对弧长的曲线积分教案

第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分
一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入
平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=
平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数
),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中
i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。

在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为
i i i s f ∆),(ηξ
曲线构件L 的质量近似为
∑=→∆n
i i i i s f 1
),(lim ηξλ
那么，曲线构件L 的质量为
∑=→∆=n
i i i i s f M 1
),(lim ηξλ
其中}{max 1i n
i s ∆=≤≤λ
2．对弧长的曲线积分的概念
定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式
∑=∆n
i i
i
i
s
f 1
),(ηξ
当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在
∑=→∆n
i i i i s f 1
),(lim ηξλ
则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。

记作
⎰
L
ds y x f ),(∑=→∆=n
i i i i s f 1
),(lim ηξλ
其中}{max 1i n
i s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。

如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为
⎰
L
ds y x f ),(
3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即
⎰
⎰
=BA
AB
ds y x f ds y x f 弧弧),(),(。

由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。

二．对弧长的曲线积分的计算 1．若曲线L 由)()
(b x a x y y ≤≤=给出，且)(x y y =在],[b a 上有一阶连续的导数，则
⎰⎰
+=b
a
l
dx x y x y x f ds y x f )('1))(,(),(2
2．设曲线L 由)(),(t y t x ψϕ== )(βα≤≤t 给出，且)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续的导数，0)]([)]([22≠'+'t t ψϕ，则
)()(')(')](),([),(22βαψϕψϕβ
α
<+⎰⎰
dt t t t t f ds y x f l
注 由于0>dl ，要保证0>dt ，然后确定积分变量t 的上、下限。

对弧长的曲线积分化为定积分计算的要点
（1）被积函数定义在曲线L 上，即点),(y x 在曲线L 上变化。

（2）弧长元素22)()(dy dx dl +=
（3）确定定积分的上、下限。

例1 求⎰+L
dl y x )(，其中L 为x 轴上直线段AB 与半圆弧BCA 组成的封闭的曲线。

解
⎰+L dl y x )(⎰
⎰
+++=B C A
AB
dl y x dl y x 弧)()(
001)0()(22=++=+⎰⎰
-a
a
AB
dx x dl y x
20
222)cos ()sin ()sin (cos )(a dt t a t a t t a dl y x BCA
=++=+⎰⎰
π
弧
所以
22)(a dl y x L
=+⎰
例2 求⎰++L
ds zx yz xy )(，其中L 是球面2
222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线。

解法一
⎰
++L
ds zx yz xy )(⎰++=
L ds zx yz xy )(221
⎰++-++=L ds z y x z y x )]()[(21
2222 ⎰++-=
L
ds z y x )(2122232
2a ds a L
π-=-=⎰ 解法二 求曲线L 的参数方程。

由2222a z y x =++，0=++z y x 消去y ，得
2222)(a z z x x =+++
即
)23
1(2)2(2222z a
a z x -=+
令t a z sin 3
2
=
，则 )231(22222z a a z x -±-=t a t a sin 6
cos 2-±=
t a t a z x y sin 6cos 2)(-
=+-=
于是得到两组参数方程
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-=t
a z t a
t a y t a
t a x sin 32sin 6cos 2sin 6cos 2 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=-=--=t
a z t a
t a y t a
t a x s i n 32s i n 6c o s 2s i n 6c o s 2 显然，被积函数和L 都具有轮换对称性，可任选一组，例如第一组，则
⎰++L
ds zx yz xy )(⎰=L
zxds 3
dt
t z t y t x t t t a )()()()sin 31(cos sin 322220
2'+'+'-
=⎰π
dt t t t a
)sin 3
1(cos sin 320
3
-=⎰
π
320
23
sin a tdt a
ππ
-=-=⎰
解法三 作坐标旋转
旧坐标是),(y x ，新坐标是),(Y X ，旋转角为θ，则旋转变换的一般公式为
θθsin cos Y X x -=， θθcos sin Y X y +=
因为平面0=++z y x 的单位法矢为}1,1,1{3
1=
n ，则它与z 轴的夹角余弦为3
1cos =
ϕ。

