用三垂线法求二面角的方法

用三垂线法求二面角的方法
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB
证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α
∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.
三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。

求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。

运用三垂线法求二面角的一般步骠：
①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。

. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。

③求： 二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。

1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==
，AD =①求二面角
C AB
D --的大小；②求二面角B CD A --的大小；
1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥
∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4
π ∴二面角C AB D --的大小为
4
π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥
∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥
∴BD =
=∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥
∴1AB =
=在Rt ABC ∆中，tan 1AB
ACB BC
∠=
=， ∴二面角B CD A --的大小为
4
π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线
AB 、斜线AC 及
其射影BC,。

从而得到二面角的平面角为ACB ∠。

A
B
D
C
2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E
为VB 的中点．
求二面角A —VB —D 的余弦值．
2 解:取AB 的中点P,连结VP 、DE ，则由题意可知VP ⊥平面ABCD ，∴DA ⊥VP
又 ∵AD ⊥AB ∴AD ⊥平面VAB ∵VAB ∆是正三角形，E 为VB 的中点，∴AE ⊥VB ， ∴由三垂线定理得VB ⊥DE. 所以AED ∠就是所求二面角的平面角. 由已知得3∴7∴21
AE COS AED ED ∠=
=故二面角A —VB —D 的余弦值为
21
7
． 方法点拨：本题的关键是过二面角的一个平面VBD 上一点D 到二面角的另一个平面AVB 的垂线D
则斜线为DE,其射影为AE 从而得到二面角的平面角为AED ∠。

,。

.
3．一个三棱锥S ABC -的三视图、直观图如图．求二面角S AB C --的正切值．
3 解：由正视图、俯视图知4AC =；
由正视图、侧视图知，点B 在平面SAC 上的正投影为AC 的中点D ，则3BD =， BD ⊥平面SAC ，BD AC ⊥；
由俯视图、侧视图知，点S 在平面ABC 上的正投影为DC 的中点O ， 则2SO =，SO ⊥平面ABC ，SO AC ⊥．如图．
作CH AB ⊥于H ，作//OE CH 交AB 于E ，则OE AB ⊥，
连接SE ，因OE 是SE 在底面ABC 内的射影，而OE AB ⊥，故由
V E A
D B C 2 2 2
俯视图
三垂线定理得SE AB ⊥，∴SEO ∠为二面角S AB C --的平面角． △ABC 中，易求得13BA BC ==， 由△ABO 的面积相等关系：11
22
AO BD AB OE ⨯⨯=⨯⨯， 得9
13
AO BD OE AB ⨯=
=，
Rt SEO ∆中，213tan 9SO SEO OE ∠=
=，故二面角S AB C --的正切值为213
9
. 方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面SAB 上一点S 作二面角的另一个平面ABC 的垂线SO,
再过垂足O 作二面角的棱AB 的垂线,从而得到斜线SE 及其射影OE,从而得到二面角的平面角为SEO ∠。

4．如图，ABC ∆是以ABC ∠为直角的三角形，SA ⊥平面ABC ， SA=BC=2，AB= 4. N 、D 分别是AB 、BC 的中点。

求二面角S —N D —A 的正切值．
4. 解： 过A 作AF ⊥ DN 且与DN 的延长线相交于点F ，连接SF ∵SA ⊥平面ABC ∴由三垂线定理得DF SF ⊥ ∴SFA ∠就是二面角S —ND —A 的平面角， 在Rt BDN ∆中,225DN BD BN =
+=
在Rt AFN ∆中，1
5
AF BD Sin ANF Sin BND AN ND ∠=
=∠== ∴ 1255
AF AN =
= ∴ tan 5SA
SFA AF ∠==
故二面角S —ND —A 的正切值为5．
方法点拨：本题的关键是找到从二面角的一个平面SND 上一点S 到二面角的另一个平面AND 的垂线
AF,过垂足A 作二面角的棱DN 的垂线AF,从而得到斜线AF 及其射影AF, 从而得到二面角的平面角为
SFA ∠。

