人教版高一教学数学必修一至必修四公式

适用标准文档
初高中连接：
和平方：a2b2(a b)(a b)和、差平方：(a b)2a22ab b2
立方和、立方差：a3b3(a b)(a2abb2)和、差立方：(ab)3a3b33a2b3ab2 (a b c)2a2b2c22ab2bc2ac;(a b c)2a2b2c22ab2bc2ac
(a b c)2a2b2c22ab2bc2ac;(a b c)2a2b2c22ab2bc2ac
x1x2b
x1和x2为
ax 2
bxc0的两根，那么
a
韦达定理：设c
x1x2
a
必修一：
（1）元素与会合的关系：属于（）和不属于（）
（2）会合中元素的特征：确立性、互异性、无序性
会合与元素
（3）会合的分类：按会合中元素的个数多少分为：有限集、无穷集、空集
（4）会合的表示方法：列举法、描绘法（自然语言描绘、特点性质描绘）、图示法、区间法
子集：若x A x B，则A B，即A是B的子集。

1、若会合A中有n个元素，则会合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。

关系注2、任何一个会合是它自己的子集，
即A A
C.
3、对于会合A,B,C,
假如A
B，且
B
C,那么
A
4、空集是任何会合的（真）子集。

会合
真子
集：若且
（即起码存
在但），则是的真子集。

ABAB x0Bx0A AB
会合相等：
A B且A
B A B
会合与会合
定义：
A B x/x
A且
x B
交集
A A，A
，
A B B A，A B A,A B B，A B A B A
性质：
A
定义：
A B x/x
A或
x B
并集
A A，A
A，
A B B A，A B
A，
A B B，A B A B B
运
算
性质：
A
Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)
定义：CA x/x
U且
x A A
U
补集性质：，，，，
(CUA)A(CUA)AU CU(CUA)ACU(AB)(CUA)(CUB)
C U(A B) (C U A) (C U B)
恒建立问
题：
ax2bxc0(a0)在R上恒建立的条件a0且△0;ax2bxc0(a0)在R上建立的条件为a0且△0指数函数：
n
当n为奇数时：n a n a；当n为偶数时：n a n a
，
0；
a m m a n
（a0，m、n N*，且m1) aa n1
a，a0a m n
a m
r a s a rs(a，、；r s a r(a，、；r a r r(a，；Q)
s
a0r sQ)(a)0r sQ)(ab)b0b0r
对勾函数单一区间公式：对勾函数基本形
式：y x
p
，在(
,0
)
(0
,)上
单一递加：(,p)(p,)
x
单一递减：，）（，
(p00p)
文案大全
适用标准文档
对数函数:
log a a1
,
log a b?log b a
1 ,
log a 1 0 ,
1
(a 、b
0且a 、b
1), log b
d log a
d log b log a b
c
c
log b a
a
b
a
a
log a
N
N(N 、a 0且a1),
c
log
b a
c
d
d
log a (M?N)log a Mlog a N
a ≠1)lnxlog e x(x0),
lnelog e e1
log a M
log a M log a N
(a
、 M 、
N>0, 且
N
log a m n nlog a m
(a 、b 、m
0，n
R,且a
1), log a b
log c b
(a 、b 、c
0,且a 、c 1)(换底公式)
log a m b
n
n
log a b
log c a
m
函数图像（一定熟）
表1 指数函数
y
a x
a0,a1
定义域
x R 值域
y
0,
图象
对数数函数ylog a
xa0,a1
x0,
y
R
过定点(0,1)
过定点(1,0)
减函数
增函数
减函数
增函数
x (
,0)时，y (1,)x
(
,0)时，y (0,1)
时，
y (0, )
x 时，
y (
,0)
时，
x
(0,1)
(0,1) x (0,
时，
(0,1)
x (0,
)
y (1,)
时，
时，
)y
x (1, ( ,0) x (1,
y
(0,)
)y
) 性质
ab
ab
ab
ab
表2
幂函数yx(R)
文案大全
适用标准文档
p
1
1
1
q
p 为奇数 奇函数
q 为奇数
p 为奇数 q 为偶数
为偶数
p
偶函数
为奇数
q
第一象限性
减函数
增函数
过定点
质
（01，）
判断奇偶函数：若
f(x)f( x)则为偶函数，若 f( x) f(x)则为奇函数（奇函数f(0) 0）
判断单一函数：○1在定义域内设x 1 x 2,化简f(x 1) f(x 2),若f(x 1) f(x 2) 0即f(x 1) f(x 2)则以为该函数在
其定义域内单一递减，若
f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ( x 1)
f ( x 2 )
则以为该函数在其定义域内单一递加。