下面分两步进行旋转，先将Oxy 平面旋转4
π
，得新坐标系vz u O '；再将u Oz '平面旋转ϕ，得新坐标系Ouvw 。

即
Oxyz vz u O ' O u v w
由旋转公式得
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+'=-'=)(21)(21v u x v u x ⎩
⎨
⎧+='-=ϕϕϕϕ
c o s s i n s i n c o s u w u u w z 于是得
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧-=++=+-=ϕϕϕϕϕϕsin cos )sin cos (21)sin cos (21u w z w v u y w v u x 在这组变换下，曲线L ：2222a z y x =++，0=++z y x 变为2222a w v u =++，0=w ，故
⎰
++L
ds zx yz xy )(⎰=L
xyds 3⎰+-=
L
ds v u v u )cos )(cos (23
ϕϕ ⎰-=L ds v u )cos (232
22φds v u L
)3(2122-=⎰ ⎰-+=
L
ds v v u ]4)[(21222320233sin 2a tdt a a πππ-=-=⎰ 注 三种解法各具特点
解法一技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。

解法二常规的方法，即
写出参数方程 套公式 计算定积分
这里主要难在第一步，写参数方程。

通过解法二，给出了一种求参数方程的方法。

解法三先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。

Oxyz 坐标系下的线积分 Ouvw 坐标系下的线积分 写出参数方程 套公式 计算定
积分
在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。

这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。

二型线面积分 例1 计算曲线积分
⎰-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222，
（1）L 是球面三角形12
22=++z y x ，0>x ，0>y ，0>z 的边界线，从球的外侧看去，L 的
方向为逆时针方向；
（2）L 是球面2
2
2
2
a z y x =++和柱面)0(2
2
>=+a ax y x 的交线位于Oxy 平面上方的部分，
从x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向。

解 （1）显然，L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L 分为三段
1L ：122=+y x ，0=z （0>x ，0>y ） 2L ：122=+z y ，0=x （0>y ，0>z ） 3L ：122=+z x ，0=y （0>x ，0>z ）
则⎰
-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222
⎰-+-+-=1
)()()(3222222L dz y x dy x z dx z y
⎰-=1
223L dy x dx y 4)1(3)1(31
20
12
-=---=⎰⎰dy y dx x
或 ⎰
-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(2
22222
⎰-=L
dx z y )(322⎰⎰⎰-++=3
1
2
))((322L L L dx z y
⎰⎰-+=1
3
2
2
33L L dx z dx y 4)1(3)1(31
20
12
-=---=⎰⎰dx x dx x
注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍。

它们的区别在于
第一种方法：积分表达式不变，积分化为1L 上的积分的3倍。

第二种方法：积分曲线L 不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。

问题1 是否可化为既是1L 上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即
⎰-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=1
)(922L dx z y
（2）曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反
⎰-L
dx z y
)(22
⎰≥-=
,22
)(y L dx z y
⎰≤=-+
,22
0)(y L dx z y
同理
⎰-L
dz y x )(22⎰
≥-=0
,2
2)(y L dz y x 0)(0
,2
2=-=⎰
≤y L dz y x 故 ⎰
-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(2
222
22⎰
-=L
dy x z )(2
2
下面求曲线L 的参数方程。

