数学建模培训：经典数值方法
数模中的数值解法
∴ ,2 为有根区间 1 解：∵ f (1) 9 0, f (2) 8 0
1 ln(2 1) ln( 104 ) 4 ln10 2 n 1 13.3 ln 2 ln 2
故 n 14， x14 即为满足精度要求的近似解．
（2）用Taylor多项式近似
y( xn1 ) y( xn h) y( xn ) hy ( xn ) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
y n1 yn hf ( xn , y n )
§1 Euler方法
1.Euler方法 以差分方程初值问题
则 (a) 0, (b) 0
由 ( x) 满足 Lipschitz 条件可知 ( x) Ca, b
故 ( x) Ca, b 由介值定理 x a, b, 使得 ( x ) 0,
即 x ( x )
（2）唯一性：
假设 x ( x) 在 [a, b] 内有两个根 x* , ~ 则 x
x ( x)
(n 0,1,2, )
x n 1 ( xn )
步骤：取初值 x0，逐次代入上式产生序列 xn ，以 x n 为近似方程
f ( x) 0
的解，称为简单迭代法。
xn x , ( x) 在 x 处连续，则 x 是方程的根，即 结论：若
f ( x ) 0
（2）
f ( x) x 10x 20 0
3
20 f ( x) 0 x 2 x 10
迭代格式:
x n 1
20 2 x n 10
将初值代入得 :
20 x1 2 1.6326531 1.5 10
数学建模常用方法
数学建模常用方法建模常用算法,仅供参考：1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用L i n d o、L i n g o软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理）一、在数学建模中常用的方法：1.类比法2.二分法3.量纲分析法4.差分法5.变分法6.图论法7.层次分析法8.数据拟合法9.回归分析法10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划）11.机理分析12.排队方法13.对策方法14.决策方法15.模糊评判方法、16.时间序列方法17.灰色理论方法18.现代优化算法（禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络)二、用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
数学建模10种常用算法
数学建模10种常用算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处参数估计C.F.20世纪60年代,随着电子计算机的。
参数估计有多种方法，有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。
数学建模常用方法
数学建模常用方法建模常用算法,仅供参考：1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用L i n d o、L i n g o软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理）一、在数学建模中常用的方法：1.类比法2.二分法3.量纲分析法4.差分法5.变分法6.图论法7.层次分析法8.数据拟合法9.回归分析法10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划）11.机理分析12.排队方法13.对策方法14.决策方法15.模糊评判方法、16.时间序列方法17.灰色理论方法18.现代优化算法（禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络)二、用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
【经典】建模-数学建模中的数值方法
考虑三维区域 G ，假设其为均匀的且各向同性。
设点 (x, y, z) 处在时刻 t 的浓度为 u(x, y, z,t) 。
区域 G 内浓度升高增加的污染物质量为
Q1 u(x, y, z,t t) u(x, y, z,t)dV
G
G
t t t
u (x, t
重金属在土壤中的传播：
（1）由于是在土壤中扩散，由土壤传播的特性 （慢，相对于空气或液体中），因此，这个题更 多的要求我们分析物质的空间分布，而不侧重各 区域内重金属物质随机时间的变化规律。同时， 主要是数据中也没有给出我们关于时间的数据；
（2）物质污染扩散是源点浓度最大，然后向四 周空间区域扩散，梯次减小。
于是 Q1 Q2 Q3 Q4 ，则有
u t
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F (x,
y,
z,t)
由于数据没有关于时间，因为我们可以认为释放过程已经达到一个平
衡状态，即不随时间发生变化，则有
a2
2u x2
b2
2u y 2
c2
2u z 2
ku
F (x,
y,
z)
0
如果污染源是点源的话：
t t t
G
a
2
2u x2
b2
2u y2
c2
2u z 2
dxdydzdt
由 Q1 Q2 ，
tt
t
G
u t
(x,
y,
z, t )dxdydz
dt
t t t
G
a2
2u x2
b2
数值求解方法
数值求解方法数值求解方法是一种通过数值计算来解决数学问题的方法。
在许多实际问题中，我们需要求解各种方程或函数的根、极值、积分等问题，而数值求解方法可以提供一种有效的途径来解决这些问题。
本文将介绍几种常见的数值求解方法，并分析其原理和应用。