5.如图所示，圆柱底面的直径AB 长度为22，O 为底面圆心， 正三角形ABP 的一个顶点P 在上底面的圆周上，PC 为圆柱的母线， CO 的延长线交O 于点E ，BP 的中点为F . 求二面角F CE B --的正切值.
S
C
D
B
N
F
A
S C
D
B
N
A
5.解：取BC 的中点K , 取OC 的中点N ,则KN ∥OB
∵F 是PB 的中点 ∴FK ∥PC
∵PC 为圆柱的母线∴PC ⊥平面CEB ∴FK ⊥平面CEB ∵正三角形ABP 中，O 为AB 的中点 ∴AB ⊥OP
∴由三垂线定理的逆定理得AB ⊥OC ∴KN ⊥OC
∴由三垂线定理得CE ⊥FN ∴KNF ∠为二面角F CE B --的平面角 由已知得1222KN OB == ,6OP = , ∴2PC =∴112
KF PC ==
∴tan KNF ∠=
2KF
KN
= ,即二面角F CE B --的正切值为2. 方法点拨：本题的难点是找到二面角的一个平面BCE 的垂线PC,则过二面角的一个平面FCE 上一点
F 作PC 的平行线FK 就是二面角的另一个平面BCE 的垂线,过垂足K 作二面角的棱CE 的垂线KN,从而得到斜线FN 及其射影KN, 从而得到二面角的平面角为FNK ∠。

6、 如图，P-AD-C 是直二面角，四边形ABCD 是∠BAD=1200
的菱形，PA=AB=2，PA ⊥ AD ，试问在线段AB(不包括端点) 上是否存在一点F ，使得二面角A-PF-D 的大小为450
? 若存在，请求出AF 的长，若不存在，请说明理由．
6.解：设AF=x,过点D 作BA 延长线的垂线DH ，垂足为H 。

∵PA ⊥AD ，二面角P-AD-C 是直二面角， ∴PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥DH
由于DH ⊥AB ，DH ⊥PA,且PA ⋂AB=A ，故DH ⊥平面PAB
过H 作PF 的垂线HO,O 为垂足，再连接D0，由三垂线定理得：D0⊥PF ， 所以∠HOD 就为二面角A-PF-D 的平面角。

在Rt △ADH 中，求得：AH=1,DH=3
在Rt △FHD 中，FH=AF+AH=x+1, 由PFH ∆的面积相等关系得,OH=
FH PA PF =
24)
1(2x
x ++ 在Rt △HOD 中，当∠HOD=45º,则有：OH=DH,此时：
34)1(22=++x
x ，解得：x=462- 所以,在AB 上存在一点F ，使得二面角A-PF —D 的大小为45º，此时AF=462-.
方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面PFD 上一点D 作二面角的另一个平面PAF 的垂线DH,
再过垂足H 作二面角的棱PF 的垂线DO,从而得到斜线DO 及其射影OH,从而得到二面角的平面角为HOD ∠。

B
A
C
D
P F B
A
C
D
P
F H
O
7．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，
ＡＤ＝
2
1
．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．
7.解法一：延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线
. 又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，
故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥ＳＥ，
所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222
∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝
2
2
=SB BC 即所求二面角的正切值为2
2
解法二：延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱
过A 作AF ⊥SE ，垂足为F ，连结FD
∵ＳＡ⊥面ABCD ∴AD ⊥SA 又∵∠ＡＢＣ＝９０°，AD BC ∴AD ⊥AB 而AD SA A ⋂=∴DA ⊥面SAE
∴由三垂线定理得：SE ⊥DF ∴∠DF A 是所求二面角的平面角
由已知得A 为BE 的中点 ∴AE =1 ，SE =
由SAE ∆面积相等关系得2
2
SA AE AF SE ==
在Rt FAD ∆中，tan 2AD DFA AF ∠=
= 即所求二面角的正切值为2
2 解法三（提示）：取SC 的中点Q ，BC 的中点H ，连结QH 、DH 、DQ ， 则//,//QH SB DH AB ,从而平面QHD //平面SBA ，
所以面QHD 与面SCD 所成二面角的大小等于面SCD 与面SBA 所成二面角的大小
而面QHD 与面SCD 的公共棱为QD ，。

