y －6＝0，
得N(4,3)．
又m′经过点N(4,3),
∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.
(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N 关于点A 的对称点P′,N′均在直线l′上．
易知P′(－3,－5),N′(－6,－7),由两点式可得l′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设Q(x,y)为l′上任意一点,
则Q(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为Q′(－2－x,－4－y), ∵Q′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0.。