基本不等式说课稿

基本不等式说课稿
今天我说课的内容是《基本不等式》。

下面主要从教材，学情，教学目标，教法学法，教学过程，教学反思等几个方面进行说课。

一、教材和学情分析：
（一）本节课的地位、作用和意义
本节课选自普遍高中课程(人民教育出版社出版高中数学A 版)必修5，第3章第4节《基本不等式》。

基本不等式又称为均值不等式，是后面应用基本不等式求最大（小）值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在现实生活中有比较广的实际应用。

（二）学情分析
学生在初中学习了完全平方公式、初步认识了不等式，同时，在本章前面学习了比较大小、一元二次不等式解法和简单线性规划等，这些给本节课提供了坚实的基础；
（三）教学目标
通过解读课标和分析教材以及对学生现状的分析确定以下教学目标：
1、知识与技能目标
（1）学会推导基本不等式：
ab b a ≥+2 ； （2）理解 ab b a ≥+2
的几何意义； （3）会利用基本不等式求最值。

2、过程方法与能力目标
（1）探索并了解均值不等式的形成和证明过程；
（2）体会均值不等式的证明方法和简单应用。

3、情感、态度、价值观目标
（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神；
（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。

（四）重点难点
依据教材的上述地位和作用，我确定如下教学重难点：
重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以应用数形结合的思想理解基本
不等式为重点之一，并从不同角度探索基本不等式
ab
b
a
≥
+
2证明过程；再者，均值不等
式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式成立的条件及应用也是教学重点。

突出重点的方法：我将采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出基本不等式的推导。

难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，本节课的难点是基本不等式成立的条件以及应用基本不等式求最大值和最小值。

突破难点的方法：我将采用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学等来突破均值不等式成立的条件这个难点。

二、教法学法分析
1、教法的解析
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出重要不等式。

从生活中实际问题还原出数学本质，可调动学生的学习热情。

定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案。

“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力”是进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，采用“启发—探究—讨论”式教学模式。

2、学法的解析
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会。

三、教学过程设计
（一）设问激疑，创设情景
展示北京召开的第24届国际数学家大会的会标，让
学生思考,能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和
不等关系。

引导学生通过面积关系得到重要不等式
222
a b ab
+≥，进一步启发学生总结什么时候这两部分
面积相等。

设计意图:从实际问题出发，激发学生学习兴趣，从而在感性上认
识不等式。

（二）启发引导，形成概念
展示该图中两三角形和矩形的面积的关系，引导学生进一步得到不等式和等号成立的条件。

设计意图: 从不同角度归纳不等式，加深对基本不等式的理解。

从而得到重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅
当a b =时，等号成立。

然后让学生利用初中学习的完全平方公式给出代数证明。

进而提出新的问题：是否可以用代换的思想：用b a ,分别代替a,b 能得到什么结果，引导学生通过类比得到基本不等
式：ab
b a ≥+2(0,0>>b a )，指出当且仅当a b =时取到等号。

在这里还要注明2b
a +和a
b 的概念即：几何平均数和算术平均
数，由此可以得到均值不等式的表述：两个正数的算术平均数不
小于（即大于或等于）它们的几何平均数。

为了进一步让学生理解不等式的含义，则借助初中讲的圆的知识得到均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦。

同时分析结构特点： 均值不等式的左式为和结构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系, 指出运用该不等式可作和与积之间的不等变换.
（三）讨论探究，相等条件
为了深刻体会取等号的条件，引导学生去讨论，从而加深理解： 当ab b a b a =+⇒
=2； 当b
a a
b b a =⇒=+2。

到此学生可以完成课本98页基本不等式的推理过程。

（四）初步运用，归纳提升
为了让学生初步理解基本不等式的应用，特设计了以下两个简单问题，让学生初步体验不等式中构造“定积”和“定和”的原理，以及取等号的条件。

1、已知x>0,y>0且xy=100,则x+y 的最小值是 _______,此时x=___,y= _____
2、已知10<<x ，求)1(x x -的最大值。

由此可以归纳一般原理，放手让学生自己讨论归纳出不等式的一般结论：
已知x 、y 都是正数，求证：
①如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值②如果和
2
x y S +1是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值4 学生通过讨论得到结论后，教师适时加以强调结论：
1、最值的含义：“和”定“积”最大，“积”定“和”最小。

2、用基本不等式求最值的三个限制条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

设计意图：通过小组讨论完成探究，引导学生归纳出利用不等式确定最大值和最小值的结论，这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.
（五）观察感知，例题学习
为了巩固所学的知识，特设计以下两道例题：
例1、（1）用篱笆围一个面积为1002
m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。

最大面积是多少？
这两道题目的让学生初步掌握不等式的应用原理。

对例题的解析要注意引导学生理解取等号的条件，进一步理解最值的含义和用基本不等式求最值的三个限制条件。

为了加深对不等式取等号的理解，我设计了例2： 例2、已知正数x 、y 满足12=+y x ，求y x 11+的最小值。

对本道题我首先给出正确解决方法，强调利用不等式时代换“1”和乘“1”的思想；但是针对本道题学生容易出现的错误，又给出第二种解法，并分析错误原因：两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。

（六）知识应用，尝试练习
为了巩固以上学习的知识设计以下两道练习题，让学生演板： 已知310<
<x ，求函数)31(x x y -=的最大值；
已知0>x ，则x x 246+的最小值是 ，此时x = 。

设计意图:对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习、学生演板，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺。

（七）反思小结，培养能力
对练习稍做总结以后，教师要及时针对本节所学引导学生讨论并试着总结：已知y x ,都是正数，可以得到：
1
、如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值
2、如果和
2
x y S +1是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值4。

同时强调“和定积最大，积定和最小”以及取最值的三个限制条件“一正二定三相等” 设计意图：通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质。

（八）课后作业，自主学习
1、课本第100页习题3.4A 组第1题；
2、选作题：若10,x x x <+
求的最大值。

设计意图:巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维．达到熟练使用均值不等式的目的，利用选做题可以使不同层次的学生得到应有的提高，同时为下一节课作好铺垫。

四、板书设计
略
五、教学反思
1、 逐层铺垫，降低难度
由具体到一般，建立实际生活中的图形与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和均值不等式以及其取等号的条件。

2、恰当使用信息技术
恰当地使用多媒体，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程。

3、采用“启发—探究—讨论”教学模式
精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会。