福建省福州市八县一中2014-2015学年高二下学期期中联考数学(理)试题

2014-2015学年度第二学期八县（市）一中期中联考
高中二年数学（理）科试卷
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.有一段推理是这样的“任何实数的平方都大于0，因为a R ∈，所以20a >”结论显然是错误的，
是因为 （ ☆ ） (A).大前提错误 (B).小前提错误 (C).推理形式错误 (D).非以上错误 2.定积分
3
1
(3)dx -⎰
等于 （ ☆ ）
(A)．－6 (B)．6 (C)．－3 (D)．3
3．某炼油厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时时，原油温度（单位：)0
C 为
)50(83
1)(23
≤≤+-=
x x x x f ，那么当x=1时原油温度的瞬时变化率的是 （ ☆ ） (A)．8 (B). 3
20 (C)．1-
(D). 8-
4．有人认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理 （ ☆ ）
(A)．归纳推理 (B)．类比推理 (C)．演绎推理 (D)．反证法推理 5.下列求导运算正确的是 （ ☆ ）
(A)．(x ＋1x )′＝1＋21x (B)．e x
x 3log 3)3(=' (C)．2
ln 1)3(log 2x x ='(D)．(x 2cos x )′＝－2x sin x
6．函数 f (x )＝2015x 2＋l n x －x 的极值点的个数是 （ ☆ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．无数个 7. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ☆ ） (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z = (C) 若
12||
z z =, 则
2112
··z z z z = (D) 若
12||
z z =, 则2122
z z =
8.如右图元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 （ ☆ ）
(A)． (B)． (C)． (D)．
9．若函数x x x f ln 2)(2
-=在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ( ☆ )
(A)．1,2) (D).⎣⎡⎭⎫
32，2
10.已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象 （ ☆ ）
( B )( C )
11.已知定义在(0,)2
π
上的函数()f x ，'()f x 为其导函数，且()'()tan f x f x x <⋅恒成立，则
( ☆ ) ()()4
3π
π>
(B)()()63
f ππ
<
(C)
()()64f ππ> (D).(1)2()sin16
f f π
<⋅
12．若定义在D 上的函数()y h x =在点P （x 0，h （x 0））处的切线方程为:()l y g x =，当
0x x ≠时，若
()()
0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，
则2
()64ln h x x x x =-+的“类对称点”的横坐标是 （ ☆ ）
(A)． 1 (B)． (C)． e (D)．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．复数29(3)i m m -++是纯虚数，则实数m 的值为
14.若函数()sin()6
f x x π
=-的图象如图所示,则图中的阴影部分的面
积为
15.设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为
16.已知函数x xe x f =)(，记)()(0x f x f '=，10()()f x f x '=，…，)()(1x f x f n n -'=且12x x >，对
于下列命题：
①函数)(x f 存在平行于x 轴的切线； ②
0)
()(2
121>--x x x f x f ；
③2015
()2017x x f x xe e '=+； ④1221()()f x x f x x +>+． 其中正确的命题序号是____________(写出所有满足题目条件的序号）.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）
17．（本小题满分10分）
（1）已知100a b c d +++>，求证，，，a b c d 中，至少有一个数大于25； （2）已知0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+
18．（本小题满分11分）
已知实数0>a ，函数3
2
()44,()f x ax ax ax x R =-+∈。

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f 有极大值16，求实数a 的值。

19．（本小题满分11分） 已知数列{}n a 中， 10a =，11
2n n
a a +=
-（*n N ∈）. （1）计算2a ，3a ，4a ；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.
20.(本小题满分12分）设函数3
221(),()243
f x x ax ax
g x x x c =
--=++. （Ⅰ）试问函数)(x f 能否在1-=x 时取得极值？说明理由；
（Ⅱ）若,1-=a 当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点， 求c 的取值范围.
21. ( 本题12分） 如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ， AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t(单位:km)，△BEF 的面积为S(单位: 2
km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域
(2)问：按上述要求隔离出的△BEF 面积S 能否达到3 并说明理
由.(说明：解答利用如图建立的平面直角坐标系)
22.（本小题满分14分） 已知函数()ln ,f x a x a R =∈.
第21题
（I ）若曲线()y f x =与曲线()g x =
a 的值；
（II ）若对任意[]1,x e ∈，都有()()2
2f x x a x ≥-++恒成立，求a 的取值范围；
（III ）在（I ）的条件下，求证：()112
x
xe xf x ->-.
2014—2015学年福州八县市一中高二下期中理科数学答案 一、选择、AACBC ADA B.C B B ．
二、填空、13. 3 14.23
2- 15.2
16、①③； 三、解答题
17（1）证明：假设结论不对，即，，，a b c d 均不大于25，（2分） 那么，25252525100++a b c d +≤+++=，这与已知条件矛盾.（4分）
所以，，，，a b c d 中，至少有一个数大于25. （5分） （2）证法一 分析法
要证2233ab b a b a +≥+成立. 只需证)())((22
b a ab b ab a
b a +≥+-+成立，（2分）
又因0>+b a ， 只需证ab b ab a ≥+-22成立， 又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2
≥-b a 成立 （4分）
而0)(2
≥-b a 显然成立. 由此命题得证。

（5分） 证法二 综合法
ab b ab a b ab a b a ≥+-⇒≥+-⇒≥-2
2222020)( （2分） 由0,0>>b a ，得0>+b a ，
∴)())((2
2b a ab b ab a b a +≥+-+，（4分） ∴2233ab b a b a +≥+成立。

