不等式复习课课件

a
x
x＞a
{x| x ＞ a}
(a，＋∞)
ax x＜a {x| x ＜ a} (－∞，a)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
例1 用区间记法表示下列不等式的解集： （1）9≤x≤10 ； （2） x≤0.4 ． 解：（1）[9，10] ； （2）(－∞，0.4 ] ．
例2 用集合的性质描述法表示下列区间： （1）（－4，0）； （2）（－8 ，7].
解：（1）对于任意一个实数 x，都有 x2－2 x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
所以原不等式的解集为R．
（2）解不等式x2 － 2x＋3 <0
解：（2）对于任意一个实数x，不等式 (x－1)2＋2＜0
都不成立，所以原不等式的解集为．
算算△？
解下列不等式： (1) x2－2x＋3≤0； (2) x2＋4x＋5＞0； R (3) x2－2x＋1＞0． { x| x ≠1 }
例1 比较下列各组中两个实数的大小：
(1) 3 和 4；
(3) 7 和 10 ； 11 17
(2) 6 和 5 ； 76
(4) 12.3 和 12 1 ． 3
a ＞ b a －b＞0 a ＝ b a－b＝0
a ＜ b a－b＜0
解 (1) 因为 (3) (4) ＝－3+4 ＝1 ＞0，
所以 3 ＞ 4 ；
(2) 解不等式 x2x12<0
解：（1）因为=(1)2-41(12)=49>0，
方程 x2 x 12=0 的解是x1=3 , x2=4， 则 x2 x 12=(x+3)(x4)>0 ． 思考一下因式分解？ 原不等式转化为一元一次不等式组：
(Ⅰ)xx
3 4
0 0
或
(Ⅱ)xx
3 4
0 0
一元二次不等式的解的情况：
a0
0
一元二次方程 有两个互异实根
ax2 bx c 0 的根
x x1或x x2 ( x1 x2 )
不等式 ax2 bx c 0
的解集
{x | x x1或x x2}
不等式
ax2 bx c 0
的解集
{x | x1 x x2}
不等式组(Ⅰ)的解集是 {x|x >4}；
不等式组(Ⅱ)的解集是 {x|x <3} ． 故原不等式的解集为{ x| x <3或x> 4} ．
解一元二次不等式：
（1）(x+1)(x2)<0； （2）(x+2)(x3)>0；
{x|-1<x<2}
（3）x22x3>0；
{x|x<-2或x>3}
（4）x22x3<0．
c
b
b＞c
a
？
c a＞c
性质2(加法法则) 如果a＞b，那么 a＋c＞b＋c ．
ac 推论
？
b c a＞b
a＋c＞b＋c
如果a＋c＞b，那么a＞bc ． 不等式的两边同时 加上（或同时减去） 同一个数，不等号的
如果a＞b，那么 ac＞bc ．方向不变．
性质3(乘法法则) 如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c． 如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c．
使不等式成立的未知数的全体，通常称为这 个不等式的解集．
例１ 解不等式 2(x 1) x 2 7x 1
32
解：去分母，得 12(x 1) 2(x 2) 21x 6
去括号，得 12x 12 2x 4 21x 6
移项，得
12x 2x 21x 12 46
开始 去分母 去括号 移项
合并同类项，得
解不等式组：
4x 2x 6 10 3x 7x 30
开始 去分母 去括号 移项
合并同类项 化成ax>b(a0)
是 {x| x > b }
a
否 a>0
b
{x| x < a }
开始 求不等式组中 各个不等式的解集
求出各个不等式 解集的公共部分
求出不等式组的解集
一元二次不等式的定义
含有一个未知数并且未知数最高次数是二次的不 等式叫一元二次不等式.
