第七讲 连续型随机变量及其概率密度
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定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
1 2σ 2 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
解
(1) 由
f ( x) d x 1,
x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
书后列出了标准正态分布表.
对于x 0，我们可以直接查表求出( x) P( X x) 如果x 0，我们可由公式( x) 1 ( x)
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
若 P{ X a } 0,
连 续 型
2.3 连续型随机变量的分布密度
一、连续型随机变量及其概率密度
二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
F ( x ) P( X x )
X 在(, x]上取值的概率
考虑X 在区间( x, x x]上取值的概率的平均值
P( x X x x) F ( x x ) F ( x ) x x
d t,
u2 2
1 x tμ 令 u, 得 P { Z x } e 2 σ Xμ 故 Z ~ N (0,1). σ
d u ( x ),
2 例6 已知 X ~ N ( μ, σ ), 求 P{c X d }. X μ 2 N (0,1) 解 因 X N ( μ, σ ), 故 σ
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变, 而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ 越大, 图形越矮越胖.
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量ຫໍສະໝຸດ 高度等都近似服从正态分布.
(3) P{x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1 ) x f ( x)dx
证明
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x.
x2 x1
x2
0.9772 0.8944 0.0828 .
正态分布下的概率计算
原函数不是 初等函数
( t μ )2 2σ 2
x 1 P{ X x } F ( x ) e 2σ
dt
?
方法一:利用MATLAB软件包计算
方法二:转化为标准正态分布查表计算
正态分布与标准正态分布的关系
f ( x)
概率密度 函数图形
a b
o
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
F ( x)
1
a o
b
x
例2 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一 班车, 如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30 之间的均匀随机变量. 试求该乘客候车时间不超 过5分钟的概率. 解：设该乘客于7时X分到达此站， 则X服从区间[0，30]上的均匀分布. 其密度函数为
7 7 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) 41 . 2 2 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a, b).
2
因而有
3 2 P{Y 2} 2 3
2 3 2 1 3 3 3
3
2 20 1 . 3 27
0
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 e x , x 0, f ( x) x 0. 0, 其中 0 为常数, 则称 X 服从参数为 的指数 分布.
x2 2
, x ,
标准正态分布的分布函数表示为
( x)
x
1 e 2
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
标准正态分布性质:
1
2
(0) 0.5
() 1
3
4
( x ) 1 ( x )
若X ~ N (0,1),则P(a X b) (b) (a)
1000
1 2
f ( x)dx
e
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
e
1 2
0.607.
3. 正态分布(或高斯分布)
则不能确定{ X a } 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
{ X a } 是不可能事件 P{ X a } 0.
离 散 型
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 x 3, kx, x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 X }. 2
(1) 曲线关于 x μ 对称;
1 (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 ; 2 πσ
(3) 当 x 时, f ( x) 0;
(4) 曲线在 x μ σ 处有拐点 ;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线 ;
(6) 当固定 σ , 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变, 只是沿 着 x 轴作平移变换;
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率.
解
X 的概率密度函数为
1 1 2000 x e , x 0, f ( x) 2000 0, x 0.
(1) P { X 1000 }
Xμ 引理 若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ Xμ 证明 Z 的分布函数为
2
σ
X μ P{ Z x } P σ
P{ X μ σx } x
( t μ )2 2σ 2
μ σx 1 e 2σ
由 F ( x)
x
f ( x) d x 得
0, x 0, xx d x , 0 x 3, 0 6 F ( x) 3 x x d x ( 2 x ) d x , 3 x 4, 3 2 0 6 1, x 4.
x 0, 0, 2 x , 0 x 3, 12 即 F ( x) x2 3 2 x , 3 x 4, 4 1, x 4.
a
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续, 则有 F ( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 P { X a } 0. 证明
P { X a } lim
a x x 0 a
f ( x ) d x 0.
1 , 2 x 5, f ( x) 3 0, 其它.
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”,
即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则
2 Y ~ B 3, . 3
x1
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a )
a
f ( x) d x,
P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
f ( x) d x
f ( x) d x
a
a
f ( x) d x
f ( x) d x f ( x) d x.
1 , 0 x 30 f ( x) 30 0, 其它
令B={候车时间不超过5分钟}，
则
P( B) P{10 X 15} P{25 X 30}
1 1 1 dx dx 30 30 3 10 25
15 30
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
正态分布的分布函数
x 1 F ( x) e 2σ ( t μ )2 2σ 2
dt
标准正态分布
当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
1 ( x) e 2π
c X d ) P {c X d } P (
P( X
d
) P(
X
c
)
d μ c μ . σ σ d μ c μ 即 P {c X d } . σ σ
性质 (1) 对任意的x, f ( x) 0. (2) 其中
1 F ()
f ( x) d x 1.
f ( x) d x.
S
f ( x) d x 1
f ( x)
S1 f ( x) d x
x1
x2
1
0
x2
1
x1 x 2
S1
x
例7 设X ~ N (1,16), 查表计算 P( X 0.8); P( X 0.4); P( X 1 2)
0.8 1 X 1 0.8 1 ) (0.05) 解 : P( X 0.8) P( ) ( 4 4 4
取极限
F ' ( x)
记为f ( x)
f ( x)直观地表现了X 在某点附近取值的概率分布特征
一、概率密度的概念与性质
1.定义
设X 为随机变量 ，F ( x)为X 的分布函数, 若存在 非负可积函数f ( x), 使对于任意实数 x 有 F ( x)
x
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度.
1 2σ 2 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
解
(1) 由
f ( x) d x 1,
x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
书后列出了标准正态分布表.
