现代信号处理思考题(含答案)

第一章 绪论
1、 试举例说明信号与信息这两个概念的区别与联系。

信息反映了一个物理系统的状态或特性，是自然界、人类社会和人类思维活动中普遍存在的物质和事物的属性。

信号是传载信息的物理量是信息的表现形式，如文字、语言、图像等。

如人们常用qq 聊天，即是用文字形式的信号将所要表达的信息传递给别人。

2、 什么是信号的正交分解？如何理解正交分解在机械故障诊断中的重要价值？
P9正交函数的定义
信号的正交分解如傅里叶变换、小波分解等，即将信号分解成多个独立的相互正交的信号的叠加。

从而将信号独立的分解到不同空间中去，通常指滤波器频域内正交以便于故障分析和故障特征的提取。

傅里叶变换将信号分解成各个正交的傅里叶级数，将信号从时域转换到频域从而得到信号中的各个信号的频率。

正交小波变换能够将任意信号（平稳或非平稳）分解到各自独立的频带中；正交性保证了这些独立频带中状态信息无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了了动态分析与监测诊断的信息。

3、 为什么要从内积变换的角度来认识常见的几种信号处理方法？如何选择合适的信号处理方法？
在信号处理各种运算中内积变换发挥了重要作用。

内积变换可视为信号与基函数关系紧密程度或相似性的一种度量。

对于平稳信号，是利用傅里叶变换将信号从时域变为频域函数实现的方式是信号函数x （t ）与基函数i t e ω 通过内积运算。

匹配出信号x （t ）中圆频率为w 的正弦波.而非平稳信号一般会用快速傅里叶变换、离散小波变换、连续小波变换等这些小波变换的内积变换内积运算旨在探求信号x （t ）中包含与小波基函数最相关或最相似的分量。

“特征波形基函数信号分解”旨在灵活运用小波基函数 去更好地处理信号、提取故障特征。

用特定的基函数分解信号是为了获得具有不同物理意义的分类信息。

不同类型的机械故障会在动态信号中反应出不同的特征波形，如旋转机械失衡振动的波形与正弦波形有关，内燃机爆燃振动波形是具有钟形包络的高频波；齿轮轴承等机械零部件出现剥落。

裂纹等王府机械活塞连杆、气阀磨损缺陷在运行过程中产生的冲击振动呈现出接近单边震荡衰减波形，等等充分利用基函数的各种性质，根据研究对象的特点和需求，选用针对性强的小波基函数，才能合理地解决工程实际问题，融合表征各种不同类型机械状态特征波形的混合基函数，是现代信号处
)
( ,t b a ψ
理进行机械动态分析和检测诊断的一个新的研究方向。

4、对于基函数的各种性质的物理意义如何理解？
1、正交性——是小波基函数一个非常优良的性质，他保证信号处理时将信息独立化的提取出来。

2、正则性——在数学上表现为小波函数的光滑性或可微性。

3、消失矩——小波基函数的消失矩必须具有足够高的阶数，一个小波消失矩为N，则它的滤波器
长度不能少于2R。

在信号奇异性检测中要求有足够高的消失矩，但不能过高否则会将奇异的信号平滑掉。

表示基函数必行光滑性的程度，R越大越光滑。

4、紧支性——函数在区间[a，b]以外恒为零，支撑区间越小，小波局部化能力越强，越有利于信
号点的检测。

例如谐波小波，它在频域进制具有完全的盒形频谱。

5、对称性——具有偶对称或奇对称的尺度函数和小波函数在小波变换信号处理时可得到线性相位
和零相移的分析结果。

可进行实时性处理。

例如谐波小波，其实属部分为偶对称其负数部分为奇对称，可对信号进行实时性处理。

6、相似性——这是利用小波分型技术分析信号非平稳性和复杂性的理论基础。

7、冗余度——表示信号通过某种变换后，由逆变换重建原来信号过程中，基函数所包含重建信息
的过剩量。

对信号的重构和图像的恢复有意义。

上述性质应用：
傅里叶基函数：时域无紧支性，但频域有优良的对称性、正交性和紧支性，可得到准确的相位幅值频率。

小波函数：1、haar小波时间局部化能力强，频率弱。

2、shannon相反。

3、daubechise紧支性正交小波，应用广泛但没有解析式，只有离散形式，计算量大。

不具备严格的对称性。

4、调频高斯小波：可进行连续小波变换。

非正交冗余小波。

5、谐波小波：有解析表达式、频域紧支的正交小波，频域有很好的盒性适合旋转机械的监测诊断
6、laplace单边衰减震荡，对齿轮轴承等因缺陷在运行中产生的冲击响应以及旋转机械碰磨、蒸汽激振等故障特征的提取以及模态分析很有效。