方法1 利用球面的参数方程
φθsin cos a x =，φθsin sin a y =，φcos a z =，
代入柱面方程ax y x =+22得θφcos sin =，于是得L 的参数方程
θ2cos a x =， θθcos sin a y =， |sin |θa z =， θ从
2
π到2π-
方法2 利用柱面的参数方程θcos 22a a x +=
，θsin 2
a
y =，代入球面方程 2222a z y x =++，得L 的参数方程
θcos 22a a x +=
， θsin 2a y =， |2
sin |θ
a z =， θ从π2到0 不妨取方法1中的参数方程进行计算， ⎰
-=L
dy x z I )(2
2⎰
---=
2
/2
/2
2422)s i n (c o s ]c o s [s i n ππθθθθθd a a ⎰
---=0
2
/2
423
)1cos 2](cos cos 1[2πθθθθd a
⎰--+--=2
/0
6423
)cos 2cos cos 31(2πθθθθd a
332
]224635222434321[2a a ππ=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-+-
-= 注 2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0。

值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的。

例如第一项积分，曲线关于Ozx 平面对称，
且方向相反，而被积函数关于y 是偶函数（不是奇函数），则
⎰-L
dx z y )(2
2⎰≥-=0
,22
)(y L dx z y
⎰≤=-+
,22
0)(y L dx z y
上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的。

第二节 对坐标的曲线积分
一．对坐标的曲线积分的概念 1．引入
设一质点在力j y x Q i y x P F ),(),(+=的作用下，在xy 平面上沿着曲线L 从A 点移到B 点。

若力F 是恒力，则力F 所做的功为
AB F W ⨯=
若力F 是变力，此时变力沿曲线L 所做功的计算是在弧L 上添加分点),(000y x M A =，
),(i i i y x M ，…，B y x M n n n =),(，可把有向曲线弧L 分成n 个小段，第i 段有向小曲线弧对应
的有向弦段
j y i x M M i i i i ∆+∆=-1
如果),(),,(y x Q y x P 在L 上连续，在每小段弧上任意取一点
),(i i ηξ，则该小段弧上的力F 近似为恒力
=),(i i F ηξj Q i P i i i i ),(),(ηξηξ+
力F 在每小段弧上所做的功近似值为
i i i i i i i i i i i y Q x P M M F W ∆+∆=⋅=∆-),(),(),(1ηξηξηξ
那么，力),(y x F 沿着曲线L 从A 点移到B 点所做的功为
∑∑=→=→∆+∆=∆=n
i i i i i i i n i i y Q x P W W 1
1
]),(),([lim lim ηξηξλλ
其中}{max 11长弧i i n
i M M -≤≤=λ
2．定义
定义 设L 为xy 平面上由点A 到点B 的有向光滑曲线，且函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上有定义，由点A 到点B 把L 任意分割成n 个小段弧，记分点为
),(000y x M A =，),(i i i y x M ，…，B y x M n n n =),(
i x ∆和i y ∆为有向小段弧i i M M 1-在x 轴和y 轴上的投影，即1--=∆i i i x x x ，1--=∆i i i y y y 。

在小段弧i i M M 1-上任意取一点),(i i ηξ，有和式
∑=∆n
i i
i
i
x
P 1
),(ηξ和
∑=∆n
i i
i
i
y
Q 1
),(ηξ
n 个小段弧的最大弧长记为λ，若
∑=→∆n i i i i x P 1
),(lim ηξλ和∑=→∆n
i i i i y Q 1
),(lim ηξλ
存在，则称极限值分别为函数),(y x P 、),(y x Q 在有向曲线L 上对x 和y 的曲线积分。

