新教材高考数学第一课时等比数列的概念与通项公式练习含解析选修2

第一课时等比数列的概念与通项公式课标要求素养要求
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等比数列与指数函数的关系. 在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
新知探究
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
提示构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
提示上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.
1.等比数列的定义及通项公式
等比数列定义中的关键词：从第2项起，同一个常数
(1)等比数列的定义和通项公式
(2)通项公式的拓展：a n ＝a m q
n －m
(n ，m ∈N *
，q ≠0).
(3)等比数列的通项公式与指数型函数的关系
①当q >0且q ≠1时，等比数列{a n }的第n 项a n 是指数型函数f (x )＝a 1q
·q x
(x ∈R )当x ＝n 时的函数值，即a n ＝f (n ).
②任给指数型函数f (x )＝ka x
(k ，a 是常数，k ≠0，a >0且a ≠1)，
则f (1)＝ka ，f (2)＝ka 2
，…，f (n )＝ka n ，…构成一个等比数列{ka n
}，其首项为ka ，公比为a . 2.等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时G 2
＝ab .
拓展深化
[微判断]
1.等比数列的公比可以为任意实数.(×) 提示 公比不可以为0.
2.若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.(×) 提示 应为同一个常数.
3.常数列既是等差数列又是等比数列.(×) 提示 0数列除外. [微训练]
1.等比数列{a n }中，a 1＝3，公比q ＝2，则a 5＝( ) A.32 B.－48 C.48
D.96
解析 a 5＝a 1q 4
＝3×24
＝48. 答案 C
2. 等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第4项等于( ) A.－24 B.0 C.12
D.24
解析 由x ，3x ＋3，6x ＋6成等比数列得， (3x ＋3)2
＝x (6x ＋6)，
解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6. 第3项为－12，公比为－12
－6
＝2，
故数列的第4项为－24. 答案 A
3.4与16的等比中项是________. 解析 由G 2
＝4×16＝64得G ＝±8. 答案 ±8 [微思考]
1.等比中项与等差中项有什么区别？
提示 (1)任意两数都存在等差中项，但不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时，才存在等比中项.
(2)任意两数的等差中项是唯一的，而如果两数有等比中项，则这两数的等比中项有两个，且互为相反数.
2.设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1与q 分别满足什么条件时，{a n }是递增数列，{a n }是递减数列？
提示 (1)⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1⇔{a n }为递增数列， (2)⎩
⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，
q >1⇔{a n }为递减数列.
题型一 等比数列通项公式的应用 【例1】 在等比数列{a n }中：
(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝1
2，求n ；
(2)已知a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n . 解 设等比数列{a n }的公比为q . (1)由⎩⎪⎨
⎪
⎧a 4＋a 7＝q （a 3＋a 6）＝18，a 3＋a 6＝36，
得q ＝1
2
.
再由a 3＋a 6＝a 3·(1＋q 3
)＝36得a 3＝32，
则a n ＝a 3·q n －3
＝32×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n －3
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －8
＝1
2
，所以n －8＝1，所以n ＝9. (2)由a 7＝a 5·q 2得q 2
＝14.
因为a n >0，所以q ＝1
2
，
所以a n ＝a 5·q n －5
＝8×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n －5
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －8
.
规律方法 等比数列的通项公式及变形的应用
1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1
(a 1q ≠0)可求出等比数列
中的任意一项.
2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n ＝a m q n －m
(q ≠0)也可求出等比数列中的任意
一项.
【训练1】 (1)在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2 B.12 C.2或12
D.－2或1
2
(2)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 9－a 10
a 5－a 6
＝( ) A.16 B.8 C.4
D.2
解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，∴a 1(1＋q 3
)＝18，
a 1(q ＋q 2)＝12，q ≠－1，化为2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或1
2
.故选C.
(2)等比数列{a n }中，设其公比为q (q ≠0)，a 3＝2，a 4a 6＝16，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2
＝2，a 21q 8＝16，解得⎩⎪⎨
⎪⎧q 2
＝2，
a 1＝1.
∴a 9－a 10a 5－a 6＝a 1q 8－a 1q 9a 1q 4－a 1q 5
＝q 4＝4，故选C. 答案 (1)C (2)C 题型二 等比中项及其应用
【例2】 已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项. 解 设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，
∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2
＝168，a 1q －a 1q 4
＝42， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3
）＝42. ∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2
)，
上述两式相除，得q (1－q )＝14，∴q ＝12.
∴a 1＝
42q －q 4＝
42
12－⎝ ⎛⎭
⎪⎫124
＝96.
若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有
G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10
＝962
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1210
＝9.
