第三章 谱估计部分习题解答

aˆ 2
(2)
=
−
rˆxx
(2)
+ aˆ1 (1)rˆxx ρˆ1
(1)
=
−
0.6
+
(−0.8) 0.36
×
0.8
=
1 9
=
0.1111
aˆ2 (1)
=
aˆ1 (1)
+
aˆ2 (2)aˆ1* (1)
=
−0.8
+
1 9
× (−0.8)
=
−
8 9
=
−0.8889
ρˆ 2
=
(1 −
aˆ2 (2) 2 )ρˆ1
(1)
2
+
eˆ0b (0)
2
)
+ ( eˆ0f
(2)
2
+
eˆ0b (1)
2
)
+
( eˆ0f
(3)
2
+
eˆ0b (2)
2
)
+
( eˆ0f
(4)
2
+
eˆ0b (3)
2
)
+
( eˆ0f
(5)
2
+
eˆ0b (4)
2
)
= − 630.1765 = −0.9874 638.2416
ρˆ1
=
(1 −
kˆ1
2
) ρˆ 0
+ 8.4232
+ 8.6502
+ 8.6402
+ 8.3922 )
= 60.8839
ρˆ0 = rˆxx (0) = 60.8839
eˆ0f (n) = x(n)
n = 1,2,L,5
eˆ0b (n) = x(n)
n = 0,1,L,4
对于 AR(2) 模型, k = 1, 2 ，有
N −1
∑ − 2 eˆkf−1 (n)eˆkb−1 (n − 1)*
aˆ2 (2)
=
−
rˆxx
(2)
+ aˆ1 (1)rˆxx (1) ρˆ1
=
−
5.2
− 8 ×8 11 57
=
34 285
=
0.1193
11
aˆ 2
(1)
=
aˆ1
(1)
+
aˆ 2
(2)aˆ1*
(1)
=
−
8 11
+
0.1193
×
(−
8) 11
=
−0.814
ρˆ 2 = (1 − aˆ2 (2) 2 )ρˆ1 = (1 − 0.11932 ) × 5.1818 = 5.1081， σ 2 = ρˆ 2 = 5.1081
=
0.5992
aˆ2 (1) = aˆ1 (1) + kˆ2aˆ1* (1) = −0.9874 + 0.7791× (−0.9874) = −1.7567
即所求的 AR(2) 模型参数为 a2 (2) = 0.7791， aˆ2 (1) = −1.7567 ， ρˆ 2 = 0.5992
与真实模型 x(n) = 1.70x(n − 1) − 0.72x(n − 2) + u(n) 基本相当。
N −1
∑ − 2 eˆkf−1 (n)eˆkb−1 (n − 1)*
∑ kˆ2
=
n=2
N −1 ( eˆkf−1 (n) 2
+
eˆkb−1 (n − 1) 2 )
n=2
=
− 2(eˆ1f (2)eˆ1b (1) + eˆ1f (3)eˆ1b (2) + eˆ1f (4)eˆ1b (3) + eˆ1f (5)eˆ1b (4))
∑ kˆ1
=
n=1
N −1 ( eˆkf−1 (n) 2
+
eˆkb−1 (n − 1)
2
)
n=1
=
− 2(eˆ0f (1)eˆ0b (0) + eˆ0f (2)eˆ0b (1) + eˆ0f (3)eˆ0b (2) + eˆ0f (4)eˆ0b (3) + eˆ0f (5)eˆ0b (4))
( eˆ0f
第三章 谱估计部分习题解答
3.11 已知一线性预测器表示式为 e(n) = x(n) + α1x(n −1) ，选α1 使预测的均方误差为最小，请用自相关函 数表示α1 。
解： 根据前向预测正交原理
E[e(n)x* (n − k)] = 0 ， k = 1, 2 L, p 将 e(n) = x(n) + α1x(n −1) 代入上式，且 p=1,即 k=1, 得 E[(x(n) + α1x(n −1))x* (n −1)] = 0 E[x(n)x* (n − 1)] + α1E[x(n −1)x* (n −1)] = 0
该自回归过程的功率谱估计为
∑ PAR ( f ) = Pxx ( f ) =
1+
p
σ2
2
a(k )e − j2πfk
=
0.3556
1 − 0.8889e j2πf + 0.1111e j4πf
2
k =1
3.23
一自回归过程的 5 个观测值为
x(n) = {1, 2, 3, 4, 5}, n = 0, 1, 2, 3, 4
Fra Baidu bibliotek