一、二分法二分法是一种简单而有效的数值求解方法，它通过不断将求解区间一分为二，并根据函数值的正负判断根的位置，最终逼近根的位置。
二分法的原理是基于函数在连续区间上的性质，通过不断缩小求解区间的范围来逼近根的位置。
二分法的优点是简单易用，但收敛速度相对较慢，对于某些特殊函数可能不适用。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法。
它通过对方程进行泰勒展开，利用切线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但对于某些复杂函数可能存在收敛性问题，需要进行合理的初始近似值选择。
三、割线法割线法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法，类似于牛顿迭代法。
它通过对方程进行割线近似，利用割线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。
割线法的优点是相对于牛顿迭代法而言，不需要计算函数的导数，因此更加简单易用，但收敛速度较慢。
四、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的数值方法。
它通过对方程组进行一系列的行变换，将方程组化为上三角形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单直观，适用于一般的线性方程组求解，但对于某些特殊的方程组可能存在奇异性或多解的问题。
五、龙贝格积分法龙贝格积分法是一种用于数值积分的方法，通过对区间进行逐步细分，并计算相应的复合梯形面积来逼近积分值。
龙贝格积分法的优点是收敛速度较快，精度较高，适用于各种类型的函数积分求解，但对于某些特殊函数可能存在收敛性问题。
六、插值法插值法是一种通过已知数据点来求解未知数据点的数值方法。
它通过构造一个插值函数，使得该函数在已知数据点上与原函数值相等，从而通过插值函数来求解未知数据点的近似值。
数学建模中的数值方法
异应该很小，因此，我们选择参数的方法为：
待估计参数
min
ˆ ( x , y , z )] [u( x , y , z ) u
i 1 i i i i i i
n
2
那现在的问题是： 这样模型的精确解好求吗？
微分方程的解析解
求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:
dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)
则有
2 2 2 u u u u a 2 2 b2 2 c 2 2 t x y z
如果 G 内存在污染源，则有单位时间内、单位体积内所产生的污染 物质为 F ( x, y, z, t ) ，新增的质量为：
Q3
t t
t
F ( x, y, z, t )dxdydzdt
重金属在土壤中的传播： （1）由于是在土壤中扩散，由土壤传播的特性 （慢，相对于空气或液体中），因此，这个题更 多的要求我们分析物质的空间分布，而不侧重各 区域内重金属物质随机时间的变化规律。同时， 主要是数据中也没有给出我们关于时间的数据； （2）物质污染扩散是源点浓度最大，然后向四 周空间区域扩散，梯次减小。 （3）假设物质是由高浓度区向低浓度区扩散
t t t
u ( x, y, z , t )dxdydz dt G t
扩散是随着时间的一个变化过程，因此微元分析可以取 [t, t t ] ，则在 该时间微元内，流过封闭曲面为 的污染物质质量为
Q2
t t t
2 u 2 u 2 u cos b cos c cos dsdt a x y z
结 果：u = tg(t+c1)
数学建模大赛常用算法
数学建模大赛常用算法
数学建模比赛是一项非常重要的比赛，旨在培养学生的数学建模能力。
在数学建模比赛中，常用的算法有很多，下面我们来介绍一些常用的算法。
1. 图论算法
图论是数学建模中一个非常重要的分支，其应用广泛，包括交通规划、电路设计、网络安全等领域。
图的数据结构包括邻接矩阵和邻接表，常用的算法有最短路径算法、最小生成树算法、拓扑排序算法等。
2. 数值计算算法
数值计算是数学建模中另一个重要的分支，其应用广泛，包括金融、天气预报、物理学等领域。
常用的算法有牛顿迭代法、龙格-库塔法等。
数值计算还包括数值积分、差分方程等方面。
3. 统计学算法
统计学是数学建模中另一个重要的分支，其应用广泛，包括医学、金融、社会学等领域。
常用的算法有假设检验、方差分析等。
统计学还包括回归分析、时间序列分析等方面。
4. 优化算法
优化算法是数学建模中另一个重要的分支，其应用广泛，包括运筹学、金融、工程等领域。
常用的算法有线性规划、整数规划、动态规划等。
总之，数学建模常用的算法非常多，学生需要掌握其中的一些算
法，才能在数学建模比赛中脱颖而出。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中，常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法，它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系，并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中，我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据，并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外，回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题，例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数，直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件，从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外，最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型，并利用这个模型来预测未知的数据。