(x+1)(x-3)>0
{x|x<-1或x>3}
(x+1)(x-3)<0 {x|-1<x<3}
求解一元二次不等式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a >0,=b24ac>0)的步骤:
开始 判断=b24ac>0
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) (x1 < x2)
写出两个等价的不等式组
如果不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变．
如果不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向改变．
aa
？
b b a＞b 2 a＞2 b
要点：不等式的三条基本性质．
方法：作差比较法．
注意点：不等式的基本性质3中同乘负数一定要改变不 等号的方向．
设 a＜x＜b
a bx a≤x≤b
{x| a≤x≤b} [a，b]
当且仅当 x=0 时，等号成立．
B
A
b
a
x
A (B)
a (b) x
A
B
a
b
x
a ＞ b
a －b＞0
a ＝ b
a－b＝0
a ＜ b
a－b＜0
由此我们可以得出比较两个实数大小的方法，即是作差法. 作差法的步骤：作差变形定号(与0比较大小) 结论.
性质1 如果a＞b，b＞c，那么a＞c． b
a
（传递性） a＞b
比较两个代数式的大 小，就是比较两个代 数式的值的大小．
a ＞ b a －b＞0 例3 比较 (x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小 ． a ＝ b a－b＝0
解 因为 (x2+1)2 ( x4+x2+1)
a ＜ b a－b＜0
＝ (x4+2x2+1) x4x21 ＝ x2≥ 0． 所以 (x2+1)2 ≥( x4+x2+1)．
例如：
x 4000
x
4100
或
x 5040
x5 4 x 1 3
例2 解下列不等式组：
解：（1）由原不等式组可得
x5 4 x 1 3
即
x5 x3
4
所以
x≤－5．
开始
求不等式组中 各个不等式的解集
－求5 出各个不43 等0 式 x 解集的公共部分
即原不等式的解集为{x|x≤－5}．求出不等式组的解集
分别解出两个不等式组的解集
是
否
(x-x1)(x-x2)>0
{x| x< x1或x> x2 }
{x | x1 < x< x2 }
1. (a+b)2＝___a_2_+_2_a_b_+_b_2__；
(ab)2＝___a_2_-_2_a_b_+_b_2_．
2. 把下面的二次三项式写成a(x+m)2+n的形式：
求解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的步骤:
=b24ac
≥0
否
是
求方程ax2+bx+c=0 的两个根x1，x2
原不等式的解集是
{x | x x1 }
是 x1=x2 否
原不等式的解集是
{x| x< x1或x> x2 }
(x1<x2)
方程ax2+bx+c=0 没有实数根
原不等式的解集是
R
如果 a > 0，那么 ︱x︱< a ︱x︱> a
想一想
{x|a < x < a}
a = 0或a < 0时上
述结果还成立吗?
{x|x < a 或 x > a} 为什么?
-a
0
a
x
解下列不等式 ： （1）|x| < 5； （2）|x|－3 > 0； （3）3|x| > 12．
例1 解不等式 |2x3|<5 ．
7x 14
合并同类项 化成ax>b(a0)
两边都除以－7，得
x2
是
原不等式的解集为 (，2）．
{x|
x
>
b a
}
否 a>0
b
{x| x < a }
求下列不等式的解集： （1）x＋5＞2；
（2） y 1 y 1 y 1. 32 6
一元一次不等式组的定义
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所 组成的不等式组叫做一元一次不等式组．
解：由原不等式可得
5 < 2x3 < 5， 2 < 2x < 8， 化简，得 1 < x < 4， 所以原不等式的解集为 {x| 1< x<4}．
不等式|x|<a的解 集是{x|-a<x<a}
不等式|2x－3|≤5 的解集是怎样的？
例2 解不等式 |2x3|≥5 ．
解：原不等式等价于不等式：
闭区间
a bx a＜x＜b
a bx a＜x≤b
a bx a≤x＜b
{x| a＜x＜b} {x| a＜x≤b}
(a，b)
(a，b]
{x| a≤x＜b} [a，b)
开区间
半开半闭区间 半开半闭区间
其中 a，b 叫做区间的端点．
a
x
x≥ a