四川省新津中学高三数学上学期期中试题 文(扫描版)

四川省新津中学2015届高三数学上学期期中试题 文（扫描版）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．已知集合1
{|(),}
3==∈x M y y x R ，{1,0,1}=-N ，则=M N ( ) （A ）{1}
（B ）{1,1}-
（C ）{1,0}
（D ）{1,0,1}-
2．设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数
b
a i +
为纯虚数”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．已知α是第二象限角，(,4)P x 为其终边上一点，且
1cos 5α=
x
，则tan α= （ ）
（A ）43 （B ）3
4 （C ）34-
（D ）4
3-
4．若命题
12014:log [(2)(2)]p y x x =-+为偶函数；若命题
22014
2:log 2x
p y x -=+为奇函
数，则下列命题为假命题的是（ ） （A ）12∧p p （B ）12∨⌝p p （C ）
12∨p p （D ）12∧⌝p p
5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ） （A ）8 （B
） （C ）10 （D
）6． 已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，
则
110a a +=（ ）
俯视图
正主()视图侧左()视图
3
44
（A ）7 （B ）5
（C ）-5 （D ）-7
7．函数f(x)＝(4－x)ex 的单调递减区间是 ( )．
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，3)
C ．(4，＋∞)
D ．(3，＋∞)
8．如图所示的算法中，令tan a θ=，sin b θ=，cos c θ=，
若在集合
π3π,44θθθ⎧-<<≠⎨⎩ππ
0,,42⎫⎬
⎭中，给θ取一个值， 输出的结果是sin θ，则θ的值所在范围是（ ）
（A ）π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ （B ）π0,4⎛⎫
⎪⎝⎭ （C ）ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
（D ）π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
9．已知正项等比数列
{}
n a 满足
765
2a a a =+。

