土木工程《线性代数》山东大学网络教育考试模拟题及答.doc

09年11月期末本科《线性代数》参考解答
线性代数模拟题1
一.单选题.
1.下列( )是4级偶排列.
(A) 4321；(B) 4123；(C) 1324
；⑼2341. 答:A
^1 3 2“"-3“
I2
«I3
2.如果Z> = ^2. a22=1, Dy =4“2I2a n- 3a22«23,那么M = ( )•
^3. a32a334^3. 2a u- 3“32七3
(A) 8；(B) -12；(C) 24；(D) -24. 答：D
3.没/!勹5均为Z7X
ZZ 矩阵，满足AB = O，则必有()•答，C
(A) A = O^B = O； (B) 4 + 5 = 0; (C) \A\=0^\B\=0；(D) |/f| + |fi|=0.
4.设/f为/z阶力阵(U3),而Z是d的伴随矩阵，又A•为常数，且6#0，士1，则必沿X 等于(
). 答：B
(A) kA9； (B) n; (C) rZ； (D) m
5.向蜇组a,，a2，....，《、.线性相关的充要条件是( ) 答：C
(A) a^a2，....，a s中有一零向M (B) a,,a2a4中任意iW个向M的分ht成比例
(C)a,中有一个向铽是其氽向M的线性组介
(D)a,,a2，....，a s屮任意一个向hi都是K氽⑹的线性姐合
6.已知我，凡是非齐次方程组= 的两个不同解,a,，a2是焱=0的基础解系,k'，k2 为任意常数，则Ar = 6的通解为( ) 答：B
(A) k x a} ^k z(a} +a2) + —~~— : (B) 4-k2(a, -a2)-I-——
(C) Ayz, ^k2(^ +久)+ ^^ ; (D) k x a{ +k2(/i' + 爲
7. A =2是A的特征值，则(A73) N的一•个特征值是() 答：B
(A)4/3 (B)3/4 (01/2 (D)1/4
8.若四阶矩阵A勹B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3, 1/4, 1/5,则行列式|B *-1 =()
(A)0 (B)24 (C)60 (D)120 答：B
9.若,4是( )，则必有= 答：A
(A)对角矩阵；(B)三角矩阵；(C)可逆矩阵；(D)正交矩阵.
10.若为可逆矩阵，下列( )恒正确. 答：A
(A) (2J)' =2?f; (B) (2/1) 1 =2/^ ••⑹=[M')']' (D) [(A f y]~]
=[(/f*r，f .
u,J
H =r 则4=^=^
3. A 〃取何值时，下列线性方程组尤解、有唯一解、有尤穷多解？有解时，求其
(1)〜=-2时，方程组无解;
二.计算题或证明题
r
3 2-2'
1.设矩阵 A= -/c 一I k
、4
2-3、
(1) M
|k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P *AP 为对角矩阵? (2) 求出P 及相应的对角矩阵。

解：(1) |/<| 为对角矩阵;
3 2-2 一
k 一 1 k
4
2-3
= 1^0, k 为K 何位吋，郞存在可逆矩阵P ，使桁P 'AP
(2)令々 = 0，WiJ|2/-J| =
2-3 一2
2
0 2 + 1 0 -4 -2
2 + 3
(2 4-1)^(2 —1)= 0 , >1, = 2, =
= 1
HA 1=23=-lfhb 乃程组u ； —/f)X = 0为
-4x, - 2x z 4- 2x ? = 0
O.r, = 0x 2 + 0x 3 = 0 , M:基础解系为 -4x, - 2X 2 + 2X 3 = 0
<-1
、
丁
-2.r, - 2X 2 + 2X 3 = 0
v
« = 2 ，V 2 = 0 :hA 3=丨时，力程组， 2X 2 = 0 ，其基础解系为：v 3 = 0
<2>
-4.1 - 2x: + 4I 3 = 0
1 1 0、
<-1 0 0
尸=
2 0 0 ，对角矩阵八=
0-10
< 0 2 1) \
、0 0 1、
2.设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为入，A*是A 的伴随矩阵，设|A|=d,证明： d/A
是A*的一个特征值。