7、hermitian 敏感的识别信号的奇异性。

8、第二代小波：获得与信号更好拼配的期望小波基函数。

第二章 信号的时域分析
1、解释理想滤波器的特点。

信号滤波处理是消除或减弱干扰噪声，保留有用信号的过程。

理想的滤波器具有以下四个特点
（1） 理想低通滤波器能使信号中低于频率wc 的各频率分量以同样的放大倍数通过，使高于
wc 的频率成分减小为0.高通相反。

（2） 理想的低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。

（4） Wc 越小时，信号失真大。

2、描述实际滤波器的参数有哪些？其
物理含义是什么？
1、截止频率wc ——当滤波器幅值等于
0.707时对应的
频率，也称半功率点。

2、通带边缘频率wp 、阻带边缘频率
ws ——
划分通
带、过渡带和租代的两个指标。

3、允许的波动量
4、衰减——波动的大小。

0() 1 (
) c p c H j j ωωωδφωτωωω⎧=<⎪=⎨=-<⎪
3、图示说明采样定理的基本原理。

实际测试时如何确定采样频率和数据长度？p29
离散信号的频谱相当于将原信号频谱依次平移ws=2*pi/△t 至各采样脉冲函数对应的频域序列点上然后叠加而成，当△t 太大时ws 过小，移至各采样脉冲函数对应的频域序列点上的频谱会有一部分重叠，导致信号与原信号不一致，称为混叠。

因此采样频率ws 必须不小于原信号中的最大频率的2倍。

从而t πω
∆≤或max 12t f ∆≤。

实际采样中，一般去ws 为最高频率的2.5~4倍。

由于测量信号中高频信号往往是由干扰引起的噪声信号或我们不关注的频谱，因此采样前先需对信号进行低通滤波再定采样频率和时间间隔。

数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率。

数字信号的时间分辨率即采样间隔r t ，它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度。

数字信号的频率分辨率为r w =2p / T ，其中T =N r t 为数字信号的时间跨度，N 为数字信号的长度。

频率分辨率表示了数字信号的频谱在频域中取值点之间的细密程度。

因此，当采样频率或采样间隔确定后，增大采样点数就可增加信号的时间长度和频率分辨率。

4、 窗函数为什么会导致频谱泄露？试讨论检测两个频率相近幅度不同的信号 ，选择哪种窗函数比
较合适？p30图
理论上任何信号的长度都是无限的，但任何观测信号的长度都是在有限的时间段内进行的。

