13 函数的定义域和值域

1．3 函数的定义域和值域
一、选择题 1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( )
A ．(0,8]
B ．(2,8]
C ．(－2,8]
D ．[8，＋∞)
解析：由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得： lg(x ＋2)≤lg10，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2≤10，
x ＋2＞0，解得－2＜x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]，选C.
答案：C
2．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1
的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1)
C ．[0,1)∪(1,4]
D ．(0,1) 解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤2x ≤2，
x －1≠0，得0≤x ＜1，选B. 答案：B
3．设f (x )＝lg 2＋x 2－x
，则f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4)
C ．(－2，－1)∪(1,2)
D ．(－4，－2)∪(2,4)
解析：由2＋x 2－x
＞0，得f (x )的定义域为－2＜x ＜2.
故f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫2x 的定义域为(－4，－1)∪(1,4)．故应选B.
答案：B
4．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域为( )
A ．(－∞，－1]
B ．[3，＋∞)
C ．[－1,3]
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：y ＝log 2x ＋lo g x 2＋1.
故log 2x ＋log x 2≥2或log 2x ＋log x 2≤－2.
所以y ≥3或y ≤－1.
答案：D
5．(2014·浙江联考)若函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )
的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤52，103 B.⎣
⎡⎦⎤0，103 C.⎣⎡⎦⎤2，103 D.⎣⎡⎦
⎤2，52 解析：令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.
易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数． 又∵g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103
. 可知函数F (x )＝f (x )＋1f (x )
的值域为⎣⎡⎦⎤2，103. 答案：C
6．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1，g (x )是二次函数，若f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )
A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C ．[0，＋∞)
D ．[1，＋∞) 解析：f (x )的图象如图所示：f (x )的值域为(－1，＋∞)若f [g (x )]的值域为[0，＋∞)，只需g (x )∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)，而g (x )为二次函数，所以g (x )∈[0，＋∞)，故选C 项．
答案：C
二、填空题
7．已知函数f (x )＝ln(mx 2－4mx ＋m ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．
解析：∵f (x )定义域为R ，
∴mx 2－4mx ＋m ＋3＞0恒成立．
①m ＝0时，3＞0恒成立．
②m ≠0时，要使f (x )定义域为R ，只需⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＞0，Δ＝(－4m )2－4m (m ＋3)＜0⇔0＜m ＜1.
答案：0≤m ＜1
8．已知函数f (x )＝x －1，则函数y ＝f [f (x )]＋f ⎝⎛⎭⎫4x 的定义域是__________．
解析：∵f (x )＝x －1，则函数f (x )的定义域是{x |x ≥1}，对于f [f (x )]，应有x －1≥1，∴
x ≥2；对于f ⎝⎛⎭⎫4x 应有4x
≥1，∴0＜x ≤4，∴x 的取值范围是2≤x ≤4，即所给函数的定义域是[2,4]．
9．已知f (x )＝12(x ＋|x |)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x ＜0，x 2，x ≥0，函数f [g (x )]＝__________，值域为__________．
解析：当x ≥0时，g (x )＝x 2，故f [g (x )]＝f (x 2)＝12(x 2＋|x 2|)＝12
(x 2＋x 2)＝x 2； 当x ＜0时，g (x )＝x ，故f [g (x )]＝f (x )＝12(x ＋|x |)＝12
(x －x )＝0. ∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧
0，x ＜0，x 2，x ≥0.
由于当x ≥0时，x 2≥0，故f [g (x )]的值域为[0，＋∞)．
答案：⎩
⎪⎨⎪⎧
0，x ＜0，x 2，x ≥0 [0，＋∞) 三、解答题
(1)若1∈A ，－3∉A ，求实数a 的取值范围；
(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋1＞0，9－3a ＋1≤0，
所以a ≥103. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，＋∞. (2)由题意，得x 2＋ax ＋1＞0在R 上恒成立，
则Δ＝a 2－4＜0，解得－2＜a ＜2.
故实数a 的取值范围为(－2,2)．
11．设f (x )＝ax 2＋bx ，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数f (x )的定义域和值域相同．
解析：(1)若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；
(2)若a ＞0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎤－∞，－b a ∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a ＞0不符合条件．
(3)若a ＜0，则对正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎡⎦⎤0，－b a . 由于此时f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝b 2－a
，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 2－a ， 则－b a ＝b 2－a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，2－a ＝－a ⇔a ＝－4，
综上所述：a 的值为0或－4.
12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.
(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；
(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．
解析：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32
. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，
∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32
， ∴a ＋3＞0，
＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣
⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数f (a )在⎣
⎡⎦⎤－1，32上单调递减，
∴f ⎝⎛⎭⎫32≤f (a )≤f (－1)，即－194
≤f (a )≤4， ∴f (a )的值域为⎣⎡⎦
⎤－194，4.。