即
⎰L
dx y x P ),(∑=→∆=n i i
i
i
x P 1
),(lim ηξλ和⎰L
dy y x Q ),(∑=→∆=n
i i
i i y Q 1
),(lim ηξλ
对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分，在应用上常把这两个积分结合在一起，即
⎰⎰+L
L
dy y x Q dx y x P ),(),(
简记为
dy y x Q dx y x P L
),(),(+⎰
注 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关，若-L 是与L 方向相反的有向曲线，则
⎰⎰⎰⎰
-=-=--
L
L
L
L dy y x Q dy y x Q dx y x P dx y x P ),(),(,),(),(
即
dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L
L ),(),(),(),(+-=+⎰⎰
-
3．性质
对坐标的曲线积分也有与重积分类似的性质 若21L L L +=，则
⎰⎰
⎰+++=+2
1
),(),(),(),(),(),(L L L
dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P
二．对坐标的曲线积分的计算
1．若有向曲线L 的⋂
AB 由)(),(t y t x ψϕ==给出，起点A 对应α=t ，终点β对应β=t ，则
⎰⎰
+=+⋂
β
α
ψψϕϕψϕdt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P AB
)}(')](),([)(')](),([{),(),(2．若有向曲线L 的⋂
AB 由)(x y y =确定，起点A 对应a x =，终点B 对
应b x =，则
⎰⎰
+=+⋂
b
a
AB
dx x y x y x Q x y x P dy y x Q dx y x P )}(')](,[)](,[{),(),(
例1 计算曲线积分
⎰+L
dx y x )(
其中L 为沿着抛物线2x y =从原点)0,0(O 到点)4,2(A ，再沿着直线由点)4,2(A 到点)0,2(B 。

解 由于
314)()(2
021=
+=+⎰⎰dx x x dx y x L ，0)()(002
2=+=+⎰⎰dx x x dx y x L 所以3
14
)()()(2
1=+++=+⎰⎰⎰L L L dx y x dx y x dx y x
例2 计算曲线积分
⎰-L
ydx xdy
其中积分路径为
（1）在椭圆122
22=+b
y a x ，从点)0,(a A 经过第一、二、三象限到点),0(b B 。

（2）在直线b x a
b
y -=上，从点)0,(a A 到点),0(b B -。

解 （1）椭圆的参数方程
⎩⎨
⎧==t
b y t
a x sin cos 且起点)0,(a A 对应参数0=t ，终点),0(
b B 对应参数π2
3
=
t ，则 ab abdt dt t t ba t t ab ydx xdy AB
2
3)sin (sin cos cos [230
230
πππ=
=--=-⎰⎰⎰
弧 （2）直线b x a
b
y -=
上AB 线段，起点)0,(a A 对应a x =，终点),0(b B -对应0=x ，且dx a
b
dy =
，则 ab dx b x a
b
a b x
ydx xdy b
a
AB
-=+-=-⎰⎰
)(线段 例3＊
计算曲线积分
⎰-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222
（1）L 是球面三角形12
22=++z y x ，0>x ，0>y ，0>z 的边界线，从球的外侧看去，
L 的方向为逆时针方向；
（2）L 是球面2
2
2
2
a z y x =++和柱面)0(2
2
>=+a ax y x 的交线位于Oxy 平面上方的部
分，从x 轴上))(0,0,(a b b >点看去，L 是顺时针方向。

解 （1）显然，L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L 分为三段
1L ：122=+y x ，0=z （0>x ，0>y ） 2L ：122=+z y ，0=x （0>y ，0>z ） 3L ：122=+z x ，0=y （0>x ，0>z ）
则
⎰-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222
⎰-+-+-=1
)()()(3222222L dz y x dy x z dx z y
⎰-=1
223L dy x dx y 4)1(3)1(31
2012-=---=⎰⎰dy y dx x
或
⎰-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222
⎰-=L
dx z y )(322dx z dx y dx z y L L L L L )((3)()(322223
1
3
2
1
-+=-++=⎰⎰⎰⎰⎰
4)1(3)1(31
201
2-=---=⎰⎰dx x dx x
注1 这里利用轮换对称性使计算化简，两种方法都是写为某积分的3倍，它们的区别在于
第一种方法的积分表达式不变，积分化为1L 上的积分的3倍；第二种方法的积分曲线L 不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。