因此，信号采样过程必须使用窗函数，将无限长信号截断成为有限长度的信号。

从理论上看，截断过程是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数。

由卷积定理知在频域内则为信号的频谱与窗函数频谱的卷积。

由于窗函数的幅频曲线是一个无线带宽的函数，所以即使原信号为有限带宽信号，截断后信号的频谱也必然是无线带宽的。

这就说明信号的能量截断后被扩展了。

由此可见信号截断必然会带来一定的误差。

泄露取决于窗函数的旁瓣，旁瓣越小，相应的泄露越少。

窗函数选择：1、仅要求获得主瓣的频率——矩形窗。

1、 要求幅值精度高，泄露量小——汉宁窗。

这里由于两个信号频率相近但幅值不同，因此在检测过程中要求幅度进度高，应选择汉宁窗。

5、有量纲指标与无量纲指标各有什么优缺点？试举例说明。

有量纲参数指标：平均幅值、方根幅值、均方幅值、峰值四种。

优缺点：不但与机器的状态有关，且与机器的运动参数如转速、载荷等有关。

无量纲参数指标：波形指标、峰值指标、脉冲指标、裕度指标、偏斜度指标、峭度指标。

优缺点：具有对信号幅值和变化率均不敏感的特点，它们与机械的运动条件无关，只依赖于概率密度函数的形状，是一种较好的机械状态监测诊断参数。

例如，偏斜度指标表示信号概率密度函数的中心偏离正态分布的程度，反应信号的幅值分布和相对其均值的不对称性。

峭度指标，表示信号概率密度函数封顶的陡峭程度，反应信号波形中冲击分量的大小。

6.结合你自己的研究方向，谈谈如何应用自相关函数与互相关函数。

自己设计一个并解释。

相关是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。

通过反应信号之间的内积或投影大小来刻画。

自相关函数反应了信号自身取值随自变量时间前后变化的相似性。

——可从被噪声干扰的信号中找出周期成分。

正常机械噪声是由大量无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。

当机械状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅值要大得多。

特别对于早期故障，周期信号不明显是尤为重要。

Eg车床变速箱运行状态识别。

互相关函数完整的描述了两信号之间的相关情况或取值依赖关系。

P43例子。

第三章信号的频域分析
1. 谈谈你对信号频谱的物理本质是如何理解的？结合傅里叶变换的性质，试举例说明其重要作用。

在整个时间轴上的非周期信号()x t是由频率为ω的谐波()d jwt
ωω沿频率从-∞到+∞，通过积
X e
Xω就能真实地反映不同高频率谐波分叠加得到的。

由于对不同的ω，dω是一样的，所以只需()
的振幅和位移变化。

频谱是信号在频域上的重要特征，反映了信号的频率成分以及分布情况。

7个性质（线性叠加（可分离）、时移性质、频移性质、时间伸缩性、时间微分、时间积分性、卷积定理）。

2. 解释机械信号在离散化过程中产生频率混叠现象及其原因？在工程实践中如何避免频率混叠现象？
π∆过小。

移至各采样脉冲函数对应机械信号离散化过程中，若采样间隔t∆太大，使得平移距离2t
Xω就会有一部分重叠，由此造成离散信号的频谱与原信号的频谱不一致，频域序列点上的频谱()
这就导致频率混叠现象。

如果信号中的最高频率（截止频率）为max ω，则在选择采样间隔t ∆时应保证max t πω∆≤，或max 12t f ∆≤，其中max f 是信号中的最高频率（Hz ）。

在工程实际中选取采样频率时往往留有余地，一般选取采样频率s ω为处理信号最高频率的2.5~4倍。

3. 在进行信号频谱分析时，为何要加窗函数？如果要求频谱分析结果的幅值精度高，泄漏量小，应该选择什么窗函数？为什么？
理论上信号的长度是无限的，但是任何观测信号都是在有限时间段内进行观测的。

因此，信号采样过程中须使用窗函数，将无限长信号截断为有线长度的信号。

如果要求幅值精度高，泄漏量小，应选择汉宁窗函数。

因为，汉宁窗函数的旁瓣小，因而相应的泄漏量也较小，采样过程中导致的能量泄露小，能获得较高幅值精度。

要求精确获得主瓣的频率则应选择矩形窗函数。

4. 什么是倒频谱？倒频谱的量纲单位是什么？你如何利用倒频谱原理将时域中两个卷积信号转换为倒频域中相应的两个线性相加的倒频谱？
倒频谱就是对功率谱()x S f 的对数值进行傅里叶逆变换。

()()()1log p x
C q F S f -= 其中，q 是倒频率，具有与时间自相关函数()x R τ中的自变量τ相同的时间量纲。

q 值大者为高倒频率，表示频谱上的低速波动，q 值小者为低倒频谱，表示频谱上的快速波动。

()()()()()()()()
()()()
()()()()()()
()()()
0111d log log log log log log y x h y x h y x h y x h y t x t h t x h t S f S f S f S f S f S f F S f F S f F S f
C q C q C q τττ∞
---=*=-⇔=⋅⇔=+⇔=+⇔=+⎰ 工程应用：
（1） 机械中齿轮、滚动轴承等出现故障时信号的频谱上会出现难以识别的多簇调制边频带。

采
用到频谱分析可以分解和识别故障频率、原因和部位。

（2） 语音和回声分析及解卷积。

有利于问题本质的研究
5. 请说明旋转机械故障诊断中二维全息谱的原理。

工频全息谱椭圆较扁说明转子系统存在什么状态现象？
全息谱：将机组的振动信号在完成频域转换后，进一步讲频谱上的谱线加以集成而形成的谱图或轴心轨迹。

将转子测量截面上水平和垂直两方向的振动信号作傅里叶变换，从中提取各主要频率分量的频率、幅值和相位。

然后按照各主要频率分量分别进行合成，并将合成结果按频率顺序排列在一张谱图上，就得到了二维全息谱。

工频椭圆扁：支承刚度不对称或受力不均；
椭圆较大、较园则说明转子存在不平衡、轴瓦间隙大或转子永久弯曲等。

工频的二倍频圆比较大、较扁，且工频的四倍频椭圆扁，说明转子存在对中不良、受力不均、基础变形等。

工频的二倍频椭圆较大、较园，说转子存在裂纹或其它故障。

第四章循环平稳信号分析
1.给出循环平稳信号的定义，并解释机械设备循环平稳信号的特点。

某阶统计量随时间变化的信号称为非平稳信号，非平稳信号中的一个重要的子类，其统计量随时间按照周期或多周期规律变化，称这类信号为循环平稳信号。

机械设备循环平稳信号的特点：（1）正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计量基本不随时间变化。