○ 2
若在定义域内
即f
设
x 1
x 2，化简 f(x 1) f(x 2), 若f(x 1)f(x 2) 0即f(x 1)
f(x 2)则以为该函数在其定义域内单一递加，若
f(x 1)f(x 2) 0即f(x 1) f(x 2)则以为该函数在其定义域内单一递减。

（详细状况详细定）
函数的周期：若 f(x
T)
f(x)，则T 为函数周期。

必修二：
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与
x 轴平行或重合时,我们规定它的倾
斜角为0度。

所以，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用
k 表示。

即ktan 。

斜
率反应直线与轴的倾斜程度。

当
0,90时，k 0；
当
90,180 时，k 0； 当
90时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：
k
y 2
y 1
(x 1 x 2)
x 2 x 1
注意下边四点： (1)当x 1
x 2 时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；
(4) k 与P 1、P 2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。

文案大全
适用标准文档
（3）直线方程
①点斜式：y
y
k(xx
)直线斜率k ，且过点
x 1,y 1
1
1
注意：当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是
y =y 1。

当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，
它的方程不可以用点斜式表
示．
但因l 上每一点的横坐标都等于
x 1，
所以它的方程是 x =x 1。

②斜截式： y
kx b ，直线斜率为 k ，直线在y 轴上的截距为
b
③两点式： y y 1
x
x 1
（x 1 x 2,y 1y 2）直线两点x 1,y 1
，x 2,y 2
y 2 y 1
x 2 x 1
④截矩式：
x
y 1
a
b
此中直线l 与x 轴交于点(a,0),与y 轴交于点(0,b),即l 与x 轴、y 轴的截距分别为a,b 。

⑤一般式： AxByC
AB
不全为0）
（，
注意：○1各式的合用范围
○2特别的方程如：
平行于x
轴的直线：y b （b
为常数）；
平行于y 轴的直线：x a （a 为常数）；
5）直线系方程：即拥有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线 A 0x B 0y C 0 0（A 0,B 0是不全为
0的常数）的直线系：
A 0x
B 0yC0（
C 为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k 的直线系：y y 0 kx
x 0 ，直线过定点 x 0,y 0；
（ⅱ）过两条直线
l 1:A 1xB 1y
C 1
0，l 2:A 2x
B 2y
C 2 0的交点的直线系方程为
A 1x
B 1y
C 1
A 2x
B 2y
C 2
0（ 为参数），此中直线l 2不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直
当l 1:yk 1x
b 1，l 2:yk 2x
b 2时，
l 1//l 2 k 1 k 2,b 1
b 2；l 1
l 2
k 1k 2
1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点
l 1:A 1xB 1yC 1
0l 2:A 2xB 2y
C 2 0订交
交点坐标即方程组
A 1x
B 1y
C 1
的一组解。

A 2x
B 2y
C 2 0
方程组无解
l 1//l 2 ；
方程组有无数解
l 1与l 2 重合
（8）两点间距离公式：
设A(x 1,y 1)，（Bx 2,y 2）是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|
(x 2 x 1)2
(y 2
y 1)2
（9）点到直线距离公式：
一点Px 0,y 0
到直线l 1:Ax
By C
0的距离d
Ax 0By 0
C
2
2
A
B
（10）两平行直线距离公式
○在任向来线上任取一点，再转变为点到直线的距离进行求解。

1
2
Ax By C 1
0,l 2
Ax
ByC 2;则两点间的距离为d
C 1 C 2 (A 、B 都相等）
○设直线l 1
A 2
B 2
二、圆的方程
1、圆的定义： 平面内到必定点的距离等于定长的点的会合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程 （1）标准方程 x a 2
y
b 2 r 2，圆心 a,b ，半径为r ；
（2）一般方程x 2
y 2 Dx Ey
F0
当D 2
E
2
4F 0时，方程表示圆，此时圆心为
D , E
，半径为r
1 D
2 E 2 4F
2
2
2
文案大全
适用标准文档
当D 2 E 2 4F 0时，表示一个点； 当D 2 E 2 4F 0时，方程不表示任何图形。

3）求圆方程的方法：
一般都采纳待定系数法：先设后求。

确立一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ；
此外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确立圆心的地点。