《数学模型》课件数学建模中的数值方法20180907
u t
b2
2u x2
2u y2
2u z 2
f
(x,
y,
z,t)
其中， f F 。 a
Q1
t t t
S
k
u n
dS
dt
如果考虑的是线或是面的扩散问题，则方程变为
u t
b2
2u x2
一维热传导方程
u t
b2
2u x2
2u y2
二维热传导方程
如果考虑的是稳恒场，即 u 与时间 t 无关，分布达到某种动态平
t
V
a
u t
dxdydz
dt
Q2
由于对与任意的区域上式都要成立，因此
a
u t
k
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
u
边界条件：（i） u
f1 ；
（ii）
u n
f2 ；
（iii）
u n
u
f3
那现在的问题是： 这样模型好求解吗？
微分方程的解析解
求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:
1870 38.6
1880 1890 1900 1910 1920 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5
8.2
7.4
11.6 12.7 13.1 16
14.5
年（公元） 1930 人口（百万） 123.2
1940 1950 1960 1970 1980 1990 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
为
0，即 r xm =0，于是
s
r xm
，代入 rx
r
数模竞赛常用算法
系统聚类分析步骤
系统聚类方法步骤： 1. 计算n个样本两两之间的距离 2. 构成n个类，每类只包含一个样品 3. 合并距离最近的两类为一个新类 4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当 前类的距离等于当前类与组合类中包含 的类的距离最小值），若类的个数等于 1，转5，否则转3 5. 画聚类图 6. 决定类的个数和类。
插值方法
一维插值的定义—已知n个节点，求任意 点处的函数值。
分段线性插值 多项式插值 样条插值 y=interp1(x0,y0,x,'method')
二维插值—节点为网格节点
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)
6、模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数 学 （概念与其对立面之间没有一条明确 的分界线）
6、模糊数学相关的问题
模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构 造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度 来确定其分类关系 模糊层次分析法—两两比较指标的确定 模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因 素制约的事物或对象作出一个总的评价，如 产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种 植适应性的评价等，都属于综合评判问题。 由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊 性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合 评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际 效果
时间序列建模的基本步骤 （2）
利用F准则检验模型ARMA(2n,2n-1)和 ARMA(2n-1,2n-2) ，若F值不显著，转 入第7步；若F值显著，转入第8步。 7. 舍弃小的MA参数，拟合m<2n-2的模型 ARMA(2n-1,m) ，并用F准则进行检验。 重复这一过程，直到得出具有最小参数 的适用模型为止 8. 舍弃小的MA参数，拟合m<2n-1的模型 ARMA(2n,m) ，并用F准则进行检验。重 复这一过程，直到得出具有最小参数的 适用模型为止。
数学建模线性方程组的数值解法
直接法 经过有限次算术运算求出精确解（实际上 由 于 有 舍 入 误 差 只 能 得 到 近 似 解 ） ---- 高 斯 （Gauss）消元法及与它密切相关的矩阵LU分解 迭代法 从初始解出发，根据设计好的步骤用逐次 求出的近似解逼近精确解 ---- 雅可比（Jacobi） 迭代法和高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法
(k )
0.1x1
( k 1)
0.3x2
( k 1)
1.4
Gauss-Seideil迭代公式 Dx ( k 1) Lx ( k 1) Ux ( k ) b
用它作除数会导致舍入误 差的很大增加 解决 办法 选
(k ) aik
(i k , n) 最大的一个(列主元)
将列主元所在行与第k行交换后, 再按上面的 高斯消元法进行下去，称为列主元消元法。
直接法 - 高斯消元法的矩阵表示
高斯消元法的第一次消元
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
数值解法(迭代解法)的收敛性
实验5的主要内容
1. 两类数值解法: 直接方法；迭代方法