（2）故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。

（3）统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。

2.为什么齿轮、轴承等机械设备在故障发生时，其振动信号往往具有循环平稳性？
由于齿轮、轴承等机械设备零件的结构具有对称性，其运动方式为旋转或往复，因此产生的信号中含有大量的周期成分，其以及统计量出现周期性。

此外，当轴承、齿轮等复杂机械零部件出现故障时，振动信号是典型的调制信号，及故障特征频率调制机械系统某阶共振频率，其二阶统计量出现周期性。

可见，由于机械结构和工作特点，其产生的非平稳信号具有循环平稳性，因此将机械信号视为循环平稳信号是基于客观实际，是对特定的非平稳信号的一种合理化的假设。

3.对于时间序列为整数，试给出其循环自相关函数的算法步骤。

（答案见书本86-88页）
4.如何通过循环谱识别调幅信号的调制频率和载波频率？
根据循环自相关函数三维图和循环自相关函数切片图（τ），可见循环自相关函数将载波信息和调制信息划分到了循环频率高低两个不同的频段，循环频率的高频段的信息既含载波信息又含调制信息，循环频率的低频段只含调制信息，根据这两个频段的信息，可以准确的判别载波信息和调制信息。

对于调频信号：根据循环自相关函数三维图和循环自相关函数切片图（τ），可见循环自相关函数将载波信息和调制信息划分到了循环频率高低两个不同的频段，循环频率的高频段的信息既含载波信息又含调制信息，循环频率的低频段只含调制信息，根据这两个频段的信息，可以准确的判别载波信息和调制信息。

对于调福信号，载波信息在频域内的值与其自身相等，而在循环频域内的频率信息是其载波频率的2倍。

而调制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。

利用循环频率与频率之间的相关性，用切片图可以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。

第五章非平稳信号处理方法
1. 请结合时频平面划分的不同，对比说明短时傅里叶变换与小波变换时频分辨率的区别？
（1）受到Heisenberg不确定性原理的约束（公式），短时傅里叶变换的时域分辨率与频域分辨率不可能同时任意小，要提高时间分辨率，只能降低频率分辨率，反之要提高频率分辨率，只能降低时间分辨率。

时间分辨率和频率分辨率一旦确定，则STFT在整个时频平面上的时频分辨率保持不变。

（2）小波变换则相当于通过小波尺度因子和时移因子变化去观测信号。

当a减小时，小波函数的时宽减小，频宽增大；反之亦然。

因此，小波变换的局部化是变化的，在高频处时间分辨率高，频率分辨率低，而在低频处，时间分辨率低，频率分辨率高，即具有“变焦”的性质，也就是自适应窗的性质。

用大尺度可观察信号的总体，用小尺度可观察信号的细节。

1、请结合时频平面划分的不同，对比说明短时傅里叶变换与小波变换时频分辨率的区别？
小波变换和短时傅立叶变换都是线性时频分析方法。

短时傅立叶变换：用一个在时间上可滑移的时窗来进行傅里叶变换，从而实现时间域和频率域上都具有较好的局部性的分析方法。

（STFT是一种时窗大小及形状都固定不变的时频局部化分析）其时间和频率分辨率一旦确定，则在整个时频平面上的时频分辨率保持不变。

因为信号的频率与其时间周期成反比，因此反映高频成分需要窄时窗，而反映信号低频成分需要寛时窗，短时傅立叶不
能同时满足这些要求。

短时傅立叶变换只具有单一分辨率的分析，窗函数一旦确定，其窗口的大小和形状便固定，即窗口只能在同一频率中平移而不能伸缩，因而只能实现一定程度的时频局部化，对信号无法做出仔细的分辨。

小波变换的时频窗口在相平面上不是均匀分布的。

其窗口是可调时频窗，在高频时使用窄窗口，在低频时则用宽窗口，即以不同的尺度观察信号，以不同的分辨率分析信号。

这充分体现了自适应分辨分析的思想，小波变换能够把任何信号映射到由一个母小波伸缩（变换频率）、平移（刻划时间）而形成的一组基函数上去，实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离。

