中考数学复习第十七章勾股定理(专题复习讲义)

第十七章勾股定理

1. 在非直角三角形中作辅助线的方法

(1)作高(垂线)法：解一般三角形的问题常常通过作高或作某一边的垂线段，转化为直角三角形，利用勾股定理计算或证明.

【例1】在厶ABC中,AB=2 :,AC=4,BC=2,以AB为边向△ ABC外作厶ABD,#^ ABD 为等腰直角三角形，求线段CD的长.

【标准解答】v AC=4,BC=2,AB=2 ,

•• A C+B C=A B,

•••△ACB为直角三角形，/ ACB=90 .

分三种情况：

情况1:如图，过点D作DEL CB,垂足为点E.

易证△ACB^A BED易求CD=2 ;

情况2:如图，过点D作DE L CA,垂足为点E.易证△ ACB^A DEA易求CD=2 ;

情况3:如图，过点D作DE L CB,垂足为点E,过点A作AF L DE,垂足为点F.易证

△ AFD^A DEB易求CD=3・.

(2)根据图形特点作辅助线构造直角三角形法：有些几何图形，比如四边形, 本身就具备直角的已知条件，但没有直角三角形，此时要根据图形特点巧构直角 三角形

【例2】如图，/ B 二/ D=90 , Z A=60° ,AB=4,CD=2.求四边形ABCD 勺面积.

【标准解答】延长AD,BC 交于E 点,如图.

vZ B=90° , Z A=60° , •••/ E=30° .

••• AE=2AB=8,CE=2CD=4,

则 BE 二.一 -=4勰 v DE 二一一 --=2 ., •四边形ABCD 勺面积=△ ABE 的面积-△ CDE 的面积=6 .. △ ABC 中 ,AB=4,BC=3, Z BAC=30 ,则厶 ABC 的面积为

2. 运用数学思想处理问题

D

E

(1) 分类讨论思想：在一些求值计算中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论，避免漏解.

10 cm, 【例1】已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm.第三边上的高为则

此三角形的面积为 _________ cm.

【标准解答】设AB=20 cm,AC=30 cm,AD=10 cm

有两种情况：一种在直角三角形ABD中利用勾股定理得BD二.一一 =£的炯=10畅cm.

同理解得CD=2艇cm, 则三角形ABC的面积=x BCX AD

=x I 二I x 10=(100叔+50 . )cm2.

二种：在直角三角形ABD中,BD二一-二门i：\'M=10勲cm.

在直角三角形ACD中,CD二-- '—' =20 - cm.

贝卩BC=(20靱-10命)cm,

所以三角形ABC的面积为(100 一-50 ) cm2.

答案:(100 +50 )或(100 -50 )

(2)方程思想：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段

的长时可由此列出方程，运用方程思想分析问题、解决问题，以便简化求解.

【例2】如图，长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处,BC‘交AD 于点E,AD=8,AB=4则DE的长为_____ .

【标准解答】vZ CBD h DBE,Z CBD h ADB,

•••/ DBE Z ADB,

••• DE二BE设DE的长为x,

则AE=8-x,

在Rt△ ABE中,AB2+AE二BE,

即42+(8-x) 2=x2,

解得:x=5.

答案：5

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1. 已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为__________ .

2. 长方形纸片ABC曲,已知AD=8,AB=6,E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处,连接FC,当厶EFC为直角三角形时,BE的长为__________ .

3. 折叠问题及最短路径问题

几何图形的折叠问题及最短路径问题是当前中考的热点，这两类问题都需

要构造直角三角形，借助勾股定理解决.

(1) 利用勾股定理解决图形折叠问题

【例1】如图，在Rt△ ABC中,/ C=90 ,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△ BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么△ ADC的面积是____ .

【标准解答】C=90°

BC=6 cm,AC=8 cm,

AB=10 cm,

•••将厶BCD沿BD折叠，

使点C落在AB边的C点，

••DC=DC ,BC=BC =6 cm,

AC =4 cm,设DC=x cm,

则AD=(8-x) cm,

在Rt△ ADC 中，

AD二AC 2+C D2,

即(8-x) 2=42+X2,

解得x=3,

•△ADC 的面积=x 4X 3=6(cm2).

答案：6 cm2

【例2】如图，长方形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()

A. 3

B.4

C.5

D.6

【标准解答】选D. T四边形ABC兎长方形,AD=8,

二BC=8,v^人丘尸是厶AEB翻折而成，

••• BE=EF=3,AB=AF,

△ CEF是直角三角形，

• CE=8-3=5,在Rt△ CEF中,

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C F=「- = -= £淖却=4,

设AB=x,

在Rt△ ABC中,AC2二AB+BC,

即(x+4) 2=x2+82,

解得x=6.

(2) 最短距离问题

求立体图形表面上两点之间的最短距离问题，关键是把立体图形的侧面展

开成平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用平面上“两点之间，线段最短”的