问题1 是否可化为既是1L 上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即
⎰-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=1
)(922L dx z y
（2）曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反
⎰-L
dx z y
)(22
0)()(0
,220
,22=-+-=⎰⎰
≤≥y L y L dx z y dx z y
同理
⎰-L
dz y x )(220)()(0
,220
,22=-+-=⎰
⎰≤≥y L y L dz y x dz y x
故
⎰-+-+-=L
dz y x dy x z dx z y I )()()(222222⎰-=L
dy x z )(22
下面求曲线L 的参数方程 方法一 利用球面的参数方程
ϕθsin cos a x =，ϕθsin sin a y =，ϕcos a z =
代入柱面方程ax y x =+22得θϕcos sin =，于是得L 的参数方程
θ2cos a x =， θθcos sin a y =， |sin |θa z =
θ从
2
π到2π-
方法二 利用柱面的参数方程θcos 22a a x +=
，θsin 2
a
y =，代入球面方程 2222a z y x =++
得L 的参数方程
θcos 22a a x +=
， θsin 2a y =， |2
sin |θ
a z = θ从π2到0
不妨取方法一中的参数方程进行计算
⎰-=L
dy x z I )(2
2⎰-
--=22
22422)sin (cos ]cos [sin π
πθθθθθd a a
⎰---=0
2
2
423
)1cos 2](cos cos 1[2πθθθθd a
⎰
--+--=2
6423
)cos 2cos cos 31(2π
θθθθd a
332
]224635222434321[2a a ππ=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-+-
-= 注 2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0。

值得注意的是第二
类曲线积分与第一类的曲线积分对称性的应用是不同的。

例如第一项积分，曲线关于Ozx 平面对称，且方向相反，而被积函数关于y 是偶函数（不是奇函数），则
⎰-L
dx z y
)(22
0)()(0
,220
,22=-+-=⎰
⎰
≤≥y L y L dx z y dx z y
上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的。

三．两类曲线积分之间的关系
对坐标的曲线积分可转化为对弧长的曲线积分。

设平面曲线L 的正向是从点A 到点B ，L 上任意一点),(y x 处的切向量t n
的指向与L 的正向一致。

令),(x n t ∠和),(y n t ∠表示切线向量t n
与x 周和与y 周正向的夹角。

则
),(cos ),(sin ),,(cos y n dl x n s dl dy x n dl dx t t t
∠⋅=∠⋅=∠⋅=
从而
dl y n y x Q x n y x P dy y x Q dx y x P t t L
L
)],(cos ),(),(cos ),([),(),(
∠+∠=+⎰⎰
这样，就把对坐标的曲线积分转化为对弧长的曲线积分了。

第三节 格林公式
微积分基本定理——牛顿—莱布尼兹公式建立了定积分与原函数在积分区间端点的函数值之间的联系，而格林公式正好是阐述（确立）了平面闭区域上的二重积分与该沿闭区域边界曲线上的曲线积分之间的关系。

1．闭区域边界曲线的方向
定义 当观察者沿闭区域D 的边界曲线L 的某个方向行走时，区域D 始终在他的左侧，则该方向称为区域D 的边界曲线L 的正方向。

2．格林公式
格林定理 设D 是以分段光滑曲线L 为边界的平面有界闭区域，函
数),(y x P 、),(y x Q 在D 上具有一阶连续的偏导数，则
⎰⎰⎰
+=∂∂-∂∂L D
Qdy Pdx d y
P
x Q σ)(
其中曲线积分是按沿L 正向计算的，该公式称为格林公式。

证明 只证明假定穿过区域D 内部且平行于坐标轴的直线与D 的边界曲线的交点不超过两个。

⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂b a b a x x D dx x x P x x P dx dy y P d y P
))](,())(,([][12)()(21ψψσψψ
由曲线积分得
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰-=+=+=b
a
a
b
b a
BCA
AEB L
dx
x x P x x P dx
x x P x x P dx y x P dx y x P Pdx ))](,())(,([))](,())(,([)()(1221ψψψψ弧弧，，
所以
⎰⎰⎰
=∂∂-L
D Pdx d y P
σ 同理可证
⎰⎰⎰=∂∂L D Qdy d x Q
σ
因此
⎰⎰⎰
+=∂∂-∂∂L D
Qdy Pdx d y
P
x Q σ)(
如果区域D 不满足以上假设的条件，定理也成立。

