中考培优竞赛专题经典讲义 最值问题之将军饮马问题

最值问题之将军饮马问题
最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。

模型讲解
【基本模型】
问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小
解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)
【拓展模型1】
问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小
解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．
【练习】
1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)
【模型拓展2】
1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？
思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型
【模型拓展3】
问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．
解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．
基本结论：
①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．
②∠A1OA2＝2∠MON．
四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．
【模型拓展4】
问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题
解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．
(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)
【模型拓展5】
MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．
其中MN 为定值，故只需求AM ＋NB 的最小值，将点A 向下平移MN 的长度得到A ′，连接A ′B ，线段A ′B 的长度即为AM ＋NB 的最小值
直线l 上有一长度不变线段MN 移动，求AM ＋MN ＋NB 最小值的模型．
将A 点向右平移MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN ＋A 2B
【例题讲解】
例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，
点C 的坐标为(1
2
，0)，点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为 ．
解：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，
则此时P A ＋PC 的值最小，
∵DP ＝P A ，∴P A ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B (3，∴AB OA ＝3，
∵tan ∠AOB ＝AB OA AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝ 由三角形面积公式得：1
2×OA ×AB ＝12×OB ×AM ，∴AM ＝32，∴AD ＝2×32＝3，
∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°，
∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°，∴AN ＝12AD ＝32，由勾股定理得：DN ，
∵C (1
2，0)，∴CN ＝3﹣12﹣32＝1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC ，
即P A＋PC．【思考】
若把题中条件点“C的坐标为(1
2
，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时
P A＋PC最小值又是多少呢？
解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN，∴P A＋PC．
例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，
(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？
(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．
(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．
(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．
答案：
例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．
(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；
(2)求△AMN的周长最小值．
解：作A 关于BC 和ED 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于M ，交ED 于N ，则A ′A ″即为△AMN 的周
长最小值．
⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∠BAE ＝120°，∴∠AA ′A ″＋∠AA ″A ′＝60°，
∠AA ′A ″＝∠A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°，
也就是说∠AMN ＋∠ANM ＝180°－60°＝120°.
⑵过点A ′作EA 延长线的垂线，垂足为H ，
∵AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4，
则Rt △A ′HA 中，∵∠EAB ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，
∵A ′H ⊥HA ，∴∠AA ″H ＝30°，∴AH ＝12
AA ′＝1，∴A ′H ，A ″H ＝1＋4＝5，
∴A ′A ″＝
例题4、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE ＝1MN 在AC 上运动．
(1)求四边形BMNE 周长最小值；
(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan ∠MBC 的值为 ．
解：作EF ∥AC 且EF DF 交AC 于M ，在AC 上截取MN DF 交BC 于P ，
作FQ ⊥BC 于Q ，作出点E 关于AC 的对称点E ′，则CE ′＝CE ＝1，将MN 平移至E ′F ′处，
则四边形MNE ′F ′为平行四边形，
当BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形BMNE 的周长最小，
由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得FQ ＝EQ ＝1，
∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ QE EC ++＝PQ CD ，∴2PQ PQ +＝14，解得：PQ ＝23，∴PC ＝83
，
由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝2
3
．
例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．
【提示】
将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．
例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，
4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN
的最小值为．
解：如图所示，直线OC 、y 轴关于直线y ＝kx 对称，直线OD 、直线y ＝kx 关于y 轴对称，点A ′是点A 关
于直线y ＝kx 的对称点．
作A ′E ⊥OD 垂足为E ，交y 轴于点P ，交直线y ＝kx 于M ，作PN ⊥直线y ＝kx 垂足为N ，
∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)，
在RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°，
∴OE ＝12
OA ′＝2，A ′E ．
∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为
【巩固练习】
1、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ．
2、在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点E 、F 、P 分别是边AB 、BC 、AC 上的动点，PE ＋PF 的最小值是 ．
3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为 ．
4、如图，钝角三角形ABC 的面积为9，最长边AB ＝6，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值为 ．
5、如图，在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，
(1)若AC ＝4，S △ABC ＝6，则BD ＋DE 的最小值为
(2)若∠BAC ＝30°，AB ＝8，则BD ＋DE 的最小值为 ．
(3)若AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，则BD ＋DE 的最小值为 ．
A
B C D
E
M
6、如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，S △ABC ＝
，点P 、Q 、K 分别为线段AB 、BC 、AC 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 ．
7、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM ＋PN 的最小值为 ．
B
8、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是
．
9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
cm ．
10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1
，动点D、E分别在射线OC、OB
上，则CE＋DE＋DB的最小值是．
11、如图，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3
x
(x＜0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，
当四边形P ABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是．
12、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△
PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．
13、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、
OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．
14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E．
(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P；
(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；
A
C E D
15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．
(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．
(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．
16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．
(1)蜘蛛在顶点A ′处，
①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；
②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线
A 'GC 和往墙面B
B '
C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？
(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段
AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．
17.如图，抛物线21242
y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.