∵ＳＡ⊥面ABCD ∴SA ⊥BC,又∵∠ＡＢＣ＝９０° ∴BC ⊥面SAB ∴CH ⊥面QHD 由已知得:,22
SD CD =
=
== ∴SD=CD,又Q 为SC 的中点 ∴QD QC ⊥
由三垂线逆定理得：QD QH ⊥ 所以,CQH ∠是面QHD 与面SCD 所成二面角的平面角
A
B
C
D
S
A B
C
D
S E A
B
C
D
S
E
F
A
B
C
D
S Q
H
由已知得:1112,2222CH BC QH SB =
=== 在Rt QHC ∆中,2tan 2
CH CQH QH ∠== 解法四（提示用面积投影法）：∵ＳＡ⊥面ABCD ∴SA ⊥BC,又∵∠ＡＢＣ＝９０°
∴BC ⊥面SAB ∵BC//AD ∴AD ⊥面SAB ∴C 在平面SAB 上的射影为B, D 在平面SAB 上的射影为A, ∴面SCD ∆的投影面为面SAB ∆，设Q 为S C 的中点,所求二面角的大小为θ，则 由已知得:222255,22
SD SA AD CD DH CH =
+=
=+= 22222
3,2
SC SB BC QD SD SQ =+==-=
,1116
,22
24
SAB SCD
S SA AB S SC DQ =
==
= 6
cos 3
SAB SCD S S θ∆∆=
=
从而求得2tan 2θ= 方法点拨：本题的难点是作二面角的公共棱,方法①是先延展两个面SCD 与面SBA 得到公共棱SE,
然后找其中一个面SBA 的重线DA 或CB, 方法②是先平移面SBA 到面HQD 得到公共棱QD,然后找
其中一个面HQD 的垂线,,解法3用二面角的定义得 面QHD 与面SCD 所成二面角的平面角为HQC ∠,解法四用三垂线法得 面QHD 与面SCD 所成二面角的平面角为HNC ∠.
8.（本小题满分14分）已知DBC ∆∆和ABC 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，
0120=∠=∠DBC CBA ，求：
⑴．直线AD 与平面BCD 所成角的大小； ⑵．直线AD 与直线BC 所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C 的余弦值．
8. 解：⑴如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ， 则AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角
由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，∴∠ADH =45°…………….5分 ⑵∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90° ……9分
⑶过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角 ， 设BC =a ,则由题设知，
AH =DH =
2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =
43
a ，∴tan ARH =HR
AH =2 故二面角A —BD —C 的余弦值的大小为5
5
- …………14分
R H A
B
C
D
9．如图，在四棱锥C ABDE -中，ABC ∆为正三角形，
AE ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，M 为CD 上一点，22BD BC AE ===. （Ⅰ）求证：//AE 平面BCD ；
（Ⅱ）当EM BD ⊥时，求二面角M AB C --的正切值. 9解：（Ⅰ）∵AE ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC
∴AE ∥BD 而AE ⊄平面BCD BD ⊂平面BCD ∴AE ∥平面BCD ………………6分 （Ⅱ）∵BD ⊥平面ABC ∴平面BCD ⊥平面ABC
在平面BCD 中过点M 做MN BC ⊥，垂足为N ，则有
MN ⊥平面ABC ， MN ∥BD ，∴2
EMN π
∠=
且MN ∥AE ，过N 做NG AB ⊥于G ，
则MG AB ⊥，则MGN ∠为二面角M AB C --的平面角， …………9分 在四边形AEMN 中， ∵2
EAN ANM NME π
∠=∠=∠=
，∴四边形AEMN 为矩形
∴MN =1AE =，∴M 为CD 的中点，N 为BC 的中点，在Rt MNG ∆中，1MN =，
3sin 2NG BN ABC =⋅∠=
∴123
tan 33
2
MN MGN NG ∠=== ………………14分 10. (2012广东理)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，
PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。

（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；
（2） 若1,2PA AD ==，求二面角B PC A --的正切值；
10.解：（1）PC ⊥平面BDE ，BD ⊂面BDE BD PC ⇒⊥ PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂面ABCD BD PA ⇒⊥ 又PA PC P BD =⇒⊥面PAC
（2）法一：(定义法)设AC BD O =由（1）得：BD AC AB AD ⊥⇒=，1,22PA AD AB ==⇒=， PC ⊥平面,BDE BE PC OE PC ⇒⊥⊥BEO ⇒∠是二面角B PC A --的平面角
在PBC ∆中，25
5,2,3903
BP BC PB BC PC PBC BE PC ο
⨯===⇒∠=⇒=
=
在Rt BOE ∆中，22
22,tan 33BO BO OE BE BO BEO OE
==-=⇒∠== 得：二面角B PC A --的正切值为3
法二：(三垂线法) 设AC BD O =由（1）得：BO ⊥平面PAC ,过垂足O 作公共棱的垂线OF,
连结BF ,则由三垂线定理得PC BF ⊥
∴BFO ∠就是二面角B PC A --的平面角.
∵底面ABCD 为矩形, BD AC ⊥
∴AB AD =2=,BO =222,3OC PC PA AC =
=+=
易得Rt PAC ∆∽Rt OFC ∆∴2
3
OC OF PA PC ==
在Rt BOF ∆中,tan 3BO
BFO OF
∠=
=
故二面角B PC A --的正切值为3
11 (2011广东改编题)（本小题满分13分）
如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长 为1的菱形，且0
60DAB ∠=,134PA PD ==,21
2
PB =
求二面角P AD B --的大小.
法一：(定义法)取AD 的中点G ,连结。