3、直线与圆的地点关系：
直线与圆的地点关系有相离，相切，订交三种状况，基本上由以下两种方法判断：
（1）设直线l:Ax
By C
0，圆C:xa
2
yb
2
l
的距离为d
AaBb
C
，则有
r 2
，圆心Ca,b 到
2
2
drl 与C 相离；d
A
B
r
l 与C 相切；dr
l 与C 订交
（2）设直线l:Ax
By C
0，圆C:xa 2
y b 2
r 2，先将方程联立消元，获得一个一元二次方程以后，令
此中的鉴别式为
，则有
0 l 与C 相离； 0 l 与C 相切；0
l 与C 订交
注：假如圆心的地点在原点，可使用公式
xx 0 yy
0 r 2 去解直线与圆相切的问题，此中x 0,y 0 表示切点坐标，r
表示半径。

过圆上一点的切线方程：
①圆x 2 y 2 r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为 xx 0yy 0r 2 (课本命题)．
②圆(x-a)
2
2
2
，y )，则过此点的切线方程为(x-a)(x-a)+(y
-b)(y-b)=r
2
+(y-b)
=r
，圆上一点为(x
0(课本命题的推行)．
4、圆与圆的地点关系：经过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确立。

设圆C 1:xa 1 2
2 yb 2
R 2
yb 1r 2
，C 2:xa 2 2 2
两圆的地点关系常经过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d ）之间的大小比较来确立。

时两圆外离，此时有公切线四条；
当dRr 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当R r dRr 时两圆订交，连心线垂直均分公共弦，有两条外公切线； 当d R r 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当d
R r 时，两圆内含；
当d
0时，为齐心圆。

（ 5、柱体、锥体、台体的表面积与体积
1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

2）特别几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，
h '
为斜高，l 为母线）
S 直棱柱侧面积
ch
S
圆柱
侧
2rh
S
正棱锥侧面积
1
ch'
S
圆锥侧面积
r l
1
2 S
正棱台侧面积
(c 1 c 2)h'
S 圆台侧面积
(r
R) l
2
r 2 rlRlR 2
S
圆柱表
2
r r l
S
圆锥
表
r r l
S
圆台
表
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
柱
Sh
V
圆
柱
Sh
r 2h
V 锥 1
V
圆
锥
1
2
h
V
Sh
r
1(S ' 3
1
3
V 台 1(S ' S '
SS)h
V
圆台
S 'SS)h
(r 2 rRR 2)h
3
3
3
（4）球体的表面积和体积公式：
V 球=4
R 3 ；S 球面=4
R 2
3
（5）对于平面的公义：
公义1：假如一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是全部的点都在这个平面内。

公义2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公义3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线公义3的作用：
①它是判断两个平面订交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它能够判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依照。

文案大全
适用标准文档
公义4：平行于同一条直线的两条直线相互平行
（6）空间直线与直线之间的地点关系
①异面直线定义： 不一样在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质 ：既不平行，又不订交。

③异面直线判断： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内可是该店的直线是异面直线
④异面直线所成角 ：直线a 、b 是异面直线，经过空间随意一点 O ，分别引直线 a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线 a ’和b ’
所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和b 所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（ 0°，90°]，若两条异面直线
所成的角是直角，我们就说这 两条异面直线相互垂直。

说明：（1）判断空间直线是异面直线方法：①依据异面直线的定义；②异面直线的判断定理
（2）在异面直线所成角定义中，空间一点 O 是任取的，而和点 O 的地点没关。

②求异面直线所成角步骤：
A 、利用定义结构角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特别的地点，极点选在特别的地点上。

B 、
证明作出的角即为所求角 C 、利用三角形来求角
7）等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

8）平面与平面平行的判断及其性质
两个平面平行的判断定理
○1假如一个平面内的两条订交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （线面平行→面面平行） ，
○
2假如在两个平面内，各有两组订交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行） ，
○3
垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理
1
（面面平行→线面平行）
○假如两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

2
（面面平行→线线平行） ○假如两个平行平面都和第三个平面订交，那么它们的交线平行。

9）垂直关系的判断和性质定理①线面垂直判断定理和性质定理
判断定理：假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判断定理和性质定理
判断定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