3．格林公式应用
可以用曲线积分计算平面图形的面积
令y y x P -=),(，x y x Q =),(，由格林公式得
⎰⎰⎰
+-=+L
D
xdy ydx d σ)11(
则区域D 的面积A 为
⎰⎰⎰-=
=L
D
ydx xdy d A 21
σ 4．训练
例1 求椭圆⎩
⎨
⎧==t b y t
a x sin cos 所围成的面积A
解 ⎰⎰-=-=π
20)c o s (s i n )s i n (c o s
2121t a td b t b td a ydx xdy A L ππ
ab dt t t ab =+=⎰20
22)sin (cos 21 例2 计算
⎰-L
ydx x dy xy
22
，其中L 的正向圆周222R y x =+
解 因为y x y x P 2),(-=，2),(xy y x Q = 所以2x y
P
-=∂∂，2y x Q =∂∂ 由格林公式得
420
322222
)(R dR R d d y x ydx x dy xy R
D
L
π
θσπ
=
=+=-⎰⎰⎰⎰⎰
例3 计算曲线积分
⎰
-+-AnO
x x dy m y e dx my y e 弧)cos ()sin (
其中弧AnO 为由点)0,(a A 到)0,0(O 的上半圆周)0(22>=+a ax y x
解 添加有向线段OA ，则弧AnO 与有向线段OA 构成一条正向的封闭曲线L ，围成区域D 因为my y e y x P x -=sin ),(，m y e y x Q x -=cos ),( 所以
m y
P
x Q =∂∂-∂∂ 由格林公式得
8)cos ()sin (2
a m md dy m y e dx my y e d L x
x
πσ==-+-⎰⎰⎰
而
8
008)cos ()sin ()cos ()sin ()cos ()sin (2
02a m dx a m dy m y e dx m y y e dy m y e dx m y y e
dy
m y e dx m y y e a OA
x x L
x x
AnO
x x ππ=
+-=-+---+-=-+-⎰⎰⎰⎰弧
第四节 平面上曲线积分与路径无关的条件
1．曲线积分与路径无关的概念
定义 区域D 是一个开区域，如果对D 内任意指定的两点A 与B ，以及D 内从点A 到点B 的任意两条不相同的分段光滑曲线1L 、2L ，等式
dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L L ),(),(),(),(2
1
+=+⎰⎰
恒成立，则称曲线积分
dy y x Q dx y x P L
),(),(+⎰
在D 内与路径无关。

此时，可将曲线积分记为
⎰
+B
A
dy y x Q dx y x P ),(),(
2．单连通域
定义 如果对D 内任意一条简单闭曲线所围成的区域完全属于D ，则D 称为单连通域。

解释 单连通域就是没有空洞的区域，若有空洞或仅挖去一个点，都不是单连通域。

3．曲线积分与路径无关的条件
定理1 在区域D 中，曲线积分Qdy Pdx L
+⎰
与路径无关的充分必要条件是对D 内任意一条
闭曲线C ，有
0=+⎰Qdy Pdx C
证明 ”
设AnBmA 是D 内任意一条闭曲线，因为曲线积分Qdy Pdx L
+⎰
在D 内与路径无关，所以
Qdy Pdx Qdy Pdx AmB
AnB
+=+⎰⎰
从而
0=+-+=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰
Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx AmB
AnB
BmA
AnB
AnBmA
“”
设A 、B 是D 内任意两点，AnB 与AmB 是D 内任意两条路径。

因为对D 内任意一条闭曲线C ，恒有0=+⎰
Qdy Pdx C
，所以由题设有
0=+⎰Qdy Pdx C
因此
Qdy Pdx Qdy Pdx AmB
AnB
+=+⎰⎰
故曲线积分Qdy Pdx L
+⎰
与路径无关。