2. 超定线性方程组的最小二乘解 3. 线性方程组数值解法的MATLAB实现 4. 实际问题中方程组的数值解
线性方程组的一般形式、两类解法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
大学数学实验
Mathematical Experiments 实验5 线性代数方程组的数值解法
数模十大常用算法及说明
数模十大常用算法及说明1. 蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo 、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。
两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。
十类算法的详细说明2.1 蒙特卡罗算法大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。
数学建模数值算法
双线性插值
y•
(x1•, y2) (x2,•y2)
•
•
•
•
•
••
(x1, y1) (x2, y1)
•
•
•
••
O
x
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。 双线性插值函数的形式如下：
f(x ,y ) (a x b )c ( y d )
其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶 点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正 好确定四个系数。
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的 曲线或曲面 解决方案：
•若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插 值问题；
•若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它 反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲 线拟合或曲面拟合。
平面的一般方程 ax + by + cz =d 把螺旋线方程代入平面方程整理，用t/代替原来的 t，cost、sint、t的系数分别为A、B、C常数项为D ,得：
Acos t + Bsin t +Ct +D=0
令：f(t)=Acos t + Bsin t +Ct +D问题归为解非线性 方程 f(t)=0。
称为拉格朗日插值基函数。
例：选取n+1个不同插值节点，其中n为插值多项式 的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出下列函数拉 格朗日插值插值多项式图形.
1 g(x)1x2 5x5
分段线性插值
y
••• •
• •
o x0
xj-1
数学建模中的数值方法
准备工作
第一天晚前的活
查到相关资料是好事吗？
在此情况下,企业需要在销售季节到来之前确定制造 渠道产品的供应数量,即在需求和返回都是随机变量 的情况下进行决策,以使得收入达到最大.进而,分析 再制造渠道对制造渠道的影响。
在此情况下,企业需要做的事情如下：（A）在销售季节开始之前， 用户需求还没有到来时，对部件1和部件2库存的采购数量进行决 策并采购部件；（B）在销售季节开始后，所有的用户向制造商提 交产品订单，然后企业根据已实现的总需求装配成品满足用户， 假设每个成品需要部件1和部件2各1一个.请问：企业应该如何进 行部件1和部件2的采购决策. 进而，分析再制造渠道对制造渠道 的影响。
微分方程数值解法
dx rf ( x) dt x(0) x0
常微分方程
2 2 2 u 2 u 2 u 2 u a b c ku F ( x, y , z , t ) 2 2 2 t x y z u ( x, y , z , 0) 1 ( x, y , z )
论文正文 1、结构安排清晰（要从读者角度看） 一部分开始的简短引言、每部分的名称，包括每 个小问题的名称 2、主要结论突出
可用图、表、定理、命题表达。同时这也使论文 增色
3、不必像摘要那么苛刻，没有语法错误、表达清楚 即可
学校数据库 中文：CNKI、VIP、万方、超星 外文：EBSCO、Elseriver、ProQuest、Springer、EI、 ISI Web of Knowledge
3）大多数制造企业不单制造一种产品，现假设企业生产两 种产品,产品2是产品1的升级换代产品，类似电脑的更新。 每个产品由三个部件组装而成，如下图。部件可以进行分 类,包括：通用部件（属产品1和产品2共用，且可经制造和 再制造两种渠道供应，相应条件类似（1）（2））；特殊 部件（属产品1和产品2所特有）；升级部件（属产品1和产 品2所特有，但当产品1该部件短缺且产品2该部件剩余的情 况，可以用产品2部件替代产品1部件满足需求，用户可接 收该替换，也可不接受，假设是否接受部件产品服从0-1分 布；接受替换的用户需要支付一定的升级费用，不接受的 用户放弃购买该产品）.在此环境下,企业的运作流程类似 （2），“当需求还没有到来时,采购所有部件进行存储,等 待订单到来之后,根据具体的需求信息再进行组装”.请研 究该情况下企业对各个部件的采购决策。进而，分析再制 造渠道和替代行为lar(/)
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10 x1 x2 2 x3 72 x1 10 x2 2 x3 83 x x 5 x 42 1 2 3
解 将方程组改写成如下等价形式
0 . 1 x 2 0 .2 x 3 7 .2 x1 0 .2 x 3 8 . 3 x2 0.1 x1 x 0 .2 x 0 .2 x 8 .4 3 1 2
假设初始向量取 x(0)=(0, 0, 0)T.
