专题8.6二元一次方程组的应用(2)几何问题(重难点培优)七年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】
专题8.6二元一次方程组的应用（2）几何问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•崇川区校级月考）如图，在大长方形ABCD 中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A ．140 cm 2
B ．96cm 2
C ．44 cm 2
D ．16 cm 2
【分析】设小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，根据长方形的性质，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出x ，y 的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．
【解析】设小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，
依题意得：{x +3y =14x +y −2y =6
， 解得：{x =8y =2
， ∴阴影部分的面积＝14（x +y ）﹣6xy ＝14×（8+2）﹣6×8×2＝44（cm 2）．
故选：C ．
2．（2020春•香洲区校级期中）八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（ ）
A ．15cm
B ．30cm
C ．12cm
D ．10cm
【分析】就从右边长方形的宽40cm 入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝40；一个小长方形的长+一个小长方形的宽＝40．
【解析】设每块长方形地砖的长为xcm ，宽为ycm ．
依题意得{4y =40x +y =40
， 解得{x =10y =30
． 即：长方形地砖的宽为10cm ．
故选：D ．
3．（2020春•西湖区校级期中）如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是（ ）
A ．96
B ．112
C ．126
D ．140
【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm ，ycm ，根据图示可以列出方程组{x −2y +y =6x +3y =14
，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．
【解析】设小长方形的长、宽分别为xcm ，ycm ，
依题意得{x −2y +y =6x +3y =14
， 解之得{x =8y =2
， ∴小长方形的长、宽分别为8cm ，2cm ，
∴S 大长方形＝AB •BC ＝14×10＝140cm 2，
故选：D ．
4．（2020春•醴陵市期末）小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm ，把8个纸杯叠在一起高度是14cm ，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（ ）cm ．
A ．150cm
B ．56cm
C ．57cm
D ．81cm
【分析】设1个纸杯的高度为xcm ，每叠加1个纸杯高度增加ycm ，根据“把3个纸杯叠在一起高度是9cm ，把8个纸杯叠在一起高度是14cm ”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出x ，y 的值，再将其代入[x +（50﹣1）y ]中即可求出结论．
【解析】设1个纸杯的高度为xcm ，每叠加1个纸杯高度增加ycm ，
依题意，得：{x +(3−1)y =9x +(8−1)y =14
， 解得：{x =7y =1
， ∴x +（50﹣1）y ＝56．
故选：B ．
5．（2020春•沭阳县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的1
5．两根铁棒长度之和为110cm ，此时木桶中水的深度是（ ）
A ．60cm
B ．50cm
C ．40cm
D ．30cm
【分析】设较长的铁棒长度为xcm ，较短的铁棒长度为ycm ，根据两根铁棒长度之和为110cm 且两根铁棒水下长度相等，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出x ，y 的值，再将x 的值代入（1−1
3）x 中即可求出结论．
【解析】设较长的铁棒长度为xcm ，较短的铁棒长度为ycm ，
依题意，得：{x +y =110(1−13)x =(1−15)y
， 解得：{x =60y =50
， ∴（1−13）x ＝40．
故选：C ．
6．（2020春•射洪市期末）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示．小红看见了，说“我来试一试”，结果拼成如图2所示的正方形，中间还留有一个洞，恰好是边长为2cm 的小正方形．则每个小长方形的长和宽分别为（ ）
A ．8cm 和6cm
B ．12cm 和8cm
C ．10cm 和6cm
D ．10cm 和8cm
【分析】设小长方形的长为x ，宽为y ，根据长方形的对边相等及正方形的性质，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】设小长方形的长为x ，宽为y ，
依题意，得：{3x =5y x +2y =2x +2
， 解得：{x =10y =6
． 故选：C ．
7．（2020春•福山区期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m +n 的值可能是（ ）
A ．200
B ．201
C ．202
D ．203
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x 个、y 个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x 、y 的系数表示出m +n 并判断m +n 为5的倍数，然后选择答案即可．
【解析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x 个、y 个，根据题意得，
{4x +3y =n x +2y =m
， 两式相加得，m +n ＝5（x +y ），
∵x 、y 都是正整数，
∴m +n 是5的倍数，
∵200、201、202、203四个数中只有200是5的倍数，
∴m +n 的值可能是200．
故选：A ．
