概率论及数理统计随机变量的数字特征

X0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
下面我们用计算机 进行模拟试验.
1 101 32 0 23 0
输入试验次数(即天数)n,计算机对小张的生产 情况进行模拟,统计他不出废品，出一件、二 件、三件废品的天数n0,n1,n2,n3 , 并计算
M (n )0n 01n 12n 23n 3 nn n n
k阶绝对中E(心 |X矩 E(X)|k)
其中 k 是正整数.
例1.设X的分布列为 X
0
1
1
1
P
24
求E1 1 X
解：
23
11 88
E( 1 )1 1 1 1 1 1 1 1 1X 210 411 812 813 67 96
例2. 设公共汽车起点站在每小时的10分，30分， 50分发车，一位不知发车时间的乘客，每 小时内到达车站的时间是随机的，求该乘客 在车站等车的数学期望。
30
60 50
60
10
设(X, Y)是二维随机变量, Z=g( X, Y )，则
EZE[g(X,Y)]
i1
g(xi, yj)pij,
j1
(X,Y)离散型
g(x, y)f(x, y)dxd,y(X,Y)连续型
当( X, Y )是离散型时：分布列为 P ( X x i Y y j) p ij i , j 1 , 2 ,
X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.
若设
Xi
1 0
如第i次试验成功i=1,2，…，n
如第i次试验失败
则 X= X1+X2+…+Xn 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p
E(Xi)= 1p0(1p)= p n
所以 E(X)= E ( X i ) = np
a b a 2
例6．（指数分布）设X的概率密度为
ex
f(x) 0
x 0 x0
0
求EX
解:
EX
xf(x)dx
xexdx xdex
0
0
[(xex)0
exdx]
0
exdx
0
(1ex)0
1
例7．（正态分布）设 X~N(,2),求EX
解:
EX x
1
(
e
x )2 2 2
dx
2
令t x
解： 设每小时内乘客到达车站的时间为X，
等车时间为Y.
则 X~U [0, 60]
f(x)610, 0x60, 0, 其它.
10-X,
0X10
则
Yg(X)5300-XX,,
10X30 30X50
60X10, 50X60
EYE(gX) 10(10x)1dx 30(30x)1dx
0
60 10
60
50(50x)1dx60(70x)1dx
概率论及数理统计随机变量的数字特征
第一讲 数学期望
在前面的课程中，我们讨论了随机变量 及其分布，如果知道了随机变量X的概率分 布，那么X的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般 是较难确定的. 而在一些实际应用中，人 们并不需要知道随机变量的一切概率性质， 只要知道它的某些数字特征就够了.
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中 的值可以用xi来近似代替.
因此X与以概率 f(xi)xi 取值xi的离散型r.v
近似, 该离散型r.v 的数 学期望是
阴影面积
近似为
f (xi )xi
xi f(xi)xi
i
这正是
x f (x)dx
的渐近和式.
小区间[Xi, Xi+1)
由此启发我们引进如下定义. 定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果
与 0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3 进行比较.
1 101 32 0 23 0
下面我们一起来看计算机模拟的结果.
对于一个随机变量，若它可能取的值是 X1,X2, …, 相应的概率为 p1,p2, …, 则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值 的平均值也是随机的.
但是，如果试验次数很大，出现Xk的频率会 接近于pk，于是可期望试验值的平均值接近
X离散型
g(x)f(x)dx, X连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)] 时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的 分布就可以了. 这给求随机变量函数的期 望带来很大方便.
将g(X)特殊化，可得到各种数字特征: k阶原点矩 E(Xk) k阶中心 E(X [矩 E(X)k]) k阶绝对原点E矩 (|X|k)
EX的物理意义：表示一维离散质点系的重心坐标
例2 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有 一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥 匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后 除去，求打开门时试开次数的数学期望.
解: 设试开次数为X,
P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n
于是
E(X)
n k1 k 1 n
这个数能否作为 X的平均值呢？
可以想象，若另外统计100天，车工小张不 出废品，出一件、二件、三件废品的天数与 前面的100天一般不会完全相同，这另外100 天每天的平均废品数也不一定是1.27.
一般来说,若统计n天,
(假定小张每天至多出
三件废品)
n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
xk pk
k 1
由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:
定义1 设X是离散型随机变量，它的概率分布
列是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,…
如果 | xk | pk 有限,定义X的数学期望
k 1
E(X) xkpk
k1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝
对收敛的级数的和.
如果 x i p i 发散，则X的数学期望不存在。 i 1
我们来看第一个问题.
例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工
小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如
何定义X的平均值呢？
32天没有出废品;
若统计100天, 可以得到这100天中
每天的平均废品数为
30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;
03 213 0217 32 11.27 100 100100 100
我们采用计算机模拟.
不妨把小张生产中出废品的情形 用一个球箱模型来描述:
有一个箱子，里面装有10个 0 0 0 2 2 大小，形状完全相同的球， 1 1 1 3 3 号码如图.
