对称双中心矩阵反问题的最小二乘解

第１ 期
宫楠 楠 等 ： 称 双 中心 矩 阵 反 问题 的 最 小 二 乘 解 对
７ｌ
其中Ｓ 为 问题 Ｉ所 有解 的集 １ … 设 ｅ ＝ （ ， ， ， ） ∈ Ｒ ， Ａ ∈ ＤＣ … 的充分 必要 条件 是 １ １ … １ 则 Ｒ
Ａ ＝０， ｅ ＝０ ｅ ． （） ３
ｌ — ｌ ｉ Ｉ Ｊ ｎ Ａ ＝ｍ ．
问题 ｌ 已知 ∈ Ｒ ， Ａ ∈ Ｓ ， 得 ｌ 求 使
（） １
（） ２
Ｊ 一 ｊ ｉ ｝ — Ｊ Ｉ ｎ Ｉ Ａｌ ＝ ｆ Ｊ ，
收稿 日期 ： ０ ９一ｌ 一１ ２ｏ ｌ ０ 作者简 介： 宫楠楠 （９５一） 女， １８ ， 黑龙 江大庆人 ， 东北电力大学应用数学专业硕士 ， 主要从事矩阵及其特征值反问题研究
令 表示所 ｎｘｍ有 实矩 阵集 合 ，Ｒ 表示 阶正交 矩 阵的集 合 ，Ｒ 表示 阶对称 矩 阵的集合 ， Ｏ Ｓ 厶表示 １阶单位 阵 ， ｒｎ （ ， Ａ）Ｎ（ ） ｔ Ａ） ７ ， 用 ａ ｋＡ）Ｒ（ ， Ａ ， （ 分别表 示矩 阵 的秩 、 ｒ 列空 间 、 空间 、 ， 表示 零 迹 Ａ 的 Ｍｏｒ—ｅｒｓ广 义逆 ， 表示元 素均 为 １ ｒ ｏｅＰ ｎｏｅ ｅ 的ｔ 维列 向量 ， 尺 中定 义 内积 （ Ｂ）＝打（ ） 则 在 Ａ， Ｂ ，
第３ ０卷第 １期
２１ ０ ０年 ２月
东
北
电
力
大
学
学
报
Ｖｏ ． ０． ． １ ３ Ｎｏ １ Ｆｂ ２ ０ ｅ ．， ０１
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ ｔｅｓ Ｄｉｎｉ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒ ａ Ｎ ｒ ａｔ ａ ｌＵｎｖ ｒｉ Ｏｆ ｈ ｔ
文 章 编 号 ：０ ５— ９ ２ ２ Ｌ ） １— ０ ０一 ４ １０ ２ ９ （Ｏ Ｏ ０ ０ ７ ｏ
文献 标 识 码 ： Ａ
中图 分 类 号 ： ４ ． ０２ １ １
引
言
矩阵反问题是计算数学的一个重要研究领域 ， 其研究具有重要的理论意义和应用价值 。 近年来 ， 对 于矩 阵反 问题 Ａ ＝Ｂ的研究 已取得 了一 系列 的结 果 ， 得 了解存在 的条 件 ， 获 但在 实际 问题 中 ， 阵 和 矩 通常 由实验 测得 ， 一般难 以保 证 问题 的解存在 的条 件 ， 因此 研究 问题 的最／ －乘解是 有实 际意义 的 。 Ｊ－ ￣
构成一个 Ｈｌｅ 内积空间， ｉ ｒ ｂｔ 由此内积空间导出的范数
＝ ￣ （ ｒ ）即为矩阵 Ａ的 Ｆｏｅｉｓ ／ ＡＡ 打 ｒｂｎｕ 范数。
定义 １ 设Ａ＝（ ）∈Ｒ “若 的每一行元素之和等于零 ， ， 同时， 它的每一列元素之和也等于零 ，