（5分）
证法三 求差法
3322222()()()()()()a b a b ab a a b b b a a b a b +-+=-+-=-+ （3分）
∵0,0>>b a ，2
()0a b -≥
∴2233ab b a b a +≥+ （5分）
18．（Ⅰ）∵32()44f x ax ax ax =-+ ∴.483)(2
a ax ax x f +-='（2分）
令0)(='x f 得 04832
=+-a ax ax
∵.0483,
02=+-∴≠x x a ∴23
2
==
x x 或 （4分） ∵a >0，∴当.0)(),2()3
2,(>'+∞∈-∞∈x f x x 时或 ∴函数)(x f 的单调递增区间为),2[]3
2,(+∞-∞和（6分） 当0)()2,3
2(<'∈x f x 时，，
∴函数)(x f 的单调递减区间为]2,3
2[ …………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3
2
)(=x x f 在时，取得极大值。

…………9分 即2
22(2)1633
a ⋅-= 解得 27.2a = …………11分
19．解：（1）234123
,,234
a a a ===．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分
（2）猜想
1
(1,2)n n a n n
-=
=⋅⋅⋅*n N ∈………………………………………5分 证明：①当1n =时，结论显然成立……………………………6分
②假设n k =时，结论成立，即1
k k a k
-=…………7分 那么当1n k =+时，
()11111122(1)11
2k k k k k
a k a k k k k k
++-=
====----++- 即当1n k =+时，等式成立．…………… …10分 由①②知，1
n n a n
-=
对一切自然数n 都成立．……………………11分 20.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，（1分）
假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴a =1-,（3分） 而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在x=-1处无极值（5分） （Ⅱ）（Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033
123=---c x x x ，∴32133
c x x x =--，
设c x G x x x x F =--=)(,33
1)(23，
令032)('2=--=x x x F ，解得11-=x 或3=x .（7分） 列表如下：
由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数. 当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=3
5
；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=-9，而F （4）=3
20
-
.（10分） 如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点， 所以3
5
320<<-c 或9-=c .（12分）
21解 (1) C 点坐标为(2,4)．………………………………………1分
设边缘线AC 所在抛物线的方程为2y ax
把(2,4)代入，得242a ，解得1a ， 所以抛物线的方程为 2y
x 因为2y
x ，……………………………3所以过
2
(,)P t t 的切线EF 方2
2y
tx t ．………………………5分
令0y
，得(,0)2t E ；令2x
，得2(2,4)F t t ，…
（第20题 ）
所以21(2)(4)
22t
S t t =--，……
所以321
(816)
4S t t t =-+，定义域为(0,2]．……………………7分 (2)
2134
(31616)(4)()
443S t t t t '=-+=--，……………………9分 由()0S t '>，得
4
03t <<
，
所以()S t '在4
(0,)3上是增函数，在4(,2]3上是减函数，所以S 在(0,2]上有最大值464
()327S =．……………11分
又因为6417
332727=-<，
所以隔离出的△BEF 面积S 不能达到3 2
km ．……………12分
22.（I ）函数f （x ）=alnx 的定义域为（0，+∞），f′(x)= a
x ，g′（x ）
．
设曲线y=f （x ）与曲线g （x ）
= （x0，y0），由于在交点处有共同的切线，∴0a
x
，…………
2分
解得x0=4a2，a ＞0．由f （x0）=g （x0）可得
联立2
004ln x a a x ⎧=⎪⎨
=⎪⎩2
e a =
．……………4分
（II ）对任意x ∈，都有f （x ）≥-x2+（a+2）x 恒成立，化为
a （x-lnx ）≤x
2
- 2x ．（*）．
令h （x ）=x-lnx ，h′(x)=1-
1
x
=
1x x -，
∵x ∈，∴h′（x ）≥0，∴函数h （x ）单调递增，∴h （x ）≥h （1）=1．
…………6分
∴（*）式可化为a≤22ln x x
x x --，x ∈．
令F （x ）=22ln x x
x x --．F′（x ）=2
(1)[2(1ln )](ln )x x x x x -+--．
∵x ∈，∴x-1≥0，2（1-lnx ）＞0，∴当x ∈时，F′（x ）≥0，
∴函数F （x ）在x ∈上单调递增，∴F （x ）≥F （1）=12
10--= - 1，
∴a≤ -1．……………9分
（III ）在（I ）的条件下f （x ）=2e
lnx ．要证明xf （x ）＞12x xe --1．
即证明exlnx ＞x e 1-x - 2．…………10分 令H （x ）=exlnx ，可得H′（x ）=e+elnx=e （1+lnx ），
令H′（x ）＞0，解得x ∈(1
e ，+∞)，此时函数H （x ）单调递增；
令H′（x ）＜0，解得x ∈(0，1
e )，此时函数H （x ）单调递减． ∴当x=1e 时，函数H （x ）取得极小值即最小值，H(1
e )= - 1．
令G （x ）= x e 1-x - 2，可得G′（x ）=（1- x ）e 1-x ， 由G′（x ）＞0，解得0＜x ＜1，此时函数H （x ）单调递增； 由G′（x ）＜0，解得x ＞1，此时函数G （x ）单调递减．
∴当x=1时，函数G （x ）取得极大值即最大值，G （1）= - 1．
∴H （x ）＞G （x ），因此xf （x ）＞12x
xe - - 1．……………14分。