在时域和频域都具有很好地局部化特性。

小波变换较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾，被称为“数学显微镜”
2、解释尺度函数和小波函数的功能，并给出小波分解三层和小波包分解三层的频带划分示意图。

小波函数由基本小波经过伸缩和平移形成的函数（a尺度因子，b时移因子）。

一般为双窗函数，具有带通性质。

小波函数的时移因子决定了它窗口的时频位置，而他的尺度因子不仅影响窗口在频域的位置也影响了窗口的形状。

当尺度减小时，小波函数在时域变窄，而在频域不仅窗口增加，而且中心位置也向高频移动。

尺度函数：通常每个基本小波都与一个尺度函数相对应，甚至有许多小波函数是通过尺度函数而生成。

与小波函数相反，尺度函数是一个低通滤波器。

由于尺度函数的正交性，小波函数的正交性以及尺度函数和小波函数之间的正交性，通过小波函数（带通）和尺度函数（低通）使信号中的低频信号和高频信号分解到相互独立的频带中，信息无冗余、无疏漏的独立化地提取出来。

频带划分见教材128页
3、解释什么是小波基函数的双尺度关系？为什么小波变换能够对信号进行时间-尺度（时-频）分
析？
双尺度关系：教材122页。

V
j 中的尺度函数()
j
t
ϕ和
j
W中的小波函数()
j
t
φ均可由
1
V
j+
中的尺
度函数
1()
j t
ϕ
+
给出。

尺度函数可以由比它小一级的尺度函数和函数h离散卷积得到。

4、简述Mallat塔形算法的基本原理和特点。

参见教材127页
它是一种无冗余的迭代算法，计算快，占用存储空间少，同时保存了信号原有的全部信息，因而可以通过逆变换恢复全部信号。

基本原理：
算法过程：在分解计算中，进行隔二抽取，将输入序列每隔一个输出一次（例如只取偶数），组成长度缩短一般的新序列。

这样每次分解等获得到的逼近信号和细节信号的数据长度是上一次逼近信号数据长度的一半。

当J次分解后，逼近信号和细节信号的数据长度缩减为原始信号长度的2j 。

在重构计算的每一步中，先在数据之间插零后在参与同低通、带通滤波器系数的运算，结果重构数据长度加倍。

5、简述小波包频带能量监测的基本原理。

教材132页
小波包信号分解是正交分解，各个分解频带的信号互相独立，他们无冗余，不疏漏，小波包信号分解遵循能量守恒原理。

小波包信号分解是将包括正弦信号在内的任意信号划归到相应的频带中，用每个频带里的能量来反映机械设备的状态。

小波包频带能量监测更具有合理性，通过相应频带里能量比例的变化，可对机械设备进行有效的动态分析与监测诊断。

第六章连续小波变换及其工程应用
1.连续小波变换和离散小波变换的各有哪些优点和缺点？
对于离散小波变换：
三种连续小波分别是谐波小波、Laplace小波和Hermitian小波，它们都具有明确的解析表达式。

谐波小波是复小波，在频域紧支，且具有完全“盒形”的频谱。

谐波小波分解算法是通过信号的FFT以及IFFT实现的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程应用价值。

随着小波层（即j ）的变大，谐波小波的频谱宽度倍增而幅值降低。

处于不同层的谐波小波总是正交的，同一层内的小波也是正交的。

分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波分解是一种小波分解。

小波小波具有“锁定”信号相位的能力。

缺点：谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内的数据点数多。

对于离散小波变换：
小波分析中广泛使用的Daubechies 类小波与样条小波都是实小波，它们没有明确的解析表达式，对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系数运用Mallat 快速算法实现的。

小波分解可以完全表征函数f(t)的全部信息(提供了一个数学上完备的描述)；
小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；
小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)。

小波变换实现上有快速算法(Mallat 小波分解算法)
小波包技术将信号无冗余、无疏漏、正交地分解到独立的频带内，每个频带里信号的能量对于机械动态分析与监测诊断都是十分有用的信息。

2.以谐波小波变换为例，说明如何实现连续小波变换的快速算法？
Newland 快速算法是指谐波小波的分解算法，通过信号的快速傅里叶变换FFT 和快速傅里叶逆变换IFFT 实现。

设有离散信号x (r)，r = 0,…, N-1,其中N =n 2 ，其谐波小波分解为s a , s= 0,…, N – 1。

令s FFT(x(r)) F ，s a 由s F 经分段、对每一段作IFFT 得到，下两式为其表达式：。