性质定理：假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

（10）空间两点距离坐标公式：
d
(x 2
x 1)2
(y 2
y 1)2 (z 2
z 1)2
必修三：
秦九韶算法：a n x
n
a n1x
n1
... a 1 a n x
a
n1
x
a
n2
x...xa 2xa 1
回归直线方程：
必修四：
正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、随意角
负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角
2、角
的极点与原点重合 ,角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
为第几象限角．
第一象限角的会合为 k360o
k360o
90o ,k
第二象限角的会合为
k360o
90o k360o
180o ,k
文案大全
适用标准文档
第三象限角的会合为 k 360o 180
o
k360
o
270o
,k
第四象限角的会合为
k 360o 270o
k360o
360o ,k
终边在x 轴上的角的会合为
k180o ,k
终边在y 轴上的角的会合为
k180
o
90o
,k
终边在座标轴上的角的会合为
k90o ,k
3、与角
终边同样的角的会合为
k 360o
,k
4、对于扇形的计算公式：
l
πR
2
R ；S
πR 2
1 R
2
1
Rl
π?2
π?
2
2
2
2
l ——弧长α——圆心角（弧度制
R ——扇形半径S ——面积
o
弧度制与角度制的换算公式：
2 360o ，1
o
180
，1
180
o
si n
y x
;tan y
(x0)（x 为该点到y 轴的距离，y 为该点到x 轴的距离r
;cos r
x
r
象限
一
二
三
四 α0
ππππ 2π3π
6 4
3 2
3
4
sin α
+
+
-
-
sin 0 1 2
3 1
3 2
α
2
2
2
2
2
cos α
+
-
-
+ cos 1
3
2 1
1 2
α
-
2
2
2
2 -
2
tan α
+
-
+
-
tan 0
3 1
3
-
3
-1
α
3
si n
2
2
1；sin
cos tan sin
tan ；cos
1 si
n
2
；sin 1 co s
2
；cos
cos
；
cos
引诱公式：(kZ )
sin(
k?2
) sin ；sin(
)
sin ；sin(
)
sin ；sin(
)cos
；sin(
2
2
cos(
k?2
) cos ；
cos(
)
cos ；cos(
)
cos ；cos(
)
sin ；cos(
2
2
x 2 y 2 ）
5π
π
2
6
3π π
2
1
-1
2
-1 0 1
3
-
2
3 0
-
3
sin ；1tan 2
1 tan
cos 2
)
cos ；sin(
）
sin
) sin ；cos( )
cos
tan( k?2) tan ；tan( ) tan ；tan( ) tan ；tan( ) tan
文案大全
适用标准文档
函数形式周期对称中心对称轴方程
函数形式周期对称中心对称轴方程
y Asin( x)2(k，0）使(x) k
求出的x即
为对称中心
的横坐标
函数形式单一递加区间k
x
k
使
2
(x
)
=
求
2
出的x即为
对称轴的横
坐标
yAcos(x)2(k，0）x k使
2(x)=
使k求出的
(x)k x即为对称
轴的横坐标
2
求出的x即
为对称中心
的横坐标
单一递减区间奇偶性
奇
ysinx
，2k(kZ)
2k
22 y cosx
2k，2k(kZ) y tanx
k，k(kZ)
22
（注：以上两个表格中的k皆属于Z）
和差公式：2k，2k3Z)
(k
22
2k，2k2(k
偶
Z)
无单一递减区间奇
cos()cos cos sinsin；sin()sin cos cos sin；tan()tan tan 1tan tan
1ta
n tan()asin bcos a2b2(a
si
n b cos)（协助角公式）
1tan4a2b2a2b2全能公式：（不考，也不常用，作为认识）
2tan1tan22tan
si
n2；cos 2
；tan2；asin bcos a2b2sin()
1tan21tan21tan2
222半角倍角公式：
倍角：
sin22sincos；tan2
2tan cos2
cos
2sin2(cos sin)(cos sin) 1
ta
n2
；
cos22cos2112sin2；1sin2sin2cos22sin cos(sin cos)2
1cos
22cos2；1cos22sin2
；
sin
?co
s
1
sin2；cos21cos2；sin21cos2
222
文案大全
半角：sin
1cos ；cos
1cos ；tan
2
1 cos
1cos sin 2
2 2
2
1 cos
