【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练3
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2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练3
一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内.
1.函数f (x )=
2
3x
+1
+a 的零点为1,则实数a 的值为( ) A .-2 B .-12 C.1
2 D .2
解析 由已知得f (1)=0,即231
+1+a =0,解得a =-1
2
.故选B. 答案 B
2.已知a 是函数f (x )=2x
-log 12 x 的零点,若0<x 0<a ,则f (x 0)的值满足( )
A .f (x 0)=0
B .f (x 0)<0
C .f (x 0)>0
D .f (x 0)的符号不确定
解析 分别作出y =2x 与y =log 12 x 的图象如图所示,当0<x 0<a 时,y =2x
的图象在y =log 12
x 图象的下方,所以f (x 0)<0.故选B.
答案 B
3.函数f (x )=2x
-x -2的一个零点所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3)
D .(3,4)
解析 由f (0)=20
-0-2<0,f (1)=2-1-2<0,f (2)=22
-2-2>0,根据函数零点性质知函数的一个零点在区间(1,2)内,故选B.
答案 B
4.(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2
的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x (单位:m)的取值范围是( )
A .[15,20]
B .[12,25]
C .[10,30]
D .[20,30]
解析 如图所示,过A 作AM ⊥BC 于M ,交DE 于N ;AM =40. 由相似三角形得:DE BC =
x 40=AD AB =AN AM =AN
40
.
解得AN =x ,MN =40-x ,则阴影部分的面积为S =x (40-x )≥300,解得10≤x ≤30,故选C
答案 C
5.(2012·湖北卷)函数f (x )=x cos x 2
在区间[0,4]上的零点个数为( ) A .4 B .5 C .6
D .7
解析 令f (x )=x cos x 2=0可得,x =0或cos x 2=0,故x =0或x 2
=k π+π2,k ∈Z .
又x ∈[0,4],则x 2
∈[0,16],则k =0,1,2,3,4符合题意,故在区间[0,4]上的零点个
数为6.
答案 C
6.(2013·安徽卷)若函数f (x )=x 3
+ax 2
+bx +c 有极值点x 1,x 2,且f (x 1)=x 1,则关于x 的方程3(f (x ))2
+2af (x )+b =0的不同实根个数是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
解析 由f ′(x )=3x 2
+2ax +b =0得,x =x 1或x =x 2,
即3(f (x ))2
+2af (x )+b =0的根为f (x )=x 1或f (x )=x 2的解.如图所示.
由图象可知f (x )=x 1有2个解,f (x )=x 2有1个解, 因此3(f (x ))2
+2af (x )+b =0的不同实根个数为3. 答案 A
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上. 7.(2013·哈尔滨一模)现有含盐7%的食盐水200 g ,需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水,设需要加入4%的食盐水x g ,则x 的取值范围是________.
解析 根据已知条件设y =
200×7%+x ·4%
200+x
×100%,令5%<y <6%,即(200+
x )·5%<200×7%+x ·4%<(200+x )·6%,解得100<x <400.
答案 (100,400)
8.若函数f (x )=log 2(x +1)-1的零点是抛物线x =ay 2
的焦点的横坐标,则a =________.
解析 令f (x )=log 2(x +1)-1=0,得函数f (x )的零点为x =1,于是抛物线x =ay 2
的焦点的坐标是(1,0),因为x =ay 2
可化为y 2
=1
a x ,所以⎩⎪⎨⎪⎧
1a >0,1
4a =1,
解得a =1
4
.
答案 14
9.已知f (x )=|x |+|x -1|,若g (x )=f (x )-a 的零点个数不为0,则a 的最小值为________.
解析 g (x )的零点个数不为零,即f (x )图象与直线y =a 的交点个数不为零,画出f (x )的图象可知,a 的最小值为1.
答案 1
三、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(本小题10分)设函数f (x )=ax 2
+bx +b -1(a ≠0). (1)当a =1,b =-2时,求函数f (x )的零点;
(2)若对任意b ∈R ,函数f (x )恒有两个不同零点,求实数a 的取值范围. 解 (1)当a =1,b =-2时,f (x )=x 2-2x -3, 令f (x )=0,得x =3或x =-1. ∴函数f (x )的零点为3和-1.
(2)依题意,f (x )=ax 2
+bx +b -1=0有两个不同实根. ∴b 2
-4a (b -1)>0恒成立,
即对于任意b ∈R ,b 2
-4ab +4a >0恒成立, 所以有(-4a )2
-4(4a )<0⇒a 2
-a <0,所以0<a <1. 因此实数a 的取值范围是(0,1).
11.(本小题10分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位:千米/时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x ≤200时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.
(1)当0≤x ≤200时,求函数v (x )的表达式;
(2)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f (x )=x ·v (x )可以达到最大,并求出最大值. (精确到1辆/时)
解 (1)由题意:当0≤x ≤20时,v (x )=60;当20≤x ≤200时,设v (x )=ax +b .
再由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
200a +b =0,20a +b =60,
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a =-1
3
,
b =200
3
.
故函数v (x )的表达式为