规定从箱中任意取出一个球， 记下球上的号码，然后把球放 回箱中为一次试验.
1 101 32 0 23 0
记X为所取出的球的号码(对应废品数) . X 为随机变量，X的概率分布列为
k1(k1)!
e-e
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),
在数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落
在小区间[xi, xi+1)的概率是
xi1 f (x)dx xi
阴影面积
近似为
f (xi )xi
f(xi)x (i1xi)
f(xi)xi
小区间[xi, xi+1)
可以得到n天中每天的平均废品数为
0n01n12n23n3 nn n n
0n01n12n23n3 nn n n
由频率和概率的关系
这是以频率为权的 加权平均
不难想到，在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为
这是以概率为权的 加权平均
0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3
这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为 随机变量X的平均值 . 这样做是否合理呢？
因此，在对随机变量的研究中，确定 某些数字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是 数学期望和方差
这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.
一、离散型随机变量的数学期望
1、概念的引入： 某车间对工人的生产情况
进行考察. 车工小张每天生产 的废品数X是一个随机变量. 如 何定义X的平均值呢？
某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数 X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该 交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？
类似引入上述E(X)的推理，可得如下的 基本公式:
设X是一个随机变量，Y=g((xk)pk,
k1
X离散型
g(x)f(x)dx, X连续型
当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x).
E(Y)E[g(X)]
g(xk)pk,
k1
故应有概率分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布， 就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)的分布，一般是比较复杂的 .
那么是否可以不先求g(X)的分布而只 根据X的分布求得E[g(X)]呢？
下面的基本公式指出，答案是肯定的.
| x|f(x)dx
有限,定义X的数学期望为
E(X) xf(x)dx
也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的积分.
EX物理意义：以f(x)为密度的一维连续质点 系的重心坐标。
例5．（均匀分布）设X的概率密度为
f(x)b1a 0
axb 其它
求EX
解:
E X x(x f ) d x bxd x a b .
当( X, Y )是连续型时：联合概率密度为f(x, y)
由此可知：已知( X, Y )的联合概率密度f(x, y), 可以求EX，EY
即
EX
xf( x,y)dxdy
EY
yf( x,y)dxdy
四、数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C;
2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);
k1
由于 E(Xk)=P(Xk =1)
n
故 E(X) E(Xk)
k1
n
(n
1 n
1)!
n!
1
1 n
下面我们给出数学期望应用的一个例子. 请看演示
合理验血问题
这一讲，我们介绍了随机变量的数学 期望，它反映了随机变量取值的平均水平， 是随机变量的一个重要的数字特征.
接下来的一讲中，我们将向大家介绍 随机变量另一个重要的数字特征：
tet22 dt 2
t2
e 2 dt
t2
te 2 dt .
2
2
例8．（柯西分布）设X的概率密度为
1
f(x)(1x2) x求EX
解:
x(1dxx2)
0(1xxd2x)
xdx
0 (1x2)
20(1xdxx2)1ln1(x2)0
故 EX不存在。
由随机变量数学期望的定义，不难计算得：
i 1
可见，服从参数为n和p的二项分布的
随机变量X的数学期望是np.
例2 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数
字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧
合，求巧合个数的数学期望.
解: 设巧合个数为X, 引入
Xk1,0， 数n字 k恰好出现 k个在 否 位第 则 置 k=1上 ,2, …,n
则 X Xk
E(X)1.68
这意味着，若从该地区抽查很多个成 年男子，分别测量他们的身高，那么，这 些身高的平均值近似是1.68.
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计 算的不是X的期望，而是X的某个函数的期 望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算 呢？
如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，
1 (1n)n n2
n1 2
例3 (0－1分布) 设X的分布列为
X0 1
P 1－p p
求EX
解: EX＝0 × ( 1－p )＋1 × p＝ p
例4．（泊松分布）设X的分布列为
P (Xk)ke k0,1,2,求EX。
k!
解:
k
k
k1
E X k e
ee
k0 k!
k1(k1)!
若X~U[ a, b],即X服从[a, b]上的均匀分布,则 E(X) ab 2
若X服从参数为 的泊松分布，则
E(X)
若X服从 N(,2),则
E(X)
若X~B( 1, P )则 EX=P 若X~ E(λ)则 EX 1
若X服从几何分布，则 EX 1
p
已知某地区成年男子身高X~ N(1.68,2),
方差
第二讲 方差
上一讲我们介绍了随机变量的数学期 望，它体现了随机变量取值的平均水平， 是随机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道平均值是 不够的.
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、
注意:由E(XY)=E(X)E(Y)
3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);不一定能推出X,Y独立
n
n
推:广 E[Xi]E(Xi)
i1
i1
4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
n
n
推:广 E[ Xi] E(Xi（) 诸Xi独立时）
i1
i1
五、数学期望性质的应用 例1 求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求X的数学期望 .