陕西省渭南市2022届高三教学质量检测(一)理科数学试题 附答案
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A. B. C. D.
【答案】C
6.已知等边 的边长为3，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
7.2021年12月，面对严峻复杂的疫情防控形势，西安市的大学生迅速聚起磅礴的青春之力，投身于疫情防控各个岗位，提供秩序维护、信息填报、问询指引、物资转运等志愿服务．按照学校防疫办公室的安排，现从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加志愿者服务，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）
A.40种B.60种C.100种D.120种
【答案】B
8.把一根长为1米的绳子随机地剪为三段，则这三段可构成一个三角形的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
9.已知曲线 的方程为 ，下列说法错误的是（）
A.“ ”是“曲线 为焦点在 轴上 椭圆”的必要不充分条件
B.当 时，曲线 是半径为2的圆
C.当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
（1）求抛物线 在点 处的切线的方程（结果不含 ）；
（2）求抛物线 在点 处 法线被抛物线 截得的弦长 的最小值，并求此时点 的坐标．
【答案】（1）
（2） ；
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.在平面直角坐标系 中，直线 过定点 且倾斜角为 ．以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（一）必考题：共60分．
17.在①数列 是各项均为正数的递增数列， ， 且 ， ， 成等差数列；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
问题：设数列 的前 项和为 ，________________．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数 （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，求 ；
（3）为了进一步了解年轻人 阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 ， ， 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 的人数 的分布列和数学期望．
渭南市2022年高三教学质量检测（Ⅰ）
数学试题（理科）
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上．
3．将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
③设 ， 为非零向量，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的充要条件；
④命题“函数 仅有一个零点”的逆否命题是真命题．
【答案】①④
16.已知 ， ，点 是线段 （包括端点）上的动点，则 的取值范围是________．
【答案】[1，2]
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）已知直线 交曲线 于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角 的大小．
【答案】（1）
（2） 或
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23.已知函数 ．
（1）当 ， 时，解不等式 ；
（2）若 最小值为6，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
A.5B.6C.7D.8
【答案】B
11.如图，在边长为2的正方体 中，点 是该正方体对角线 上的动点，则以下结论不正确的是（）
A. B.直线 与平面 所成角最大值为
C. 面积的最小值是 D.当 时，平面 平面
【答案】C
12.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
D.存在实数 ，使得曲线 为离心率为 的双曲线
【答案】D
10.英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到 （其中e为自然对数的底数， ），其拉格朗日余项是 ．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若 近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项 ， 不超过 时，正整数n的最小值是（）
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
2.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
3.函数 的部分图像大致为（）
A. B. C. D.
【答案】C
4.在 中，若 ， ， ，则 （）
A B.3C.6D.
【答案】B
5.如图，在边长为2的正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，将 ， ， 分别沿 ， ， 折起，使 ， ， 三点重合于点 ，则四面体 的外接球的表面积为（）
附参考数据：若 ，则① ；② ；③ ．
【答案】（1）74；（2） ；（3）分布列见解析；期望为 ．
20.已知函数 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1下：经过平面曲线 上一点 ，且与曲线 在点 处的切线垂直的直线称为曲线 在点 处的法线．设点 为抛物线 上一点．
【答案】（1）
（2）
18.如图，在四棱锥 中， ， ， ， 和 均为边长为 的等边三角形.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
19.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
13.已知复数 （其中 为虚数单位），则 的共轭复数 ________．
【答案】
14.若关于 的方程 在 上有实数根，则实数 的取值范围是________．
【答案】
15.下列说法中，正确命题的序号是________．
①若命题“ ”为真命题，则 ， 恰有一个为真命题；
②命题“ ， ”的否定是“ ， ”；
【答案】C
6.已知等边 的边长为3，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
7.2021年12月，面对严峻复杂的疫情防控形势，西安市的大学生迅速聚起磅礴的青春之力，投身于疫情防控各个岗位，提供秩序维护、信息填报、问询指引、物资转运等志愿服务．按照学校防疫办公室的安排，现从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加志愿者服务，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）
A.40种B.60种C.100种D.120种
【答案】B
8.把一根长为1米的绳子随机地剪为三段，则这三段可构成一个三角形的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
9.已知曲线 的方程为 ，下列说法错误的是（）
A.“ ”是“曲线 为焦点在 轴上 椭圆”的必要不充分条件
B.当 时，曲线 是半径为2的圆
C.当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
（1）求抛物线 在点 处的切线的方程（结果不含 ）；
（2）求抛物线 在点 处 法线被抛物线 截得的弦长 的最小值，并求此时点 的坐标．
【答案】（1）
（2） ；
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.在平面直角坐标系 中，直线 过定点 且倾斜角为 ．以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（一）必考题：共60分．
17.在①数列 是各项均为正数的递增数列， ， 且 ， ， 成等差数列；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
问题：设数列 的前 项和为 ，________________．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数 （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，求 ；
（3）为了进一步了解年轻人 阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 ， ， 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 的人数 的分布列和数学期望．
渭南市2022年高三教学质量检测（Ⅰ）
数学试题（理科）
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上．
3．将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
③设 ， 为非零向量，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的充要条件；
④命题“函数 仅有一个零点”的逆否命题是真命题．
【答案】①④
16.已知 ， ，点 是线段 （包括端点）上的动点，则 的取值范围是________．
【答案】[1，2]
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）已知直线 交曲线 于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角 的大小．
【答案】（1）
（2） 或
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23.已知函数 ．
（1）当 ， 时，解不等式 ；
（2）若 最小值为6，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
A.5B.6C.7D.8
【答案】B
11.如图，在边长为2的正方体 中，点 是该正方体对角线 上的动点，则以下结论不正确的是（）
A. B.直线 与平面 所成角最大值为
C. 面积的最小值是 D.当 时，平面 平面
【答案】C
12.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
D.存在实数 ，使得曲线 为离心率为 的双曲线
【答案】D
10.英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世．由泰勒公式，我们能得到 （其中e为自然对数的底数， ），其拉格朗日余项是 ．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若 近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项 ， 不超过 时，正整数n的最小值是（）
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
2.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
3.函数 的部分图像大致为（）
A. B. C. D.
【答案】C
4.在 中，若 ， ， ，则 （）
A B.3C.6D.
【答案】B
5.如图，在边长为2的正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，将 ， ， 分别沿 ， ， 折起，使 ， ， 三点重合于点 ，则四面体 的外接球的表面积为（）
附参考数据：若 ，则① ；② ；③ ．
【答案】（1）74；（2） ；（3）分布列见解析；期望为 ．
20.已知函数 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1下：经过平面曲线 上一点 ，且与曲线 在点 处的切线垂直的直线称为曲线 在点 处的法线．设点 为抛物线 上一点．
【答案】（1）
（2）
18.如图，在四棱锥 中， ， ， ， 和 均为边长为 的等边三角形.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】(1)见证明；(2)
19.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
13.已知复数 （其中 为虚数单位），则 的共轭复数 ________．
【答案】
14.若关于 的方程 在 上有实数根，则实数 的取值范围是________．
【答案】
15.下列说法中，正确命题的序号是________．
①若命题“ ”为真命题，则 ， 恰有一个为真命题；
②命题“ ， ”的否定是“ ， ”；