eˆ1f (4) = eˆ0f (4) + kˆ1eˆ0b (3) = 8.640 + (−0.9874) × 8.650 = 0.09899 eˆ1b (3) = eˆ0b (2) + kˆ1*eˆ0f (3) = 8.423 + (−0.9874) × 8.650 = −0.11801
eˆ1f (5) = eˆ0f (5) + kˆ1eˆ0b (4) = 8.392 + (−0.9874) × 8.640 = −0.1391 eˆ1b (4) = eˆ0b (3) + kˆ1*eˆ0f (4) = 8.650 + (−0.9874) × 8.640 = 0.1189
（1）用 Levinson-Durbin 算法设计一个二阶线性预测器。要求计算各阶线性预测系数、预测误差功率，以
及 x(0)和x(4) 的预测值 xˆ(0)和xˆ(4) ，并画出横向结构预测误差滤波器的框图。
（2）用 Burg 算法计算各阶反射系数、预测误差功率，以及预测值 xˆ(0)和xˆ(4) ，并画出格型结构预测误差
5×
2)
=
2.8
rˆxx
(4)
=
1 5
(5 ×1)
=
1
（1）根据列文森—德宾递推公式，可得
aˆ1 (1) = −rˆxx (1) / rˆxx (0) = −8 /11 = −0.7273
ρˆ1 = (1 − aˆ1 (1) 2 )rˆxx (0) = (1 − (−8 /11)2 ) ×11 = 57 /11 = 5.1818
ekb
(n)
=
ekb−1
(n
− 1)
+
k
* k
ekf−1
(n)
其中 eof (n) = eob (n) = x(n) ，可画出二阶预测误差滤波器的格型结构如下：
（2） σ
2
=
ρˆ 2
=
0.3556 ， a(2)
=
aˆ2 (2)
=
1 9
=
0.1111， a(1)
=
aˆ2 (1)
=
−8 9
=
−0.8889
=
(1 − (1)2 ) × 0.36 9
=
16 45
=
0.3556 ，
σ 2 = ρˆ 2 = 0.3556
一阶和二阶反射系数分别为
kˆ1 = aˆ1 (1) = −0.8 ， kˆ2 = aˆ2 (2) = 0.1111
由格型滤波器的关系式
ekf (n) = ekf−1 (n) + kk ekb−1 (n − 1)
rxx (1) + α1rxx (0) = 0
故有
α1
=
−
rxx (1) rxx (0)
3.21 已知序列 x(n) = {4.684, 7.247, 8.423, 8.650, 8.640, 8.392} 由模型 x(n) = 1.70x(n − 1) − 0.72x(n − 2) + u(n)
产生，这里 u(n) 是均值为零、方差为 1 的白噪声。试用 Burg 算法求 AR(2) 的模型参数。
滤波器的框图。
（3）对用上面两种算法求得的预测误差功率、预测值进行比较，并将 xˆ(0)和xˆ(4) 与真值进行比较，看看哪
种算法预测的准确些。
解：由题意可知： x(0) = 1, x(1) = 2, x(2) = 3, x(3) = 4, x(4) = 5 ， N = 5
∑ 根据自相关函数的有偏估计公式：
rˆxx (k)
=
1 N
N − k −1
x(n +
n=0
k
)x(n)
可得：
rˆxx
(0)
=
1 5
(1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1)
=
1
rˆxx
(1)
=
1 5
(1×1 + 1×1 + 1×1 + 1×1)
=
0.8
rˆxx
(2)
=
1 5
(1×1 + 1×1 + 1×1)
=
0.6
rˆxx
(3)
=
1 5
(1×1 + 1×1)
=
0.4
rˆxx
(4)
=
1 5
(1×1)
=
0.2
（1）根据列文森—德宾递推公式，可得
aˆ1 (1) = −rˆxx (1) / rˆxx (0) = −0.8 /1 = −0.8
ρˆ1 = (1 − aˆ1 (1) 2 )rˆxx (0) = (1 − (−0.8)2 ) ×1 = 0.36
3×
2
+
4×
3
+
5×
4)
=
10
rˆxx (2)
=
5
1 −
2
(3×1 +
4×
2
+
5 × 3)
=
26 3
=
8.6667
rˆxx
(3)
=
5
1 −
3
(4 ×1+
5×
2)
=
7
rˆxx
(4)
=
5
1 −
4
(5 ×1)