定理2 设函数),(y x P 、),(y x Q 在单连通域D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分Qdy
Pdx L
+⎰与路径无关的充分必要条件是
y
P x Q ∂∂=∂∂
证明（只证充分性，必要性证明略）
由于y P x Q ∂∂=
∂∂，D y x ∈),(，所以对D 内任意一条正向封闭曲线1L 及其围成的区域1D ，因为D 是单连通域，所以D D ⊂1，由格林公式有
0)(
1
1
=∂∂-∂∂=
+⎰⎰
⎰D L d y
P
x Q Qdy Pdx σ 由定理1知，曲线积分Qdy Pdx L
+⎰
在D 内与路径无关。

注 如果知道某曲线积分与路径无关，则在遇到该曲线积分沿某一条路径不易积分时，就可改换一条容易积分的路径。

4．训练
例1 计算dy y y x dx xe y x I L x )sin 3
1
()3(33-++=⎰，其中L 是摆线t t x sin -=，t
y cos 1-=从点)0,2(πA 到点)0,0(O 的一段弧。

解 由于x xe y x y x P 3),(3+=，y y x y x Q sin 3
1),(3
-=
， 有 y
P
x x Q ∂∂=
=∂∂2 由L 和线段AO 围成区域是单连通域，且),(y x P 、),(y x Q 在该域内有连续的一阶偏导数，所以积分I 与路径无关。

用路径L 计算I 比较复杂和困难，因此可选用路径AO 线段计算之。

dy y y x dx xe y x dy y y x dx xe y x I AO x L x )sin 3
1
()3()sin 31()3(3333-++=-++=⎰⎰
3)21(3320
2--==⎰πππ
e dx xe x
例2 计算⎰
+-L y x ydx
xdy 2
2，其中L 是由点),(ππ--A 到点),(ππ-B 经曲线x y cos π=的一段弧。

解 由于22),(y x y y x P +-=
，2
2),(y
x x
y x Q +=， 有
y
P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(
如果不换路径计算非常困难，因此考虑换一条路径。

若经点),(ππ--A 到点),(ππ-B 的直线段，此时与L 所围成区域不是单连通域（不包括原点），而),(y x P 、),(y x Q 在原点处偏导数不存在，则此路径不满足积分与路径无关的条件。

选用以原点为圆心，π2为半径经点),(ππ--A 到点),(ππ-B 的一段圆周1L ，此时与L 所围成区域是单连通域，且),(y x P 、),(y x Q 在该域内有连续的一阶偏导数，所以积分与路径无关。

1L 的参数方程为
⎪⎩⎪⎨⎧==t
y t x sin 2cos 2ππ
则
2344
522221ππ
π-==+-=+-⎰⎰⎰dt y x ydx xdy y x ydx xdy L L 5．换积分路径的步骤
（1）计算
x Q ∂∂与y P ∂∂是否相等。

若y
P
x Q ∂∂=∂∂即可进行下一步，否则积分与路径有关。

（2）所选路径与原路径同起、同终点，且与原路径所围成区域是单连通域，使得),(y x P 、
),(y x Q 在该域内有连续的一阶偏导数。

第五节 曲面积分
一．对面积的曲面积分的概念 1．概念的引入
若均匀曲面片，曲面的面密度是常数μ，而面积S ，则曲面片的质量为
S M μ=
若曲面片非均匀，即曲面的面密度是点),,(z y x 的函数),,(z y x μ，则曲面片的质量，的计算
类似于求非均匀线质量的方法，将曲面S 任意分割成n 个小曲面i S ∆ ),,2,1(n i =，i S ∆也表示面积，在i S ∆上任取一点),,(i i i ςηξ，得
∑=n
i i
i
i
i
S
f 1
),,(∆ςηξ
则
∑=→=n
i i i i i S f M 1
),,(lim ∆ςηξλ
2．定义
定义 设函数),,(z y x f 在曲面∑上有定义，将曲面∑任意分割成n 块子曲面，记为i S ∆
),,2,1(n i =，i S ∆也表示第i 块子曲面面积，在每块子曲面i S ∆上任取一点),,(i i i ςηξ，作和式
∑=n
i i
i
i
i
S
f 1
),,(∆ςηξ
如果当子曲面的最大直径λ趋于零时，和式的极限存在，则称此极限值为函数),,(z y x f 在曲面∑上对面积的曲面积分，也称为第一类曲面积分。