对于x 0，我们可以直接查表求出( x) P( X x) 如果x 0，我们可由公式( x) 1 ( x)
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
若 P{ X a } 0,
连 续 型
2.3 连续型随机变量的分布密度
一、连续型随机变量及其概率密度
二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
F ( x ) P( X x )
X 在(, x]上取值的概率
考虑X 在区间( x, x x]上取值的概率的平均值
P( x X x x) F ( x x ) F ( x ) x x
d t,
u2 2
1 x tμ 令 u, 得 P { Z x } e 2 σ Xμ 故 Z ~ N (0,1). σ
d u ( x ),
2 例6 已知 X ~ N ( μ, σ ), 求 P{c X d }. X μ 2 N (0,1) 解 因 X N ( μ, σ ), 故 σ
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变, 而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ 越大, 图形越矮越胖.
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量ຫໍສະໝຸດ 高度等都近似服从正态分布.
(3) P{x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1 ) x f ( x)dx
证明
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x.
x2 x1
x2
0.9772 0.8944 0.0828 .
正态分布下的概率计算
原函数不是 初等函数
( t μ )2 2σ 2
x 1 P{ X x } F ( x ) e 2σ
dt
?
方法一:利用MATLAB软件包计算
方法二:转化为标准正态分布查表计算
正态分布与标准正态分布的关系
f ( x)
概率密度 函数图形
a b
o
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
F ( x)
1
a o
b
x
例2 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一 班车, 如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30 之间的均匀随机变量. 试求该乘客候车时间不超 过5分钟的概率. 解：设该乘客于7时X分到达此站， 则X服从区间[0，30]上的均匀分布. 其密度函数为
7 7 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) 41 . 2 2 48
二、常见连续型随机变量的分布 1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a, b).
2
因而有
3 2 P{Y 2} 2 3
2 3 2 1 3 3 3
3
2 20 1 . 3 27
0
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 e x , x 0, f ( x) x 0. 0, 其中 0 为常数, 则称 X 服从参数为 的指数 分布.
x2 2
, x ,
标准正态分布的分布函数表示为
( x)
x
1 e 2
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
标准正态分布性质:
1
2
(0) 0.5
() 1
3
4
( x ) 1 ( x )
若X ~ N (0,1),则P(a X b) (b) (a)
1000
1 2
f ( x)dx
e
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
e
1 2
0.607.
3. 正态分布(或高斯分布)
则不能确定{ X a } 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
{ X a } 是不可能事件 P{ X a } 0.
离 散 型
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 x 3, kx, x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 X }. 2
(1) 曲线关于 x μ 对称;
1 (2) 当x μ时, f ( x)取得最大值 ; 2 πσ
(3) 当 x 时, f ( x) 0;
(4) 曲线在 x μ σ 处有拐点 ;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线 ;
(6) 当固定 σ , 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变, 只是沿 着 x 轴作平移变换;
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率.
解
X 的概率密度函数为
1 1 2000 x e , x 0, f ( x) 2000 0, x 0.
(1) P { X 1000 }
Xμ 引理 若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ Xμ 证明 Z 的分布函数为
2
σ
X μ P{ Z x } P σ
P{ X μ σx } x
( t μ )2 2σ 2
μ σx 1 e 2σ
由 F ( x)
x
f ( x) d x 得
0, x 0, xx d x , 0 x 3, 0 6 F ( x) 3 x x d x ( 2 x ) d x , 3 x 4, 3 2 0 6 1, x 4.
x 0, 0, 2 x , 0 x 3, 12 即 F ( x) x2 3 2 x , 3 x 4, 4 1, x 4.
a
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续, 则有 F ( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 P { X a } 0. 证明
P { X a } lim
a x x 0 a
f ( x ) d x 0.
1 , 2 x 5, f ( x) 3 0, 其它.
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”,
即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则
2 Y ~ B 3, . 3
x1
同时得以下计算公式
P{ X a } F (a )
a
f ( x) d x,
P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
f ( x) d x
f ( x) d x
a
a
f ( x) d x
f ( x) d x f ( x) d x.
1 , 0 x 30 f ( x) 30 0, 其它
令B={候车时间不超过5分钟}，
则
P( B) P{10 X 15} P{25 X 30}
1 1 1 dx dx 30 30 3 10 25
15 30
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
正态分布的分布函数
x 1 F ( x) e 2σ ( t μ )2 2σ 2
dt
标准正态分布
当正态分布 N ( μ, σ 2 ) 中的 μ 0, σ 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
1 ( x) e 2π
c X d ) P {c X d } P (
P( X
d
) P(
X
c
)
d μ c μ . σ σ d μ c μ 即 P {c X d } . σ σ
性质 (1) 对任意的x, f ( x) 0. (2) 其中
1 F ()
f ( x) d x 1.
f ( x) d x.
S
f ( x) d x 1
f ( x)
S1 f ( x) d x
x1
x2
1
0
x2
1
x1 x 2
S1
x
例7 设X ~ N (1,16), 查表计算 P( X 0.8); P( X 0.4); P( X 1 2)
0.8 1 X 1 0.8 1 ) (0.05) 解 : P( X 0.8) P( ) ( 4 4 4
取极限
F ' ( x)
记为f ( x)
f ( x)直观地表现了X 在某点附近取值的概率分布特征
一、概率密度的概念与性质
1.定义
设X 为随机变量 ，F ( x)为X 的分布函数, 若存在 非负可积函数f ( x), 使对于任意实数 x 有 F ( x)
x
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度.