（1）求直线AB 的解析式；
（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.
参考答案
1.
解：连接BD，
∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝
又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝．
2.
解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，
作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，
∵1
2
⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝
24
5
，∴PE＋PF的最小值为
24
5
.
3.
解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝，
作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD，
在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D
故BE ＋ED
4.
解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，
∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N ，∴MN ＝ME ，
∴CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋MN 是最小值．
∵三角形ABC 的面积为9，AB ＝6，∴12
×6 CE ＝9，∴CE ＝3．
即CM ＋MN 的最小值为3．
5.
H E'A C D
E
M
提示：作点E 关于AM 的对称点E ′，BH ⊥AC 于H ，易知BD ＋DE 的最小值即为BH 的长.
答案：(1)3；(2)4；(3)8．
6.
解：如图，过A 作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，
∵AB ＝CB ＝4，S △ABC ＝
AH ＝
∴cos ∠HAB ＝AH AB
HAB ＝30°，∴∠ABH ＝60°，∴∠ABC ＝120°， ∵∠BAC ＝∠C ＝30°，
作点P 关于直线AC 的对称点P ′，过P ′作P ′Q ⊥BC 于Q 交AC 于K ，
则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，
∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，
∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝
即PK＋QK的最小值为
7.
解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，
∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝1
2
∠MOB＝
1
2
×40°＝20°，
由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，
∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝1
2
AB＝
1
8
2
⨯＝4，
∴PM＋PN的最小值为4，
8.
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，
∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝4＝
∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝
9.
解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，
过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A ′，连接A ′C 交EH 于P ，连接AP ，
则AP ＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE ＝A ′E ，A ′P ＝AP ，∴AP ＋PC ＝A ′P ＋PC ＝A ′C ，
∵CQ ＝12
×18cm ＝9cm ，A ′Q ＝12cm ﹣4cm ＋4cm ＝12cm ，
在Rt △A ′QC 中，由勾股定理得：A ′C ＝15cm ，故答案为：15．
10.
解：连接AC ，作B 关于直线OC 的对称点E ′，连接AE ′，交OC 于D ，交OB 于E ，此时CE ＋DE ＋BD 的
值最小，
∵四边形OCBA 是菱形，∴AC ⊥OB ，AO ＝OC ，即A 和C 关于OB 对称，
∴CE ＝AE ，∴DE ＋CE ＝DE ＋AE ＝AD ，
∵B 和E ′关于OC 对称，∴DE ′＝DB ，∴CE ＋DE ＋DB ＝AD ＋DE ′＝AE ′，
过C 作CN ⊥OA 于N ，∵C (1)，∴ON ＝1，CN
由勾股定理得：OC ＝2，即AB ＝BC ＝OA ＝OC ＝2，∴∠CON ＝60°，∴∠CBA ＝∠COA ＝60°， ∵四边形COAB 是菱形，∴BC ∥OA ，∴∠DCB ＝∠COA ＝60°，
∵B 和E ′关于OC 对称，∴∠BFC ＝90°，∴∠E ′BC ＝90°﹣60°＝30°，
∴∠E ′BA ＝60°＋30°＝90°，CF ＝12
BC ＝1，由勾股定理得：BF E ′F ，
在Rt △EBA 中，由勾股定理得：AE ′＝4，即CE ＋DE ＋DB 的最小值是4．
11.
解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3
x
(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则
31
3
k b
k b
-+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
2
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以直线CD的解析式为y＝x＋2．
12.
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝1
2
∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；
13.
解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M ′N ′，即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°，
∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°，
∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′
14.
A'A
B P
C E
D
Q
A'
A B P C E D
解：(1)作点A 关于BC 的对称点A ′，连DA ′交BC 于点P.
(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD ，∴AQ
CQ ＝3PQ
15.
解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，
∴作G 关于AB 的对称点M ，连接CM 交AB 于E ，那么E 满足使△CGE 的周长最小； ∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12， 而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DCM ，∴AE ：CD ＝MA ：MD ，∴AE ＝
CD MA MD
＝2； (2)∵E 为AB 上的一个动点，
∴如图，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH ＝4，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF ＝4，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．
∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，
∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而CH ＝4，∴DH ＝2，
而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD MA
MD
⨯
＝
2
3
，
∴AF＝4＋2
3
＝
14
3
．
16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．
②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．
在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴AC
Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．
在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝
ABCD爬行的最近路线A′GC更近；
(2)过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．
∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，∴MH＝60﹣10＝50，HB＝15，AH＝40﹣15＝25，
根据勾股定理可得AM，MB∴50≤MP
∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ
当MP ＝50时，PQ
当MP
时，PQ
55．
∴PQ 长度的范围是
≤PQ ≤55dm ．
17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y
（2）∵AB ⊥MN
∴直线MN ：12
1-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）
将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ） 则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）
当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=
t。