记作
⎰⎰∑
dS
z y x f ),,(∑=→=n
i i i i i S f 1
),,(lim ∆ςηξλ
其中),,(z y x f 称为被积函数，dS z y x f ),,(称为被积表达式，dS 称为曲面的面积元素，∑称为
积分曲面。

i S ∆是∑的任意分割下第i 块的面积（0>∆i S ，）}{m
a x 1的直径i n
i S ∆=≤≤λ。

如果曲面是封闭的，则曲面积分记为
⎰⎰∑
dS z y x f ),,(
3．曲面积分的存在性
定理 如果函数),,(z y x f 在曲面∑上连续，则⎰⎰∑
dS z y x f ),,(一定存在。

4．性质
有类似于对弧长曲线积分的性质
5．计算
对面积的曲面积分可化为二重积分来计算（在一定条件下）
若曲面∑由),(y x z z =给出（z 为单值函数），∑在xOy 面上的投影区域为xy D ，),(y x z z =在区域xy D 上具有一阶连续的偏导数，函数),,(z y x f 在曲面∑上连续，则
dxdy z z y x z y x f dS z y x f xy
D y x ⎰⎰⎰⎰++=∑
2
21)]
,(,,[),,(
注意
（1）),,(z y x f 定义在曲面),(y x z z =上，把z 换成),(y x z
（2）曲面的面积元素dxdy z z d z z dS y x y x 2
22211++=++=σ，其中σd 是dS 在xOy 面
上的投影区域的面积。

例 计算曲面积分
⎰⎰+∑
dS y
x )(2
，其中∑为球面1222=++z y x
解 球面为2
21y x z --=与221y x z ---=，上球面记为1∑，下球面记为2∑，1∑和
2∑在xOy 面上的投影区域为xy D ：122≤+y x 。

则
⎰⎰⎰⎰----+=+xy
D d y
x y x x dS y x σ2
2
2
22211])1([)(1
∑
⎰⎰⎰⎰-----+=+xy
D d y
x y x x dS y x σ2
2
222211])1([)(2
∑
所以
3
4)11cos (
2)11(2)(20
21
2
2
222
22
πθθπ
=
-+-=--+--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r r r r d dxdy y x y x x dS y x xy D ∑
二．对指坐标的曲面积分的概念
2．两类曲面积分的计算法
（1）dxdy y x z y x f dxdy z y x R xy
D ⎰⎰⎰⎰±=∑)],(,,[),,(（正负号由∑的侧向确定）
，若曲面∑由),(),,(z x y z y x x ==给出，也有相应的公式。

（2）若曲面∑∈⎪⎩
⎪⎨⎧===),(),(),(),(v u v u z z v u y y v u x x S 。

设曲面无重点，同时函数为),(),,(),,(v u z z v u y y v u x x ===均在∑上具有对u 和v 的连续导数，并且Jacobi 矩阵在∑上的秩为2，可得 dudv F EG v u z v u y v u x f dS z y x f S ⎰⎰⎰⎰∑
-=2)],(),,(),,([),,( 这里 222222v v v v
u v u v u u u u z y x G z z y y x x F z y x E ++=++=++= dudv C v u z v u y v u x f dxdy z y x f D S
⎰⎰⎰⎰±=)],(),,(),,([),,( 其中D 为uv 平面上v u ,的变化区域，u v v u y x y x C -=，正负号对应S 的两个侧。