辽宁省2018年高考[理数卷]考试真题与答案解析

辽宁省2018年高考[理数卷]考试真题与答案解析
一、选择题
本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i
12i +=
-A ．43i
55--B ．43
i
55-+C ．34
i
55--D ．34
i
55-+2．已知集合(){}22
3A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
3．函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
A
．y = B
．y =C
．y =D
．y =6．在ABC △
中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB =A
．B
C
D
．7．为计算1
1
1
1
1
123499100S =-+-++-…
则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4
i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．1
12
B ．1
14
C ．1
15
D ．1
18
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为
A ．15
B
C
D
10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π
4
B ．π
2
C ．3π
4
D ．π
11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=
…A ．50-B ．0C ．2D ．50
12．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．2
3
B ．12
C ．13
D ．14
二、填空题
本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，，，则z x y =+的最大值为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △
的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题
共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。

17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．
18．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模
型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，
，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5y
t =+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．设抛物线2
4C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，
||8AB =．
（1）求l 的方程
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
20．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
C
21．已知函数2
()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
（二）选考题
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，
（θ为参数），直线l 的参数方程为
1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
[选修4－5：不等式选讲]23.（10分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．
答案解析
一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C
9．C
10．A
11．C
12．D
二、填空题
13．2y x =14．915．1
2
-
16．三、解答题
17．解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得d =2．
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--．所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为−16．
18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1y
=-+⨯=(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5y
=+⨯=(亿元)．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
30.413.5y t =-+上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描
述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
ˆ9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测
值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
19．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．
设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),
4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．
2
16160k ∆=+>，故122224k x k x ++=
．所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22
44
8k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即
5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．20．解：
（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥
，且OP =．连结OB
．因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=．由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．
（2）如图，以O 为坐标原点，OB u u u r
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -
．
由已知得取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r
．
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r
．设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．由0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n n
得20(4)0
y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩
，可取,)a a =--n ，
所以cos ,OB =
u u u r
n
．由已知可得|cos ,|OB =u u u r n
．解得4a =-（舍去），43a =．
所以4(3=-n
．又(0,2,PC =-u u u r
，所以cos ,PC =
u u u r n ．所以PC 与平面PAM
．21．解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x
g'x x x x --=--+=--．
当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．
（2）设函数2()1e x
h x ax -=-．
()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．
（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e x
h'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1e
a
h =-
是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即2
e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；
②若(2)0h =，即2
e 4
a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；
③若(2)0h <，即2
e 4
a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，
由（1）知，当0x >时，2
e x x >，所以3334224
1616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a
=-=->-=->．
故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．
综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2
e 4a =．
22．解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1
416x y +=．
当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则
120t t +=．又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
23．解：（1）当1a =时，
24,1,()2,12,
26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)
-∞-+∞。