证明：设人为/T 的一个特征值, A
A A)
A"'
\
有 |vy|=|v-，丨 H
，
ax l + x 2 + x, = 1
(a 1
1)
0 0
*1 解.- x, + ax 2 + x y = a o
解：增广矩阵 1 a 1
a =>(a-l): 0 1 0
J , +x 2 + ax y = a
2
Jia
a 2
1
0 o|
a + 2
⑵、Wl"-2时，■-解：x,= —,
(3) M V ，=丨时，仏A?力•多解，x o =0,O,O)7 ,丛础解系％ = (-1,1,0)’，a 2 =(-1,0,1/.
企部解为 AT =
+ k 2a 2 + x Q
4. 求向蜇组的秩及-个极大无关组，并把其余向说川极大无关组线性表示.
= 。

r
-i 2 ，汉2 =
<0、 3 ，汉3
= 3 0
7 = '2、 1 5 • a 5 = "1、
-1 2 << <2>
J4,
< 0 , 逛一个极人尤义约I ，Jla 3 =3a, ^a 2, a 5 = -a, -a 2 + a 4
5. 荇/f 是对称矩阵，是反对称矩阵，试证：jZf -似是对称矩眸. 证：由条件为r =/4, B T
= —B
*
有(AB- BA )T =(AB )r -{BA )T =B r A T -A T B T =(-B)A — J(-B)=AB-BA 。

线性代数模拟题2
.单选题.
1. 若(-l)
v<U4/
%H 〜a 4^,4〜是五阶行列式|人|的一项，WIJ k > /的值及该项符号为
)•
答：A
(A) A =2, Z = 3,符号为负； (B) A- = 2, / = 3符号为正； (0 k =i, / = 2 »符号为负： (D) k =A ，/ = 2 ,符号为正.
2. 下列行列式(
)的值必为零.
答：A
(A) n 阶行列式中，零元素个数多于n 2-n 个； (B) 〃阶行列式中，零元素个数小于〃2
-n 个; (0 "阶行列式屮，零元素个数多于w 个; (D) 阶行列式中，零元素的个数小于/>个. 3. 设/I,
均为"阶"阵，则必有().答：D
(A) J = / ；
(B) 5 = 0；
(C) A =
(D) AB= BA.
解:向遣矩阵
0 3 2
厂
r
l
0 3
0 =P -1 3 0
1 -1 => 0 0 0 0 0
2 1 7
5 2 0 1 1
-1
U
2 14 6
0>
<0 0 0 一 4 -4>
4.设d与Z?均为zzx/7矩阵，则必有( ). 答：C
(A) \A^-B\=\A\+\B\； (B) AB=BA ； (C) \A£\ = \B^； (D) (?f + fl)1 = J 1 + 1
•
5.如果，....，a 、线性表出，则(
) 答：D (或 A)
(A) 存在一约1不伞为$的数弋，々2k 、，使等式+ k 2a 2 +.... +々、》、成、'< (B) 汾:在-组全为本的数々，人，.…，k'，使等式/? = k {a^ + k 2a 2 +..•. + 々、//，
成立
⑹对//的线性表示式不唯一， (D)向M 组/?，％，％，....，a s .线
性相关
6. 齐次线性方程组Jx = O 有非零解的充要条件是(
)
(A) 系数矩阵J 的任意两个列向鲎线性相关，
(B) 系数矩阵J 的任意W 个列向蜇线件无关 (C )必有一列向组是其余
向蛍的线性组合 (D)任一列向蜇都是其余向蜇的线性组合
7. 设以介矩阵A 的一个特征值为入，则(入A ，2
+ I 必有特征值(
(A)入 2
十 1 (B)A -1 ⑹ 2 (D) -2
r
3 2 -T
8. 已知0 0 ci 勹对角矩阵和似，则67=()
<0 0 0、
(A)
0 :
(B) -1 :
(C)l;
(D)
2
9. 设J, A ，C 均为阶方阵，卜而( )不是运算摔.
(A) 04 + fi)+C = (C+fl) +J :
(C) (AB)C = A(BC)； (D) (AB)C = (AC)B.
10.下列矩阵
(
)不是初等矩阵.
答： B
0 0 1'
1 0 0、
"10 0、
<1 0 0
(A) 0 1 0
；(B)
0 0 0
:(C)
0 2 0
:(D)
0 1 -2
J 0 0;
、0 1 0)
.001,
<ooi,
二.计算题或证明题
L 已知鹏A ，求A'胸七J
2. 设A 为可逆矩阵，入是它的一个特征值，证明••入利且入1是A 1
的一个特征值
答：B
答：A
答：D
(B) (J + 5)C = /fC+5C ； 解：
AA
1 0 1 一 22
22
10
1 0 1_210
210
iii'：没为，的•个
A ,
因为；l 是A
的一个特征值，故^- = 2 .闵人*0，故乂*0月.人,。

