理论力学基础 平面汇交力系与平面力偶系

F ix

F 1
cos30
F 2
cos 60
F 3
cos 45
F 4
cos 45
129.3N
汇 交
F Ry

F iy

F sin 30 1

F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
力
系
F F 2 F 2 171.3N
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理论力学
第二章 平面力系
y
力在坐标轴上投影
B
第 一 节
平 面 汇
b´ Fy
a´
F
Oa
Fx
bx
Fx F cos
结论：力在某轴上的投 影，等于力的 模乘以力与该 轴正向间夹角 的余弦。
交
力 系
Fy F cos
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出力 F 的
Fy 2
平
面 汇
平面汇交力系平衡的充要解析条件：
交
力
汇交力系的合力为零。即
系
合
力系中所有各力在两坐标轴上投影的代数和分
别等于零。
Fx 0
Fy 0
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第二章 平面力系
例 题三
利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，
滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点B
bx
引入x、y轴单位矢i、j。则可写为：
Fx Fxi , Fy Fy j F Fxi Fy j
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第 二 节
平 面 汇 交 力 系
第二章 平面力系
分解与投影的比较
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第二章 平面力系
合力投影定理
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
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第二章 平面力系
第
例题 一
P=20kN，R=0.6m, h=0.08m:
一
节
解： 1.取碾子，画受力图.
平
面
汇
交
力
系
合
成
与
平
衡
的 几
θ arccos R h 30
何
R
法
按比例量得
F A
、 平
可以改装。
面 力
4.力偶不能合成为一个力，力偶只能用力偶来平衡。
偶
四、平面内两力偶等效条件
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的 大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
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第二章 平面力系
五、平面力偶系的合成与平衡条件
第
二
节
M1, M2 ,Mn; 任选一段距离d
(图(a) )。不计铰车的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。
第
y
二
节
A B
平
30°
SAB B
x
面 汇 交 力 系
30°
C
P
30°
SBC Q 30° P
a
b
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。
2. 画出受力图（b)。
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第二章 平面力系
例 题三
力偶矩取正号；反之，取负号。
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
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第二章 平面力系
三、力偶的性质
第
二 节
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
平 2.力偶对任意点取矩都等于力偶
面
力 对
矩，不因矩心的改变而改变。
点 之
3. 只要保持力偶矩不变，力偶可
矩 在其作用面内任意移转。力偶还
反力SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB
实际上受拉力。
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第二章 平面力系
解题技巧
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特
殊时，采用几何法求解（解力三角形）比较简便。
第 二
2、对于受多个力作用的物体，采用解析法求解。
节
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中
y
3. 列出平衡方程：
第 二
Fx 0 SBCcon 30 SAB Q sin 30 0
SAB B
30°
x
节
平 面
Fy 0 SBCcos 60 P Q cos 30 0
4. 联立求解，得
SBC Q 30° P
汇
b
交 力
SAB 54.5kN
系
SBC 74.5kN
M 0 F F h 2SOAB
偶
力对点之矩是一个代数量，它的大小等于力与力臂的
乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反
之为负。常用单位Nm或kNm。
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第二章 平面力系
二、平面汇交力系的合力矩定理
第 二
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于
第
一 节
合力在任一轴上的投影，等于它的各分
平
力在同一轴上的投影的代数和。
面
汇
证明：
交 力
以三个力组成的汇交力系为例。设有三个共点力
系
F1、F2、F3 如图。
F1
A
F1 A
B F2 C
R
F2
D F3
F3
x
(a)
(b)
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第二章 平面力系
第
合力投影定理
二
节
平
面
力 求： 光滑螺柱AB所受水平力.
偶
理 论
解：由力偶只能由力偶平衡的性质，
其受力图为
M 0
节 所有各分力对同一点的矩的代数和，即：
平
面
力
n
对 点 之
MO (R ) MO (Fi ) i1
矩
、
平
面 力 偶