∴a 5，a 7的等比中项是±3.
规律方法 (1)首项a 1和公比q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.
【训练2】 (1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________.
(2)在等差数列{a n }中，a 3＝0.如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________.
解析 (1)设这三个数所成等比数列中的项依次为a
q ，a ，aq (aq ≠0)，则a q
＋a ＋aq ＝14，a q ·a ·aq ＝64，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝14，a 3
＝64，解得a ＝4，q ＝12或2.故这三个数所成的等比
数列为8，4，2或2，4，8.
(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∴a 1＝－2d .又∵a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，∴a 2
k ＝a 6a k ＋6，即[a 1＋(k －1)d ]2
＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2
＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去). 答案 (1)2，4，8或8，4，2 (2)9 题型三 等比数列的判定
【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *
).
(1)求a 1，a 2；
(2)求证：数列{a n }是等比数列.
(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝1
3(a 1－1)，
∴a 1＝－1
2
.
又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.
(2)证明 当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13
(a n －1－1)，
得
a n a n －1＝－12.又a 1＝－12
， 所以{a n }是首项为－12，公比为－1
2
的等比数列.
【迁移1】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *
). (1)求证：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式.
(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1，∴b n ＋1＝a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)＝2b n ，又∵b 1＝a 1＋1＝2，
∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)解 由(1)知，a n ＋1＝2×2
n －1
，∴a n ＝2n
－1.
【迁移2】 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫12n ＋1
，求a n .
解 令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1
＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，
则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12n ＋1.
由已知条件知A
3＝1，得A ＝3，
所以a n ＋1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1
＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .
又a 1－3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
＝－23≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a n －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1
，
故a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n
.
规律方法 判断．．一个数列是否是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{a n }满足
a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为常数且不为零)或a n a n －1
＝q (n ≥2，n ∈N *
，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列. (2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q
n －1
(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.
(3)等比中项法：若a 2
n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *
且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.
(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b ，kb (k －1)≠0关系时，往往构造数列，方法是把a n
＋1
＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.
注：第(1)、(3)也可作为等比数列的证明方法.
【训练3】 已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4.证明：数列{a n ＋4}是等比数列. 证明 ∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.
∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴
a n ＋1＋4
a n ＋4
＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列.
一、素养落地
1.通过学习等比数列的概念及判断方法提升数学抽象及逻辑推理素养，通过运用等比数列的通项公式求项或公比、项数，提升数学运算素养.
2.等比数列的证明 (1)利用定义：
a n ＋1
a n
＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2
n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *
).
3.两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.
4.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1
共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个
量.
二、素养训练
1.(多选题)下列说法正确的有( ) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.22
，42
，62
，82
，…成等比数列
解析 A 显然正确；等比数列的公比不能为0，故B 错；C 显然正确；由于42
22≠6
2
42，故不是等
比数列，D 错. 答案 AC
2.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( ) A.16 B.16或－16 C.32
D.32或－32
解析 由a 4＝a 1q 3，得q 3
＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q
＝32. 答案 C
3.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( ) A.6 B.－6 C.±6
D.±12
解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2
＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，
∴ab ＝±6. 答案 C
4.45和80的等比中项为________. 解析 设45和80的等比中项为G ，则
G 2＝45×80，∴G ＝±60.
答案 －60或60
5.已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列. 证明 由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5).
又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列.
基础达标
一、选择题
1.在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A.16 B.27 C.36
D.81
解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2
＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 答案 B
2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A.4 B.8 C.6
D.32
解析 设a 1＝4，a n ＝128，q ＝2，则a n ＝a 1q n －1
，即128＝4×2
n －1
＝2
n ＋1
，故n ＋1＝7，得n ＝
6. 答案 C
3.在数列{a n }中，对任意n ∈N *
，都有a n ＋1－2a n ＝0(a n ≠0)，则2a 1＋a 22a 3＋a 4
＝( )
A.1
B.12
C.13
D.14
解析 由a n ＋1－2a n ＝0知a n ＋1＝2a n ，故{a n }是等比数列，且q ＝2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4＝a 1（2＋q ）
a 1q 2（2＋q ）＝
1
q 2
＝14
. 答案 D
4.等比数列{a n }的公比|q |>1，{a n }中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q 等于( ) A.－12
B.12
C.－32
D.32
解析 ∵{a n }中的项必然有正有负， ∴q <0.又|q |>1，∴{|a n |}递增或递减.
由此可得{a n }的连续四项为－24，36，－54，81. ∴q ＝－3
2.