3.取何值时.下列线性方程组无解、有唯一解、有尤穷多解？有解时，求其解.
t
ax{ + x2 + x,= a -3 (a 1 1 以-3、<0 0 2 +
6/
-3'
x, + ax2 + .V, =-2 o解：增广矩Pl 1 a 1 -2 0(1 0 -1 1 0 x r +x‘、+ ax y=一2 <> 1a-2
/
I 0 a + 1 一2)
(1)A2+a=0 ,方程组无解；
(2)« + 2*0，力程组有唯一解，x, = -_，X，= -------- — > x3 =---- L o
a+ 2 " a + 2 a + 2
4.求向M•组的秩及•个极大无关组，并把其余向僅用极大无关组线性表示.
r r p <1 i i -r < 1 0 0 1
2 i 1 0 2 110 0-101
«,== ，《3=，《4=。

解帚矩阵
3 i 2 0 2 12 0 0 0 1-1
、
4)
山、4 1 1 2, <0 0 0 0, 为—个极人无关绀•。

5.若/f是对称矩阵，r是正交矩阵，证明厂yr是对称矩阵.
证：凼条件知J r=/f , r’=r\ {r 'AT)r = T T A r(A^)r = T-]AT为对称矩阵.
线性代数模拟题3
一.单选题.
1.设五阶行列式|~| =/〃，依下列次序对P,,|进行变换后，苒结果是().答：C
交换第一行勹第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后ffl 4除第二行各元素.
(A) 8"z; ⑻一(C) — 8//z ；(D) —m .
4
ix + ky-z = 0
2.如果方程组j 4.v + z = 0有非零解，贝IJ (
kx-5y-z = 0
(A)女=0或女=1 : (B)众=1 或A- = 2; (C)人，=一1 成众=1 ; (D) A=-1»KA =-3.
3.设J, C, /为同阶矩阵，若厦=/，则下列各式中总是成立的有().答：A
(A) BCA 二I' (B) ACB = h(0 5JC=/；(D) CBA = I.
4.设/(, C为同阶矩阵，且>/可逆，下式( )必成立. 答•• A
(A) ^AB^AC,则5 = <?;(B)若/45=C5，则/f = C;
(0 若/4C=flC,则= (D)若BC=O,则 =
答：D
5.芯组apa2，....，的狹为 /•，则( )
答：D (A)必定r〈s; (B)向筮组中任意小于r个向说的部分组线性无关
((•)向盘组中任意r个向以线性无关;(D)向磁组中任意个r + 1向hi必定线性相漏
6.
设向觉组^«2,%线性尤关，则下列向觉组线性和关的是(
)答：C
(A) tr, ^a :,a : +cr, ;
(B) cZpCr, +a,,a 3 +a 2 +a,;
(C) or, -a 2,a 2
- a, : (D) cz, + a 2,2a 2 + 3,3»3 +
.
7.设A 、B 为n 阶矩阵，且A 勺B 相似，I 为n 阶单位矩阵，则()答：D (A)入I-A=A I-B
(B)A 勹B 有相同的特征值和特征向蜇 (C)A ~ B 都相似于一个对角矩阵 (D)kl-A l j kl-B 相似(k •足常数)
(A)a=l, b=2, c=3;
(B) a=b=c=l; (C) a=l,b=0,c=-l;
(D)a=b=l,c=0 •
(A) a, +a 2,a 2 +a A .a 4 + a 丨线性无关：
(B) a, -ar 2,a 2
-a 4,a 4 -a 丨线性尤关：
(C) a, +a 2,a 2 + a 3,a y +a 4，a 4 - a,线性无关； (D) a, +6r 2,£Z 2 +a 3,a 3 -a 4,a 4 一辽丨线4
|^.;^关.
C
l
C
1
C
3
<
1 0 0
-3'
f o
-3'
"1
0 (A)
0 1 0 ；(B) 0 1 0 ;(C)
0 1
0 ；(D)
0 1 0
k 一 3
0 1>
<0 0
1 >
I >
、o
-3 L
二.计算题或证明题 1.设A 〜B,试证明
(1)A"〜ITGn 为正整数)(2)如A 可逆，则B 也可逆，且r 1
〜B —1
证:(1)由条件得A = PBP {,
A m =(PBP~' =(PBP-1 \PBP-} \PBP~' \'2 = (P^P^ \PBP l y~2 = P
B n P~{ PIO ?T 〜/T 。