x
第一次迭代
(1) 1
7.2
(1) x2 0.1 7.2 8.3 9.02
( 2) x3 0.2 7.2 0.2 9.02 8.4 11.644
16
x=Jacobi_iter(A,b,20,1e-5,x0) k x1 x2 x3.... 1.0000 7.2000 8.3000 8.4000 2.0000 9.7100 10.7000 11.5000 3.0000 10.5700 11.5710 12.4820 4.0000 10.8535 11.8534 12.8282 5.0000 10.9510 11.9510 12.9414 6.0000 10.9834 11.9834 12.9804 7.0000 10.9944 11.9944 12.9933 8.0000 10.9981 11.9981 12.9978 9.0000 10.9994 11.9994 12.9992 10.0000 10.9998 11.9998 12.9997 11.0000 10.9999 11.9999 12.9999 12.0000 11.0000 12.0000 13.0000 13.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 11.0000 12.0000 13.0000
a12 a11 a13 a11 0 a23 a22 a32 a33 a42 a44 0 a43 a44
6
Jacobi迭代法
ai1 x1 ai ( i 1) xi 1 aii xi ai ( i 1) xi 1 ain xn bi , aii xi ai1 x1 ai ( i 1) xi 1 ai ( i 1) xi 1 ain xn bi ,
(k )
x2 x3 x4
( k 1 )
(b2 a21 x1
( k 1 )
a23 x3 a32 x2 a42 x2
(k )
( k 1 )
(b3 a31 x1 (b4 a41 x1
( k 1 )
( k 1 )
( k 1 )
( k 1 )
( k 1 )
) / a44
假设初始向量取 x(0)=(0, 0, 0)T. 第一次迭代 x(1) (7.2, 8.3, 8.4)T
( 2) x1 0.1 8.3 0.2 8.4 7.2 9.71
第二次迭代
x
( 2) 2
0.1 7.2 0.2 8.4 8.3 10.7
10
( 2) x3 0.2 7.2 0.2 8.3 8.4 11.50
12
( k 1)
(k )
(k )
n=4的Gauss-Seidel迭代法
x1
( k 1 )
(b1 a12 x2
(k )
a13 x3
(k )
a14 x4 ) / a11 a24 x4 ) / a22 a34 x4 ) / a33 a43 x3
( k 1 ) (k ) (k )
k 0,1,2,
已知 x ( 0 )
(0) (k ) x1 x1 (0) (k ) x2 x2 (k ) ( 0 ) 用上述迭代公式可算得 x ( k ) x3 x3 x(0) x(k ) 4 4 k 1,2,
(k+1)
xi
ai ( i 1) (k+1) ai ( i 1) (k) ai1 (k+1) ain (k) bi x1 x i 1 x i 1 xn , aii aii aii aii aii
( i 1,2,, n)
14
例 用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
k
lim x
( k 1 )
lim Mx
k
(k )
即向量 x 是 方程 Ax=b 的解. 单步定常线性迭代法产生的向量序列若收敛则 必收敛到原线性方程组的解.
