阻尼振动
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2
2
0
i t
2
2
通解：x
e
t
( c1 e
t
i t
c2e
)
i
1
可写成 x Ae
cos( t )
A 与 由初始条件确定。
A
5
x0
2Hale Waihona Puke (v0 x 0 )2
0
2
tg
(v0 x 0 )
0
2
x Ae
t
x
欠阻尼 过阻尼 临界阻尼
t
临界阻尼达到平衡位置的时 间最短，但仍不能超过平衡 o 位置。 临界阻尼情况是振动系统刚 刚不能作准周期振动，而很 快回到平衡位置的情况，应 三种阻尼振动比较 用在天平调衡中。
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二、受迫振动 共振
1.受迫振动 在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期 的强迫力------策动力。这种在周期性处力作用下进行 的振动叫受迫振动。 1.受迫振动方程 以弹簧一维振动为例 阻尼力 F阻 v 弹簧受弹性力 F 弹 kx
2
2
时A最大。 当阻尼很小，策动力频 率等于固有频率时振幅 最大------共振。
H m
2
dx dt
0 x h cos p t
受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程 通解 x A 0 e t cos( t ) A cos( p t )
受迫振动可以看成是两个振动合成的。
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通解： x A 0 e
t
cos( t ) A cos( p t )
2
1.阻尼振动方程（低速） 以弹簧一维振动为例 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比， v 与其方向相反。
f r v dx dt
o
F弹 , f
x
F F弹 f r kx v ma
m d x dt
2 2
x
kx
dx dt
弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
2
x c1 e
(
0 )t
2
2
c2e
(
0 )t
2
2
2.几种阻尼振动
x c1 e
(
0 )t
2
2
c2e
(
0 )t
2
2
1.欠阻尼振动------阻尼很小 阻尼较小时， 0
0 为虚数，令
12
2.共振
A h ( 0 p ) 4 p
2 2 2 2 2
A
阻尼 0
小阻尼
受迫振动的振幅出现极大 值的现象叫做振幅共振。
dA d
p
大阻尼
0,
d A d p
2
2
2
0 时，
0
共振圆频率
p
有极大值。 当 p
Ar
13
0 2
h
2
2
0
2 2 2 2 2
tg
2
2
p 2
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振幅A是p的函数
0 p
在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量， 同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时，前 者大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强， 损耗能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量 时，达到稳定状态。 强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动， 从运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度 看二者有本质的区别：线性振子是保守的孤立系统， 系统机械能守恒，有其自身的固有频率；而受迫稳 态振动是开放的耗散系统，它不断从策动力源吸收 能量，同时又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的 频率振动。并且受迫振动的振幅、初位相只由振动 系统和外力性质决定，而与初始条件无关。
d x
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2
dt
2
dx
m dt
k m
x 0
d x dt
2
2
m
dx
m dt
2
k m
k m
x 0 阻尼振动微分方程
0
2
令
m 称 0为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数 d x
2 2
0
k
dt dt 为二阶常系数齐次微分方程。
通解
4
2
dx
0x 0
第三节
阻尼振动 受迫振动 共振
1
一、阻尼振动
实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和 阻力共同作用的振动叫阻尼振动。 •当物体低速运动时，阻 f cv 力 弹簧、单摆振动过程，受到的阻力与速度正比反向。
•当物体高速运动时，阻力 f cv 2
子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正 比反向。 2 m T 2 无阻尼的自由振动 K 谐振子的阻尼振动 由于振动系统要不断克服阻力作功，所以要逐渐 损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。
阻力使周期增大
2.过阻尼振动------阻尼很大 0
由通解
x c1 e
2
(
0 )t
2
2
c2e
(
0 )t
2
2
0
( )t
2
x c1 e
c2e
( )t
其中C 1， C 2是积分 常数，由初始条件 来决定，
•第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。 •第二项为策动力产生的周期振动。 开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后， 只作 受迫振动，振动频率为策动力的频率。 经过足够长的时间，受迫振动的稳定态为：
x ( t ) A cos( p t )
A h ( 0 p ) 4 p
策动力 F 策 H cos p t
F ma F 弹 F 阻 F 策
m
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d x dt
2
2
kx v H cos p t
d x dt
2
2
dx
m dt
m ,
k m
x
H m
cos p t
令 2
d x dt
2 2
0
2
2
k m
, h
x
两项都衰减，不是周期振动。 不能往复运动。 无振动发生。 如:单摆放在粘滞的 油筒中摆到平衡位置 须很长时间。
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o
t
3.临界阻尼振动 0
x
x c1 e
(
2
0 )t
2
2
2
c2e
(
0 )t o
2
2
t
0
0
t
通解 x ( c1 c 2 ) e 衰减函数
cos( t )
随时间周期性衰减。
振幅项 Ae
t
x
Ae
t
•周期因子cos( t ) 2 振动周期 T 2 2 0 2 T 2 2 0 无阻尼时 T 0
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o
t
2
0
T T 0 有阻尼时，周期慢长。
这种情况称为欠阻尼
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0
i t
2
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通解：x
e
t
( c1 e
t
i t
c2e
)
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可写成 x Ae
cos( t )
A 与 由初始条件确定。
A
5
x0
2Hale Waihona Puke (v0 x 0 )2
0
2
tg
(v0 x 0 )
0
2
x Ae
t
x
欠阻尼 过阻尼 临界阻尼
t
临界阻尼达到平衡位置的时 间最短，但仍不能超过平衡 o 位置。 临界阻尼情况是振动系统刚 刚不能作准周期振动，而很 快回到平衡位置的情况，应 三种阻尼振动比较 用在天平调衡中。
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二、受迫振动 共振
1.受迫振动 在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期 的强迫力------策动力。这种在周期性处力作用下进行 的振动叫受迫振动。 1.受迫振动方程 以弹簧一维振动为例 阻尼力 F阻 v 弹簧受弹性力 F 弹 kx
2
2
