正弦定理和余弦定理

\正弦定理和余弦定理

【复习指导】

1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．

2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．

基础梳理

1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：

(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；

(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；

(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

等形式，以解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的

半径)，并可由此计算R ，r .

4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则

一条规律

在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题

在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063

D ．5 6

解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，

即

1032＝c 2

2

.∴c ＝1063.

答案 C

2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90° 解析 由正弦定理知：

sin A sin A ＝cos B

sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B

3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，

∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C

4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝1

3，则△ABC 的面积为( )．

A ．3 3

B ．2 3

C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝1

3，0＜C ＜π，

∴sin C ＝22

3

，

∴S △ABC ＝1

2

ab sin C

＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C

5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，

故C ＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°

考向一 利用正弦定理解三角形

【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .

[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断． 解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2

sin 45°，

∴sin A ＝

32

. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.

当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22

；

当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22

.

(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.

解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角， 且

sin A

cos A

＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝25

5，

再由正弦定理得a sin A ＝b

sin B

，