3
n=4的Jacobi迭代法
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 b1 a x a x a x a x b 21 1 22 2 23 3 24 4 2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 a41 x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 b4
实际计算时，迭代法中止条件
max | xi | max | x
1 i n 1 i n
( k 1 ) i
x
(k ) i
|
其中 为给定的要求精度.
11
方法二：n=4的Gauss-Seidel迭代法
Ax b
把方程组改写成如下等价形式
(b1 a12 x2 a13 x3 a14 x4( k ) ) / a11 x1 ( k 1) ( k 1) (k ) (k ) (b2 a21 x1 a23 x3 a24 x4 ) / a22 x2 ) ( k 1) ( k 1) (k ) x ( k 1 (b3 a31 x1 a32 x2 a34 x4 ) / a33 3 ( k 1) ( k 1) x ( k 1 ) ( k 1) ( b a x a x a x ) / a44 4 4 41 1 42 2 43 3
xi
(k+1)
ai ( i 1) (k) ai ( i 1) (k) ai1 (k) ain (k) bi x1 x i 1 x i 1 xn , aii aii aii aii aii
( i 1,2,, n)
x
(k )
x , x ,, x
假设初始向量取 x(0)=(0, 0, 0)T. 第二次迭代
数模培训：经典数值方法简介
1：线性方程组Ax=b的迭代方法 2: 非线性方程的迭代解法 3：常微分方程的数值解法
1
1：线性方程组迭代法概述 等价变形 如何做 基本思想
M: 迭代矩阵
Ax b x Mx g
等价线性方程组 取初始向量 x(0)Rn, 构造如下单步定常线性迭代公式
(k ) 1 (k ) 2
(k ) T n
7
Jacobi迭代法的矩阵表示 设D为由A的对角线元素构成的对角矩阵
Ax b Dx ( D A) x b x ( I D A) x D b
1 1
x
( k 1)
( I D A) x
1
(k )
D b
Jacobi迭代公式
1
迭代矩阵
M ID A
8
1
例 用Jacobi迭代法求解线性方程组
10 x1 x2 2 x3 72 x1 10 x2 2 x3 83 x x 5 x 42 1 2 3
解 将方程组改写成如下等价形式
0 . 1 x 2 0 .2 x 3 7 .2 x1 0 .2 x 3 8 . 3 x2 0.1 x1 x 0 .2 x 0 .2 x 8 .4 3 1 2
15
Gauss-Seidel迭代法计算公式为
( k 1 ) (k ) (k ) x1 0.1 x2 0.2 x3 7.2 ( k 1 ) ( k 1 ) (k ) x 0 . 1 x 0 . 2 x 2 1 3 8.3 ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) x 0 . 2 x 0 . 2 x 8.4 1 2 3
13
Gauss-Seidel迭代法
ai1 x1 ai ( i 1) xi 1 aii xi ai ( i 1) xi 1 ain xn bi , aii xi ai1 x1 ai ( i 1) xi 1 ai ( i 1) xi 1 ain xn bi ,
x Mx g
4
方法一：n=4的Jacobi迭代法计算公式
x1( k 1) (b1 a12 x2( k ) a13 x3( k ) a14 x4( k ) ) / a11 ( k 1 ) (k ) (k ) (k ) (b2 a21 x1 a23 x3 a24 x4 ) / a22 x2 ( k 1 ) (k ) (k ) (k ) x ( b a x a x a x ) / a33 3 3 31 1 32 2 34 4 ( k 1 ) (k ) (k ) (k ) (b4 a41 x1 a42 x2 a43 x3 ) / a44 x4
把方程组改写成如下等价形式
Ax b
x1 (b1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 ) / a11 x (b a x a x a x ) / a 2 2 21 1 23 3 24 4 22 x3 (b3 a31 x1 a32 x2 a34 x4 ) / a33 x4 (b4 a41 x1 a42 x2 a43 x3 ) / a44
Jacobi method converged x= 11.0000 12.0000 13.0000