第一讲整数的整除性

第一讲 整数的整除性
一、整除的概念·带余除法
我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一不等于零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数，因此我们引入整除的概念：
定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数q ，使得
a = bq
成立，则称b 整除a （或a 能被b 整除），记作a ∣b 。

此时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（或因数）。

如果上述q 不存在，我们就说b 不整除a 或a 不能被b 整除，记作|b a /。

显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。

下面我们来讨论关于整除的基本性质.
定理1（传递性） 如果a ，b 和c 是整数，且a ∣b ，b ∣c ，则a|c.
证明
因为a ∣b ，b ∣c ，所以存在整数e 和f ，使得b=ae ，c=bf .因此c=bf=(ae )f=a (ef ),
从而得到a|c.
例如，11|66而66|198，由上述定理可知11|198.
定理2 如果a, b, c ,m ,n 为整数且c ∣a,c ∣b,则c ∣（ma+nb ）
证明 因为c ∣a ，c ∣b ，所以存在整数e 和f ，使得a=ce ，b=cf .因此 ma+nb=m (ce )+n (cf )=c (me+nf ),从而得到c ∣（ma+nb ）
定理3 如果a|b,c|d, 则ac|bd .
下面的定理是关于整除性的一个重要结论.
定理4（带余除法）如果a 、b 是整数且b≠0，则存在唯一的整数q 和r ，使得a=bq+r ,
(0||r b ≤<).
证明 (存在性)
(i)当b>0时，作整数序列
…，-3b,-2b,-b ,0,b ,2b ,3b, …
若a 与上面序列中的某一项相等，则a=bq ，即a=bq+r,r=0.
若a 与上面序列中的任一项都不相等，则a 必在此序列的某相邻两项之间，即有确定的整数q ，使bq<a<b(q+1).令r a bq =-,则0r b ≤<
（ii ）若0b <，则||0b >.由(i)知，存在整数s,t 满足||a b s t =+且0||t b ≤<.又因||b b =-，所以a bs t =-+.取q s =-，r t =，则有a bq r =+且0||r b ≤<.
（惟一性）假设有两对整数q '、r '与q ''、r ''满足
a = q ''
b + r '' = q 'b + r '，0 ≤ r ', r '' < |b |，
则 (q '' - q ')b = r ' - r ''，
因0 ≤ r ', r '' < |b |，所以|r ' - r ''| < |b |， 从而| (q '' - q ')b|= |q '' - q '||b|< |b|, 即
|q '' - q '|<1,故|q '' - q '|=0 即q '' = q ' 从而r ' = r ''。

■
在带余除法给出的公式中，我们称q 是a 被b 除的商，r 是a 被b 除的余数，同时称a 为被除数，b 为除数.显然，b|a 的充要条件是r=0.
例1
若n>1,(n-1)|(n+11), 求n .. 例2 证明：设110n n A a a a a -=(这里110n n a a a a -表示由110,,,n n a a a a -十个数
字组成的十进制的自然数)，则3（或9）整除整数A 充分必要条件是3（或9）整除
0n i
i a =∑。

例3 若n 是整数，k 是正整数，则(1)(1)!
n n n k k --+的值是整数. 例3告诉我们：k 个连续整数的积一定能被k !整除
例4 已知n 是正整数，求证：当4|n 时，1234n n n n
+++能被5整除。

（匈牙利1901数学竞赛题）
带余除法的例题没有
二、 整数的奇偶性
定义2 能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数.
奇数与偶数有下列性质：
性质1 两个偶数之和为偶数,两个奇数之和为偶数,一个偶数与一个奇数之和为奇数. 推论 任意几个偶数之和还是偶数,正偶数个奇数之和为偶数,正奇数个奇数之和为奇数.
性质2 任意几个奇数之积是奇数,任意一个整数与偶数的积是偶数.
性质3 设a 为整数，n 为正整数，则n
a 与a 奇偶性相同.
例5 7个茶杯，杯口全朝上，每次同时翻转4个茶杯称为一次运动。

可否经若干次运动，使杯口全朝下？
例6 设2(),f x ax bx c =++a,b 为整数，c 为奇数.若存在奇数m,使()f m 为奇数,则方程()0f x =无奇数根.
例题解答？
习题1增加带余除法练习题。

1. 如果a 和b 是非零整数，且a|b ，b|a ,你能得到什么结论？
2. 证明：如果a 和b 是正整数且a|b ，则a b ≤.
3. 是否有整数a,b 和c ,使得a|bc ，但是|,|c a b a 且?
4. 求带余除法中的商和余数：
（1） 被除数为100，除数为17，
（2） 被除数为-100，除数为17。

（3） 被除数为289，除数为1，
（4） 被除数为100，除数为-17，
（5） 若整数a 被正整数b 除的带余除式是0)a bq r r b =+<<（
,则-a 被b 除时， 带余除法给出的商和余数分别是多少？
5. 设n>4,且（n-4）|（3n+24）,求n.。

6. 若n 是奇数，则8∣n 2 - 1。

7. 设整数110n n A a a a a -=，证明：
（1）2（或5）整除A 的充分必要条件是2（或5）整除0a ；
（2）4（或25）整除A 的充分必要条件是4（或25）整除10a a ；
（3）8（或125）整除A 的充分必要条件是8（或125）整除210a a a ；
（4）11|A 的充分必要条件是()011|1n
n i
i a =-∑. 8. 若3|387511|3875b a b a 且，求3875b a .
9. 若2929x y x y =，求xy .
10. 若m+n+23是偶数，是判定（m-1）（n-1）+2003是奇数还是偶数.
11. 若整系数二次三项式2(),f x x bx c =++当0,1x x ==时的值均为奇数，求证：方程
()0f x =没有整数根.
12. 三个相邻偶数之积是四位数，且其末位数是8，求这三个偶数.
13. 设a ，b ，x ，y 是整数，k 和m 是正整数，并且
a = a 1m + r 1，0 ≤ r 1 < m ，
b = b 1m + r 2，0 ≤ r 2 < m ，
则ax + by 和ab 被m 除的余数分别与r 1x + r 2y 和r 1r 2被m 除的余数相同。

特别地，a k 与r 1 被m 除的余数相同。