则称 Ａ为 ｒ阶双 中心矩 阵 ， ｔ 所有 ｎ阶双 中心矩 阵全体 记为 ＤＣ 。 又 为实对 称矩 阵 ， Ｒ 若 则称 为 ｎ 阶对称 双 中心矩 阵 ， 有 １阶对称 双 中心矩 阵全 体记为 ＤＣ Ｒ 。 所 １ ， Ｓ 双 中心 矩阵 ， 电网络 理论 上称其 为不 定导 纳矩 阵 ， 在无 移相 器支路 的情 况下 ， 是对 称矩 阵 。 Ａ为 若
（ ， ， ，） ∈ Ｒ ， ， ） ∈ Ｒ ｍ ， 且 （ ）的奇 异 值 分 １１ … １ （ ｅ 州 并 ，
（ｅ＝ｆ ０ ∑ ＾ １ ’ ） ： ，
其 中 ：（ ｊ ）∈０ Ｕ，
双 心 阵则Ａ 表 为 ＝ Ｌ ｅｒ （ 一１ ，∈ ，别 ， ，对 矩 ， Ａ 中 矩 ， 可 示 Ａ （ —１ｅｙ ｒ Ｙ Ｒ 特 地若ｌ 称 阵则 Ｌ ｅｙ ） ） 为
为 对称双 中心矩 阵 。 在参考 文献 ［ ］中讨论 了双 中心矩 阵 的反问题 及其 最佳逼 近 问题 ， 文就对 称 双 中 １ 本 心矩 阵 的最 ／ －乘 问题 进行 探讨 。 Ｊ－ ￣ 主要研 究如下 两个 问题 ： 问题 Ｉ 已知 ， ∈Ｒ 求 Ａ ∈ＤＣ Ｒ ， Ｂ Ｓ 使得
￣ ２ 设 ， ，且 的 异 分 为 ＝『 ｏ Ｕ 其 ｃ （ ） Ｊ ∈…并 奇 值 解 １ １ ，中厂 ， ｌ ｔ ｎ ｉ ： ∑ ：
∈ｏ ， Ｖ， ∈ Ｒ ，－ Ｒ ∈Ｒ ｒ ａｋＸ ， ＝ ｉ （ ２ ） ０贝 Ｊ Ｖ＝（Ｉ Ｒ ） Ｏ Ｕ ∈ ， ，＝ｒ （）∑ ｄ ｇｔ， ， ， ＞ ， ｎ ａ ｒ 盯 …， ４
满足 Ａ ）＝ＩＸ— ＝ｍｎ Ｊ ＢＩ ｉ的几 Ａ Ｊ 阶实对称矩阵Ａ可表示为
Ａ：
【
＋ 曰 ∑
（ ｒ
∑ Ｇ Ｊ
（） ４
其 中 Ｇ ∈Ｓ ‘ Ｒ … 一 ＝ （ ）∈Ｒ ｘ， ＝ ， ｒ ６ ｒ０ 分必 要条件 为
十 三 １ ， 。 Ａ ＝ 有 ∈ Ｒ 的 ＿ ≤ｉ ≤ｒ ， ｊ 并且 ） ０ 解 Ｓ … 充
对 称双 中心矩 阵反 问题 的最 小 二 乘解
宫楠楠 ， 士通 ， 杨 周 硕
（ 东北电力 大学 理学 院 ， 吉林 吉林 １２ １ ） ３０ ２
摘 络中。 关 键
要： 研究 对称双中心矩阵反问题 。建立 了对称双 中心矩阵反 问题的最 小二乘解 ， 出 了解 的 给
表达式。讨论 了在最小 二乘 对称双中心解集合 中求 与给定矩 阵最 佳逼近解 ， 并将 所得结果应 用于 电网 词： 矩阵方程 ； 小二 乘解 ； 最 最佳逼近
．
ＢＸ Ｘ ＝ Ｂ． Ｘ ＝ Ｂｒ Ｂ ｘ
（） ５
这 时 Ａ ＝０的通 解 为 ）
Ａ ＝Ｂ Ｘ ＋（ Ｘ ） ， Ｂ （ｎ—Ｘ Ｘ ）＋￡ ， ２
，
（） ６
其中 Ｇ∈Ｓ Ｒ‘
解 为
‘ 是任 意 的 。 …
＝
定理 １ 已知 ， ∈ Ｒ ， Ｂ ｅ