答案 C
5.在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 3，a 7，a 16成等比数列，则公差为( ) A.34 B.－15
C.56
D.1 解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1＝1，a 3，a 7，a 16成等比数列，
得a 27＝a 3·a 16，即(1＋6d )2＝(1＋2d )·(1＋15d )，整理得6d 2
－5d ＝0，解得d ＝56或d ＝0(舍
去)，即数列{a n }的公差d ＝5
6，故选C.
答案 C 二、填空题
6.等比数列{a n }中，a 1＝1
8，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________.
解析 a 4＝a 1q 3＝18
×23
＝1，
a 8＝a 1q 7＝18
×27＝16，
∴a 4与a 8的等比中项为±16＝±4. 答案 ±4
7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________. 解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5
＝132，∴q ＝12.
∴这4个数依次为80，40，20，10. 答案 80，40，20，10
8.在正项等比数列{a n }中，若3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 2 021－a 2 020
a 2 023－a 2 022＝________.
解析 设正项等比数列{a n }的公比q ＞0， ∵3a 1，1
2
a 3，2a 2成等差数列，
∴2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2
＝3a 1＋2a 1q ，
∴q 2
－2q －3＝0，q ＞0，解得q ＝3. 则原式＝a 2 021－a 2 020q 2（a 2 021－a 2 020）＝1q 2＝1
9
.
答案 19
三、解答题
9.在等比数列{a n }中.
(1)已知a n ＝128，a 1＝4，q ＝2，求n ； (2)已知a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1； (3)已知a 1＝2，a 3＝8，求公比q 和通项公式. 解 (1)∵a n ＝a 1·q n －1
， ∴4×2
n －1
＝128，∴2
n －1
＝32，
∴n －1＝5，n ＝6. (2)∵a n ＝a 1·q
n －1
，∴a 1＝
a n q n －1＝62554－1
＝5，故a 1＝5. (3)∵a 3＝a 1·q 2
，即8＝2q 2
， ∴q 2
＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，a n ＝a 1q
n －1
＝2×2
n －1
＝2n
，
当q ＝－2时， a n ＝a 1q n －1
＝2(－2)n －1
＝(－1)
n －12n
，
∴数列{a n }的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为a n ＝2n 或a n ＝(－1)n －12n .
10.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝
n ＋2n S n (n ＝1，2，3，…).证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列.
证明 由a 1＝1，a n ＋1＝
n ＋2n S n ，得a n >0，S n >0. 由a n ＋1＝n ＋2n
S n ，a n ＋1＝S n ＋1－S n ， 得(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，
整理，得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，
所以S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，则S n ＋1
n ＋1S n n
＝2. 因为S 11＝a 11＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列. 能力提升
11.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则a 53的值为
( )
14
12，14
34，38，316
…
A.116
B.18
C.516
D.54 解析 第一列构成首项为14，公差为14的等差数列，所以a 51＝14＋(5－1)×14＝54
.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为54，公比为12
的等比数列，所以a 53＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝516
. 答案 C
12.设关于x 的二次方程a n x 2
－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用a n 表示a n ＋1；
(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n －23是等比数列；
(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式.
(1)解 根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝a n ＋1a n ，
αβ＝1
a n
.
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
得6a n ＋1a n －2
a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13
.
(2)证明 因为a n ＋1＝12a n ＋13，
所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
a n －23.
若a n ＝23，则方程a n x 2
－a n ＋1x ＋1＝0，
可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.
此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0，
所以a n ≠23，即a n －23≠0.
所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列.
(3)解 当a 1＝76时， a 1－23＝12，
所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列.
所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，
所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，n ＝1，2，3，…，
即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，n ＝1，2，3，….
创新猜想
13.(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 可能的一个值是( ) A.52
B.32
C.34
D.12
解析 由题意可设三角形的三边分别为a q ，a ，aq (aq ≠0).因为三角形的两边之和大于第三边，所以①当q >1时，a q ＋a >aq ，即q 2－q －1<0，解得1<q <1＋52
；②当0<q <1时，a ＋aq >a q ，即q 2＋q －1>0，解得－1＋52
<q <1. 综上，q 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋52，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋52，则可能的值是32与34. 答案 BC
14.(多空题)若等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2，则a n ＝________；若{b n }是等比数列，且b 2＝a 3，b 3＝a 7，b 6＝a k ，则k ＝________.
解析 由a 4－a 3＝2知等差数列{a n }的公差d ＝2，又a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，故a 1＝4，则a n ＝2n ＋2，所以b 2＝8，b 3＝16，得等比数列{b n }的公比q ＝2，b 1＝4.又b 6＝a k ，故2k ＋2＝4×26－1，解得k ＝63.
答案 2n ＋2 63。