8．（2020春•崇川区校级期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a ，宽为b ．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm ，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（ ）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．1
8 【分析】根据题意、结合图形可以得到方程组{a +3b =30a =3b
，解出a |B 的值，再表示出阴影面积和整个图形的面积，求出比值即可．
【解析】∵大长方形的宽为30cm ，
∴a +3b ＝30，
根据图③可得3b ＝a ，
组成方程组{a +3b =30a =3b
， 解得：{a =15b =5
， ∵阴影面积为3（a ﹣b ）2，
整个图形的面积为：4a （a +3b ），
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比为
3(a−b)24a(a+3b)=3×10060×30=1
6， 故选：B ．
9．（2020春•福山区期中）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为xcm 和ycm ，则两个小长方形的面积是（ ）
A ．1200
B ．1600
C ．1800
D ．2400
【分析】根据长方形的对边相等，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出x ，y 的值，再将其代入2xy 中即可求出结论．
【解析】依题意，得：{2x =x +3y x +2y =100
， 解得：{x =60y =20
， ∴2xy ＝2×60×20＝2400．
故选：D ．
10．（2019秋•抚州期末）如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，这个长方形的面积为（ ）
A ．45
B ．48
C ．63
D ．64
【分析】设左下角的小正方形边长为x ，左上角最大的正方形的边长为y ，根据矩形的长和宽列出方程组求解即可．
【解析】设左下角的小正方形边长为x ，左上角最大的正方形的边长为y ，
根据题意得：{3x −1=y 3x +(x +1)=y +(y −1)
， 解得{x =2y =5
， 矩形的长＝2+2+2+3＝9，
宽＝2+5＝7，
面积＝7×9＝63．
故选：C ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•瑶海区期末）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 79 ．
【分析】设小长方形的长为x ，宽为y ，根据长方形ABCD 的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
【解析】设小长方形的长为x ，宽为y ，根据题意得
{x +3y =179+3y =2y +x
， 解得{x =11y =2
， ∴S 阴影＝17×（9+3×2）﹣8×11×2＝79．
故答案为：79．
12．（2019秋•常熟市期末）如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的面积等于 8 ．
【分析】设小长方形的长为x ，宽为y ，根据大长方形的长及宽，可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】设小长方形的长为x ，宽为y
，
根据题意得：{2x +y =10x +2y =8
， 解得：{x =4y =2
， ∴xy ＝4×2＝8．
故答案为：8．
13．（2020春•雄县期末）如图所示，8个相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是 300cm 2 ．
【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽＝40cm ，小长方形的长+小长方形宽的3倍＝小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小正方形的长与宽，最后求得小正方形的面积．
【解析】设一个小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，
则可列方程组{x +y =40x +3y =2x
， 解得{x =30y =10
． 30×10＝300cm 2．
答：每块小长方形地砖的面积是300cm 2．
故答案为：300cm 2．
14．（2020春•赣榆区期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是 76cm ．
【分析】设长方体长xcm ，宽ycm ，桌子的高为acm ，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．
【解析】设长方体长xcm ，宽ycm ，桌子的高为acm ，由题意得
{x +a −y =79y +a −x =73
， 两式相加得：2a ＝152，
解得a ＝76．
故答案为：76cm ．
15．（2020•高邮市二模）如图，汪曾祺纪念馆中的仿古墙独具特色，其中一处是由10块相同的小矩形砖块拼成了一个大矩形，若大矩形的一边长为75cm ，则小矩形砖块的面积为 675 cm 2．
【分析】设小矩形的长为xcm ，宽为ycm ，由图形的条件列出方程组，可求解．
【解析】设小矩形的长为xcm ，宽为ycm ，
由题意可得：{x +2y =752x =3y +x
， 解得：{x =45y =15
， ∴小矩形砖块的面积为＝45×15＝675cm 2，
故答案为：675．
16．（2020春•遂平县期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm 的小正方形，则每个小长方形的面积为 375 mm 2．
【分析】设小长方形的长为xmm ，宽为ymm ，观察图形发现“3x ＝5y ，2y ﹣x ＝5”，联立成方程组，解方程组即可得出结论．
【解析】设小长方形的长为xmm ，宽为ymm ，
由题意，得：{3x =5y 2y −x =5
， 解得：{x =25y =15
， 则每个小长方形的面积为：25×15＝375（mm 2）
故答案是：375．
17．（2019春•工业园区期末）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 24 cm 2．
【分析】设小长方形的宽为xcm ，大长方形的宽为ycm ，则小长方形的长为2xcm ，大长方形的长为2ycm ，根据图形列出方程组求得两个正方形的长和宽，从而求得答案．
【解析】设小长方形的宽为xcm ，大长方形的宽为ycm ，则小长方形的长为2xcm ，大长方形的长为2ycm ，
根据题意得：{4x +2y =122y −4x =4
， 解得：{x =1y =4
， ∴小长方形的长为2cm ，大长方形的长为8cm ，
∴图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为：4×8﹣4×1×2＝24cm 2．
