最新随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解

1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均

匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）⎰

∞

-=

x

dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；

（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩

⎪⎨⎧<<-=其他,0,1

)(b

x a a b x f ，分布函数

⎪⎩

⎪⎨⎧

>≤≤--<=b x b x a a

b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b

a x E +=

，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00

,)(x x e x f x λλ，分布函数

⎩⎨

⎧<≥-=-0

,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21

)(λ=x D ； （4）2

)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=

--

x e x f x ,21

)(2

22)(σμπ

σ，

分布函数∞<<-∞=

⎰

∞

---

x dt e

x F x

t ,21)(2

22)(σμπ

σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知，

)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩

⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1

)(t

C x C t x f ，一维分布

函数⎪⎩

⎪⎨⎧

+>+≤≤-<=t C x t C X C t

C

x C x x F ,1,,0)(；

（2）根据相关定义，均值函数C t

t EX t m X +==2

)()(； 相关函数2)(2

31)]()([),(C t s C

st t X s X E t s R X +++=

=； 协方差函数12

)]}()()][()({[),(st

t m t X s m s X E t s B X X X =

--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(2

2

X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=

求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()('

'y x y f x y y f x f t ==

2、（15分）设{

}∞<<∞-t t W ),(是参数为2

σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程

{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2

t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。故：均值函数1)()(==t EX t m X ；

相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；

协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；

且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

【解答】此题可参见课本习题3.10题。

由题意可知，每个顾客的消费额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知：

21)(,1)(s Y D s Y E ===

，故222

)(s

Y E =，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(Y E m X ⨯⨯=；

一天内商场营业额的方差)(1808)8(2

2

Y E X ⨯⨯=σ。 4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P

（1）求两步转移概率矩阵)

2(P

及当初始分布为

0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。 【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 （1）两步转移概率矩阵

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==09.049.042.04.004.056.056.035.009.03.007.08.02.0007.03.03.007.08.02.0007.03.0)

2(PP P

当初始分布为0}3{}2{,

1}1{000======X P X P X P 时，

()()56.035.009.009.049.042.04.004.056.056.035.009.0001=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。

（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=++++=++=++=13.08.0002.07.07.003.032132133

2123

211πππππππππππππππ 解上述方程组得平稳分布为

23

8

,237,238321===

πππ 5、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=010007.03.0000

0001

00004.06.0003.04.03.0P

求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下：