若存在两项
,m n
a a
1
4a =，则
19m n +
的最小值为( )
（A ） 83 （B ） 11
4 （C ）176 （D ）145
10.已知直线(1)(31)40()λλλ-++-=∈x y R 所过定点恰好落在曲线
log ,03()|4|,3<≤⎧=⎨->⎩a
x x f x x x 上，若函数()()2=-+h x f x mx 有三个不同的零点，则实数m 的
范围是 ( )
（A ）1(,1)2 （B ）1(,)(1,)
2-∞+∞ （C ）1(,)[1,)2-∞+∞ （D ）1
(,1]
2
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知数列
{}n a 的前n 项和n T =ｎ２，则通项a ｎ＝ ___________
12．已知向量a 与b 的夹角是23π
，||1=a ，||4=b .若(2)λ+⊥a b a ，则实数λ= .
13．两个等差数列的前n 项和之比为5n ＋10
2n －1
，则它们的第7项之比为________．
14．若1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-=
.
15．若a ，b 是任意非零的常数，对于函数)(x f y =有以下5个命题： ①)(x f 是a T 2=的周期函数的充要条件是)()(a x f a x f -=+； ②)(x f 是a T 2=的周期函数的充要条件是)()(x f a x f -=+；
③若)(x f 关于直线
2a
x =
对称，且)()(x f a x f -=+，则)(x f 是奇函数；
D
④若)(x f 是奇函数且是a T 2=的周期函数，则)(x f 的图形关于直线
2a
x =
对称；
⑤若)(x f 关于点()0,a 对称，关于直线b x =对称，则)(x f 是)(4b a T -=的周期函数． 其中正确命题的序号为 ．
三、解答题:本大题共6小题,满分75分.其中16－19每题12分，20题13分，21题14分.
16．已知数列{}n a 满足112=a ，且*1()31+=∈+n n n a a n N a ．
（1）证明数列1
{}
n a 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）设*
1()+=∈n n n b a a n N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：
16<
n T .
17．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知cos cos 2=-
+A a
B
b c . （1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C 的最大值.
18．已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样． （1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码； (2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．
19. 如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G ，
G 在AD 上且GD
AG 31=，GC BG ⊥，2==GC GB ，E BCG P -的体积为38
.
（1）求过点P ，C ，B ，G 四点的球的表面积；
（2）求直线DP与平面PBG所成角的正弦值；
20.已知函数
32
1
()
3
f x x x ax
=++
.
（1）若
()
f x在区间[1,)
+∞单调递增，求a的最小值；
（2）若
1
()
x
g x
e
=
，对
12
11
[,2],[,2]
22
x x
∀∈∃∈
，使12
()()
f x
g x
'≤
成立，求a的范围.
21．已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
M a b
a b
+=>>
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点
构成的三角形的周长为6+
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆M交于,A B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC面积的最大值.
高三（上）半期数学试题（文科） 参考答案
4．D 解：函数2014log [(2)(2)]y x x =-+，
2014
2log 2x
y x -=+定义域均为(2,2)-，
对2014()log [(2)(2)]f x x x =-+，2014()log [(2)(2)]()f x x x f x -=+-=，
2014log [(2)(2)]y x x ∴=-+为偶函数，命题1p 为真命题；
对
2014
2()log 2x g x x -=+，
12014
20142014222()log log ()log ()222x x x
g x g x x x x -+---===-=--++，
2014
2log 2x
y x -∴=+为奇函数，命题2p 为真命题；故12∧⌝p p 为假命题.
5．C 解：几何体的直观图是底面是直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，其四个面的面积分别是：
114482S =⨯⨯=，214362S =⨯⨯=
，31
32S =⨯⨯=， 41
4510
2S =⨯⨯=．所以该四面体四个面的面积中，最大的是10．
6． D
7．D 解析 f ′(x)＝ex ＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f ′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.
8．D 解：输出的是最大数. 9．C
4
4253
4
10．A 解：依题意，直线为(4)(3)0λ+---=x y x y ，联立4030+-=⎧⎨-=⎩x y x y ，解得31=⎧⎨=⎩x y ，
故定点为(3,1)，
log 31,3=∴=a a ,3
log ,03
()|4|,3<≤⎧=⎨->⎩x x f x x x . 令()()20=-+=h x f x mx ，故()2=-f x mx .则()f x 的图象与()2=-g x mx 的图象有三个不同的交点.作图，得关键点(0,2),(3,1),(4,0)-A B C ，可知()2=-g x mx 应介于直线AB
与直线AC 之间.由
1=AB k ，
12=
AC k ，故1
(,1)2∈m .
11．２ｎ－１ 12．
1 解：(2)λ+⊥a b a ，22(2)2||||||cos
03π
λλ∴+=+=a b a a a b ，
解得1λ=. 13．3
14．-7/9 15．①③⑤
16.
17.
18. 解 (1)由题意，第5组抽出的号码为22.
因为k ＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为10名职工的平均体重为
x ＝1
10
(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，
所以样本方差为：s2＝1
10
(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.
(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)． 记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A ，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．
故所求概率为P(A)＝410＝2
5.
19解：（1）由四面体BCG P -的体积为38
. ∴4PG =
以,,GP GB GC 构造长方体，外接球的直径为长方体的体对角线。

∴
2
(2)1644R =++
∴R = ∴4624V ππ=⨯=…………………………………………6分 （2）由2==GC GB
∴BGC ∆为等腰三角形，GE 为BGC ∠的角平分线，作DK BG ⊥交BG 的延长线于K,
∴DK BPG ⊥面。

由平面几何知识可知：3
2DK GK ==
PD =设直线DP 与平
面PBG 所成角为α
∴
sin DK DP α=
=12分
20．解：（1）由2()20f x x x a '=++≥在[1,)+∞恒成立
得：2(1)1a x ≥-++ 而
2
(1)1y x =-++在[1,)+∞单调递减，从而max 3y =-， ∴3a ≥- ∴
min 3a =- ………………………………………………6分
. 21.。