故答案为：24．
18．（2019春•德城区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是16cm ，则小长方形的面积是 3 cm 2．
【分析】设小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出x 、y 的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论．
【解析】设小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，
根据题意得：{x =3y 2(2x +2y)=16
， 解得：{x =3y =1
， ∴小长方形的面积为3×1＝3（cm 2）．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•古丈县期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成1个周长为68的大长方形．求大长方形的面积．
【分析】设小长方形的长为x ，宽为y ，根据长方形的对边相等及大长方形的周长为68，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出x ，y 的值，再利用长方形的计算公式即可求出大长方形的面积．
【解析】设小长方形的长为x ，宽为y ，
依题意，得：{2x =5y 2(2x +x +y)=68
， 解得：{x =10y =4
， ∴S 大长方形＝2x •（x +y ）＝2×10×（10+4）＝280．
答：大长方形的面积为280．
20．（2019春•望花区校级月考）列二元一次方程组解实际问题．
某纸制品厂要制作如图所示的甲，乙两种无盖的长方体盒子，该厂利用边角余料裁出了长方形，正方形两种纸片，其中长方形的宽与正方形的边长相等，现将105张正方形纸片和270张长方形纸片用来制作这两种盒子（不计连接部分）．求可以恰好制作这两种盒子多少个？
【分析】设可以恰好制作x 个甲种盒子，y 个乙种盒子，根据正方形纸片及长方形纸片的张数，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】设可以恰好制作x 个甲种盒子，y 个乙种盒子，
依题意，得：{4x +3y =270x +2y =105
， 解得：{x =45y =30
． 答：可以恰好制作45个甲种盒子，30个乙种盒子．
21．（2020•南关区校级二模）学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具（如图①）拼出一个大长方形和一个正方形（如图②、图③），其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．
【分析】由图中所拼长方形与正方形的边的关系，可分别找出等量关系3a ＝5b 和2b +a ＝2a +3，联立整理即得所求方程组．
【解析】根据题意得：{3a =5b 2b +a =2a +3
， 解得：{a =15b =9
， ∴一个小长方形模具的面积＝ab ＝15×9＝135．
22．（2020春•淮南期末）列二元一次方程组解应用题：
某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【分析】设小长方形的长为x 米，宽为y 米，由大长方形的周长及上下两边相等，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出x ，y 的值，再利用总价＝单价×长方形的面积即可求出结论．
【解析】设小长方形的长为x 米，宽为y 米，
依题意，得：{2x =5y 2(2x +x +2y)=76
， 解得：{x =10y =4
， ∴210×2x ×（x +2y ）＝75600（元）．
答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元．
23．（2020春•盘龙区期末）小明是一个乐思好问的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的：
一个长方形的长减少5cm ，宽增加2cm ，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？
（1）如图，设长方形的长、宽各是xcm ，ycm ，小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组：
①{x −5=y +2xy =(x −5)2，②{x −5=y +2xy =(y +2)
2，③{x −5=y +2xy =(x −5)(y +2) 以上三个方程组中，能正确反映题意的有 ①②③ ．（请直接填写序号）
（2）小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．
【分析】根据长﹣5＝宽+2，就成为一个正方形，及两图形的面积相等，可得出方程组①②③．
【解析】（1）解：由题意得：{x −5=y +2xy =(x −5)(y +2)
． {x −5=y +2xy =(x −5)2 {x −5=y +2xy =(y +2)2
故答案为：①②③
（2）设长方形的长、宽各是x cm ，y cm ，由题意列方程组，
得{x −5=y +22(x −5)=5y
解这个方程组，得{x =25
3y =43 答：长方形的长、宽分别是25
3cm 、4
3cm ． 24．（2020春•邓州市期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm ×40cm 的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图甲所示，（单位：cm ）．
（1）列出方程（组），求出图甲中a 与b 的值．
（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B 型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【分析】（1）观察图形，根据标准板材的长度为200cm ，即可得出关于a ，b 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以做竖式无盖礼品盒x 个，横式无盖礼品盒y 个，根据裁剪的两种型号的板材正好做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】（1）依题意得：{3a +b +10=200a +3b +30=200
， 解得：{a =50b =40
． 答：图中的a ＝50，b ＝40．
（2）设可以做竖式无盖礼品盒x 个，横式无盖礼品盒y 个，
依题意得：{4x +3y =3×25+5x +2y =25+3×5
， 解得：{x =8y =16
． 答：可以做竖式无盖礼品盒8个，横式无盖礼品盒16个．。