sin
1cos
1cos2cos 2
；1cos 2sin 2
；1sin (sin
cos)2
y
2
2
2
2
T
积化和差公式：（高一不要求掌握）
P
sin cos
1 sin( ) sin(
)；cos sin
1 sin(
) sin(
)
2
2
cos cos
1
cos(
) cos(
)；sin sin
1 cos( ) coa(
)
2
2
和差化积公式：（高一不要求掌握）
O M
Ax
sin
sin
2sin
cos
；sin sin
2cos
sin
( 三角函数线配图)
2
2
2
2
cos
cos 2cos
sin ；cos cos
2sin
si n
2
2
2
2
三角函数线：sin
，cos
，tan
三角函数图像（需记牢）
函
性质
数
y
sinx y
cosx y
tanx
图象
定义域
R
R
xx k ,k
2
值域
1,1
1,1
R
当x 2k
k 时，
当x
2kk
时，
2
最值
y
max
1；当x
2k
y
max
1；当x
2k
既无最大值也无最小值
2
k
时，y min
1．
k
时，y min
1．
周期性
2
2
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
在2k
,2k 2
在2k
,2k
k
上是
2
,k
在k
2
单一性
k
上是增函数；在 增函数；在
2k ,2k
2
3
k
上是减函数．k
上是增函数．
2k
,2k
2
2
文案大全
k
上是减函数．
对称中心
k,0
k
对称中心 k
,0k
对称性
k
k
2
对称轴x
2
对称轴x
k k
向量：
k
对称中心
,0 k
2
无对称轴
加法运算：AB BC
AC （在三角形中可看懂；AB AD
AC （在平行四边形中可看 懂）
三角形不等式：
r r r r r r
a b
a b a
b ．
r r
r r
r r r r r r r r r r r
①互换律：a b
b a ；②联合律：
a b
c a b c ；③a 0 0 a a ．
r x 1,y 1
r x 2,y 2
r r
x 1 x 2,y 1
y 2
坐标运算：设
a
，b ，则a b
向量减法运算： AC AB BC(在三角形中可看懂）
r
x 1,y 1
r x 2,y 2
r r x 1
x 2,y 1 y 2
坐标运算：设 a
，b ，则a b
．
设 、两点的坐标分别为
x 1,y 1 ，x 2,y 2，则 uuu r
x 1 x 2,y 1
y 2
向量数乘运算：①
r r
a
a ；
②当
0时， r r
r
r
的方向相反；当
0 时，
r r
a 的方向与a 的方向同样；当 0时，a 的方向与a a 0．
⑵运算律：① r r r r r ；③
r r r r
a a ；② a a a a
b a
b ．
⑶坐标运算：设 r x,y ，则 r
x,y x, y
．
a
a
x 1,y 1，x 2,y 2
uuu
r
uuur
分点坐标公式：设点 是线段
1 2
上的一点，
1、
2的坐标分别是 ，当
1 2时，点
的坐
标是 x 1
x 2,y
1
y 2
1
1
平面向量的数目积：⑴
r r r r r r r r o 180 o
．零向量与任一直量的数目积为
0．
a b abcos a 0,b 0,0
⑵性质：设 r r
r r r r r r
r r r r r r
a 和
b 都是非零向量，则① a b
a b 0．②当a 与b 同向时，a b
ab ；当a 与b 反向时，
r
r
r r rr r 2 r 2
r rr r r r r
ab
ab ；aa a a 或a aa ．③abab ．
r r r r r r r
r
r r
r r r rr r r
⑶运算律：①ab ba ；② a b
ab
a
b ；③
a b c a c b c ．
r x 1,y 1
r
x 2,y 2
r r
x 1x 2 y 1y 2
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a ，
b ，则a b
文案大全
适用标准文档
r
x,y r2
x
22
r
x
2
y
2
．
若a，则a y，或a
r
x1,y1r
x2,y2
r r
xxyy0．
设a，b，则ab
2
121
r
x1,y1r
x2,y2，则a∥b x1y2x2y10
设a，b
r r r r r r r
r
x1x2y1y2
x1,y1x2,y2ab
设a、b都是非零向量，a，b，是a与b的夹角，则cos r r2222．
ab x1y1x2y2
空间几何：
正四周体对棱垂直，若设正四周体棱长为a，其外接球半径为
6
a，其内接球半径为
6
a，其棱切球半径为
2
a。

4124
重心：各边中线的交点。

垂心：各边垂线的交点
A D
c
l
B C
AC2BD22(AB2AD2)b
a
l a2b2c2 A
c
b1
absinC 1
bcsinA
1
acsinB
S
B
a
C222文案大全。