=
5
（1）根据列文森—德宾递推公式，可得
aˆ1 (1) = −rˆxx (1) / rˆxx (0) = −10 /11 = −0.9091
rˆxx (k)
=
1 N
N − k −1
x(n +
n=0
k
)x(n)
可得：
rˆxx
(0)
=
1 5
(1×1 +
2×
2
+
3×3
+
4×
4
+
5×
5)
=
11
rˆxx
(1)
=
1 5
(2 ×1+
3×
2
+
4×
3
+
5×
4)
=
8
rˆxx
(2)
=
1 5
(3 ×1 +
4×
2
+
5×
3)
=
5.2
rˆxx
(3)
=
1 5
(4 ×1+
=
(1 −
(−0.9874)2 ) × 60.8839
= 1.5246
aˆ1 (1) = kˆ1 = −0.9874 eˆ1f (n) = eˆ0f (n) + kˆ1eˆ0b (n − 1), eˆ1b (n) = eˆ0b (n − 1) + kˆ1*eˆ0f (n),
分别求得：
n = 2,L,5 n = 1,L,4
二阶线性预测器系数分别为
a(1) = aˆ2 (1) = −0.814 ， a(2) = aˆ2 (2) = 0.1193
二阶线性前向预测器的差分方程为
xˆ(n) = 0.814x(n −1) − 0.1193x(n − 2) 前向预测值 xˆ(0) = 0 ， xˆ(4) = 0.814x(3) − 0.1193x(2) = 0.814 × 4 − 0.1193× 3 = 2.8981
3.22 已知某自回归过程的 5 个观测值为{1，1，1，1，1}。 （1） 求一阶和二阶反射系数，并画出二阶预测误差滤波器的格型结构图。 （2） 求该自回归过程的功率谱估计。
解：由题意可知： x(0) = x(1) = x(2) = x(3) = x(4) = 1， N = 5
∑ 根据自相关函数的有偏估计公式：
二阶线性后向预测器的差分方程为
xˆ(n) = 0.814x(n +1) − 0.1193x(n + 2) 后向预测值 xˆ(0) = 0.814x(1) − 0.1193x(2) = 0.814 × 2 − 0.1193× 3 = 1.2701， xˆ(4) = 0
二阶预测误差滤波器 e(n) = x(n) − 0.814x(n − 1) + 0.1193x(n − 2) ，其横向结构框图如下：
eˆ1f (2) = eˆ0f (2) + kˆ1eˆ0b (1) = 8.423 + (−0.9874) × 7.247 = 1.2673 eˆ1b (1) = eˆ0b (0) + kˆ1*eˆ0f (1) = 4.684 + (−0.9874) × 7.247 = −2.4717
eˆ1f (3) = eˆ0f (3) + kˆ1eˆ0b (2) = 8.650 + (−0.9874) × 8.423 = 0.3331 eˆ1b (2) = eˆ0b (1) + kˆ1*eˆ0f (2) = 7.247 + (−0.9874) × 8.423 = −1.0699
解：由题意可知：
N =6 x(0) = 4.684, x(1) = 7.247, x(2) = 8.423, x(3) = 8.650, x(4) = 8.640, x(5) = 8.392
Burg 算法计算如下
∑ rˆxx (0)
=
1 N
N −1 n=0
x(n)
2
=
1 6
(4.684 2
+
7.247 2
( eˆ1f
(2)
2
+
eˆ1b (1)
2
)
+
( eˆ1f
(3)
2
+
eˆ1b (2)
2
)
+
( eˆ1f
(4)
2
+
eˆ1b (3)
2
)
+
( eˆ1f
(5)
2
+
eˆ1b (4)
2
)
= 7.034 = 0.7791 9.0282
a2 (2) = k2 = 0.7791
ρˆ 2
=
(1 −
kˆ2
2
)ρˆ1
=
(1 − 0.77912 ) ×1.5246
x(n)
z −1
z −1
− 0.814 0.1193
e(n)
补充计算：
∑ 如采用自相关函数的无偏估计公式：
rˆxx (k)
=
N
1 −
k
N − k −1
x(n + k )x(n)
n=0
可得：
rˆxx
(0)
=
1 5
(1×1 +
2×
2
+
3×3
+
4×
4
+
5×
5)
=
11
rˆxx
(1)
=
1 (2 5 −1
×1+