MO F MO Fy MO Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
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面
n
力 对
M Mi Mi
点
i 1
之
矩 、
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
平
面 力
Mi 0
偶
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶 矩的代数和等于零。
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第二章 平面力系
第
例题五
四 节
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
因而也只能与力偶平衡。
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第二章 平面力系
第 2、力偶臂——力偶中两个力的作用线之间的距离。
二 节
平 面
3、力偶矩——力偶中任何一个力的大
力 对
小与力偶臂d 的乘积，
d
点
加上适当的正负号。
之
矩 、 平
M Fd
F2
F1
面
力 偶
力偶矩正负规定：若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，
第二章 平面力系
二、平面汇交力系的合成与平衡条件的矢量表示
汇交力系的合成结果
第 一
汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共
节 作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边
平 形的封闭边表示。
n
面 汇 交 力
R = F1+ F2+ F3+ ···+ Fn Fi
i 1
汇交力系平衡的充要几何条件：
平 面
只含有一个未知量。
汇
交 力 系
4、用解析法解题时，力的指向可以任意假设，如果 求出为 负值，说明力的指向与假设相反。对于二力构件，
一般先设为拉力，如果求出为负值，说明物体受力为压
力。
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第二章 平面力系
平面力对点之矩
第 二
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向；
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第二章 平面力系
1.初步掌握几何法及解析法求解汇交力系合力与
目
平衡问题。
2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上
的
的投影，
要
3.对合力投影定理有清晰的理解。
求
4.深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶
的性质和平面力偶的等效条件。
5.掌握平面汇交力系和平面力偶系的平衡条件及 平衡方程。
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第二章 平面力系
力的多边形
第
一
节
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称
为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称
平
为力多边形。合力即为力的多边形的封闭边。
面
汇
交 力 系
F1
A
B F2
C
F3
D
R
F4
E
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6.能计算在平面汇交力系和平面力偶系作用下物
体的平衡问题。
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第二章 平面力系
一、平面汇交力系合成的几何法
第
一
F1
节 平 面
A F2
汇 交
F4 F3
力
系
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面汇交力系：
表达式： R F1 F2 F3 F4
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第二章 平面力系
例题四
第 二
试计算图中力F对点O之矩。
节
平 面 力 对 点 之 矩 、 平 面 力 偶
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第二章 平面力系
第
力偶与力偶矩
二
节
平 面 力 对 点 之 矩 、 平 面 力 偶
由力两系个称等为值力、偶反，向记、作不F共, F线的（平行）力组成的
节
平
转动效应--取决于力矩的大小、
矩 、 平 面
力
偶
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第二章 平面力系
一、平面力对点之矩
第 二
O点称为矩心，O到力的作用
节
线的垂直距离h称为力臂
平
面
力
两个要素：
对
点 之 矩
1.大小：力F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
、 平 面 力
－

大小和方向：
F
F2 x

F2 y
cos Fx
F
cos Fy
F
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第二章 平面力系
力沿坐标轴分解
第
一
节
设将力F 按坐标轴x、y
y
平 面 汇 交 力 系
方向分解为平面两个正交
分量：Fx、Fy
则
F Fx Fy
b´ Fy
a´

Oa
B F Fx
平 面 力
M1 d

F1
M1 F1d
对 点 之 矩 、 平
M2 d

F2
Mn d
Fn
M2 F2d Mn Fnd
面
力
偶
F2
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第二章 平面力系
第 平面力偶系的合成与平衡条件
二
节
平
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
系
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和
等于零。
F 0
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第二章 平面力系
例题 一
第
一 节
已知：
P=20kN，
R=0.6m,
平
h=0.08m
面
汇
求：
交
力 系
1.水平拉力F=5kN时，平衡求碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？

11.4
kN，
F B
10kN
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第二章 平面力系
例 题 一 P=20kN，R=0.6m, h=0.08m:
2.碾子拉过障碍物， 应有 FA 0
第
一 节
用几何法
解得 F P tanθ 11.55kN
平 面 汇 交 力 系
3. 解得 Fmin P sin θ 10kN
R
Rx
Ry
cosθ FRx 0.7548 F FR
cos β Ry 0.6556 F
R
θ 40.99 , β 49.01
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第二章 平面力系
三、平面汇交力系平衡方程
第
一
节
R
Rx2

R
2 y

Fx 2
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第二章 平面力系
第
三、力偶与力偶矩
二
节 1、力偶——大小相等的二反向平行力。
平
面
⑴、作用效果：引起物体的转动。
d
力 对
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素。
点
之 矩
注意：
F2
F1
、 平
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为
面 力
一个力。
偶
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），
R Rx2 Ry2
Fx 2
Fy 2
合力R 的方向余弦
cos Rx Fx , cos Ry Fy
RR
RR
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第二章 平面力系
例题二
第
二 节
已知：图示平面汇交力系，求此力系的合力.
解：
平 面
F Rx
平 面
各力在x 轴上投影：
F1x ab F2x bc F3x dc
F1 A
B F2 C
汇 交
合力 R 在x 轴上投影：
力
系 合
Rx ad ab bc dc
R D F3 x
成 与
Rx F1x F2x F3x
平
a bdc (b)