时A最大。 当阻尼很小，策动力频 率等于固有频率时振幅 最大------共振。
H m
2
dx dt
0 x h cos p t
受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程 通解 x A 0 e t cos( t ) A cos( p t )
受迫振动可以看成是两个振动合成的。
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通解： x A 0 e
t
cos( t ) A cos( p t )
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1.阻尼振动方程（低速） 以弹簧一维振动为例 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比， v 与其方向相反。
f r v dx dt
o
F弹 , f
x
F F弹 f r kx v ma
m d x dt
2 2
x
kx
dx dt
弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
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x c1 e
(
0 )t
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c2e
(
0 )t
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2.几种阻尼振动
x c1 e
(
0 )t
2
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c2e
(
0 )t
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1.欠阻尼振动------阻尼很小 阻尼较小时， 0
0 为虚数，令
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2.共振
A h ( 0 p ) 4 p
2 2 2 2 2
A
阻尼 0
小阻尼
受迫振动的振幅出现极大 值的现象叫做振幅共振。
dA d
p
大阻尼
0,
d A d p
2
2
2
0 时，
0
共振圆频率
p
有极大值。 当 p
Ar
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0 2
h
2
2
0
2 2 2 2 2
tg
2
2
p 2
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振幅A是p的函数
0 p
在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量， 同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时，前 者大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强， 损耗能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量 时，达到稳定状态。 强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动， 从运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度 看二者有本质的区别：线性振子是保守的孤立系统， 系统机械能守恒，有其自身的固有频率；而受迫稳 态振动是开放的耗散系统，它不断从策动力源吸收 能量，同时又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的 频率振动。并且受迫振动的振幅、初位相只由振动 系统和外力性质决定，而与初始条件无关。
d x
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k m
x 0
d x dt
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dx
m dt
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k m
k m
x 0 阻尼振动微分方程
0
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令
m 称 0为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数 d x
2 2
0
k
dt dt 为二阶常系数齐次微分方程。
通解
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2
dx
0x 0
第三节
阻尼振动 受迫振动 共振
1
一、阻尼振动
实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和 阻力共同作用的振动叫阻尼振动。 •当物体低速运动时，阻 f cv 力 弹簧、单摆振动过程，受到的阻力与速度正比反向。
•当物体高速运动时，阻力 f cv 2
子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正 比反向。 2 m T 2 无阻尼的自由振动 K 谐振子的阻尼振动 由于振动系统要不断克服阻力作功，所以要逐渐 损耗振动的能量使振幅逐渐变小直至振动停止。
阻力使周期增大
2.过阻尼振动------阻尼很大 0
由通解
x c1 e
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(
0 )t
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c2e
(
0 )t
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( )t
2
x c1 e
c2e
( )t
其中C 1， C 2是积分 常数，由初始条件 来决定，
•第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。 •第二项为策动力产生的周期振动。 开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后， 只作 受迫振动，振动频率为策动力的频率。 经过足够长的时间，受迫振动的稳定态为：
x ( t ) A cos( p t )
A h ( 0 p ) 4 p
策动力 F 策 H cos p t
F ma F 弹 F 阻 F 策
m
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d x dt
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kx v H cos p t
d x dt
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k m
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cos p t
令 2
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两项都衰减，不是周期振动。 不能往复运动。 无振动发生。 如:单摆放在粘滞的 油筒中摆到平衡位置 须很长时间。
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3.临界阻尼振动 0
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x c1 e
(
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0 )t
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0 )t o
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通解 x ( c1 c 2 ) e 衰减函数
cos( t )
随时间周期性衰减。
振幅项 Ae
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Ae
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•周期因子cos( t ) 2 振动周期 T 2 2 0 2 T 2 2 0 无阻尼时 T 0
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T T 0 有阻尼时，周期慢长。
这种情况称为欠阻尼