⑵ A = PBK\ WlJ J'1 =(PB/r ，)~' =PB~]P ] ，/T 1 〜/T 1 *2.如ii 阶矩阵A 满足A 2=A,证明：A 的特征饥只能为()或zi 。

证：设 A 为 A 的•个特征侦，AX = AX= A 2X = AAX = A 2X ,夼2 = 22, A = 0或A = l 。

3.
q
V/、b 取何值时，下列线性方程组无解、有唯•解、有无穷多解?有解时，求其
8.产| ()时，A 为正交矩阵，其中
答: 9.已知向贷组乂义^^^仏线性尤关，则⑹以组
答：A
h A
)时，YJ J 6, b: b 3 = b' b 2
b 3
答：B
x, + 2X 2
X 2 一
-
一 + 2x 4 = 1
-x 3 - x 4 =1 0
解：増广矩畔 1
2 1 -2
-1 2
-1 1、 1
0 0 1 0
-1
4 -1 -厂 1
X, + x 2
-x 3 + 3X 4 = a
1
1
-1 3 a
0 0 0 0
a
X|-X 2
+ + 5X 4 = b
1 -1
1
5 b
<() 0
b + 、
(1) 或6 + 2*0时，线性//程饥尤解；
(2)
:中ia=O 、且b+2=0线性"程组有无穷解,基础解系为a, = (O ，l ，l ，O)r ，
a 2 =(- 4，1,0,1)’，特解汉0 = (- l ，l,O,Of .通解 a = <% + k 2a 2 + a 0
4. 判断向皇//能否被6Z,，a :，a,线性表出，若能写出它的一种表示法.
"-8'
-3
-7 t Qfj =
<-2、 7
1 ,»
2 =
P 、 -5 0
,a 3 =
二 5'
-6 3
<-io
< 3、
、一
、一 L 5. 若方阵J 可逆，则/I 的伴随矩阵Z 也可逆，并求出Z 的逆矩阵.
证：/I 可逆，则|?f 卜0，!，1
卜0, /f =|J|/T ，，则|Z 卜0,
可逆;
(zT 1)* =1/^1(/^ 广=|/1卞.(A'1}A* = \A'1\A \A\A'1
= /,(J*) 1 =(J ')*
解：增广矩阵
f 一2
3
-5 -8
1 0 75
2 A
7 -5 -6 -3
1 一 81 -20
1
3 -7
0 0
72
一 9
-9 1 -10
/
0 0 -388 -56 z
P +能被线性衣出。