湖北省孝感高级中学—学高二数学下学期期末考试试题

湖北省孝感高级中学2012—2013学年度高中二年级下学期期末考试
数 学（理科）
考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1． 复数5
2
i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i -
2． 已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==-r r
， 且ka b +r r 与2a b -r r 互相垂直，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．
15 C ．35 D ．7
5
3． 在空间四边形OABC 中，OA a,OB b,OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r
，点M 在OA 上，且2OM MA =u u u u r u u u r ，
点N 为BC 中点，则MN u u u u r
等于（ ）
A ．121232a b c -+r r r
B ．211322a b c -++r r r
C ．111222a b c +-r r r
D ．221332
a b c +-r r r
7． 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，其高应为（ ）
A 2033cm
B ．100cm
C ．20cm
D ．20
3cm 8． 在ABC ∆中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，//DE BC 且2AD DB =，那么ADE ∆与四边形DBCE 的面积比为（ ）
A ．2:1
B ．4:9
C ．4:5
D ．2:3
9． 已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，直线2
:sin()4
l π
ρθ-
=
，则直线l 与圆C 的位置关系为（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
10．已知函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的可导函数，满足()2()xf x f x '<，若0a b <<，
则（ ）
A ．2
2
()()a f b b f a > B ．2
2
()()a f a b f b > C ．22
()()
a f
b b f a < D ．22
()()a f a b f b <
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

请将各题的答案填写在答题卷中对应的横线上。

11．写出命题“至少有一个正整数，它既不是合数，也不是素数”的否定_______________. 12．已知,,x y z R ∈，2
2
2
1x y z ++=，则22x y z ++的最大值为____________. 13．如图，点A 、B 、C 都在O e 上，过点C 的切线交AB 的延长线于
点D ，若5,3,6AB BC CD ===，则线段AC 的长为________. 14．在极坐标系中，曲线1:4sin C ρθ=上的点到直线
2:()6
C R π
θρ=
∈的距离的最大值为_________.
15．平面内，1条直线，将平面分割成两部分；两条相交直线，将平面分割成4部分；3条两
两相交的直线，最多可以将平面分割成7部分； 4条两两相交的直线，最多可以将平面
分割成11部分；则()n n N *
∈条两两相交的直线最多可以将平面分割成______部分. 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知x 为实数，2
21
,2,12
a x
b x
c x x =+
=-=-+，求证：,,a b c 中至少有一个不小于1.
17．（本小题满分12分）已知0a >，设命题:x
p y a =在R 上单调递增；命题:q 不等式
210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若“p 且q”为假，“p 或q”为真，求a 的取值范围.
18．（本小题满分12分）如图所示，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，
平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =.
（1）求点A 到平面MBC 的距离；
（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值. 19．（本小题满分12分）某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到
了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度υ（单位：/m s ）与时间t （单位：s ）满足函数关系式
2(010),()460(1020),140(2060),t t t t t t υ⎧≤≤⎪
=+<≤⎨⎪<≤⎩
某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1min 行驶的路程超过
7673m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？
20．（本小题满分13分）已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>与直线10x y +-=相交于,A B
两点. （1） 当椭圆的半焦距1c =，且2
2
2
,,a b c 成等差数列时，求椭圆的方程；
（2） 在（1）的条件下，求弦AB 的长度； （2） 当椭圆的离心率e 满足
32e ≤≤，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求椭圆长轴长的取值范围.
21．（本小题满分14分）已知函数2
2
2()ln (1),()2(1)ln(1)21x f x x g x x x x x x
=+-=++--+. （1） 设()()h x g x '=，求()h x 的单调区间及最大值；
（2） 求()f x 的单调区间； （3） 若不等式1(1)
n a
e n
++≤对n N *∀∈都成立（其中e 为自然对数的底数）
，求a 的最大值.
理科数学答案
一、选择题
BDBBB BACAC 二、填空题
11．任意一个正整数，它是合数或素数；
12．3
13．
92
14．2
15．
2
1(2)2
n n ++ 三、解答题
16．证明：假设,,a b c 都小于1，则………………………………………………………………2分
3a b c ++<
而2
271
222()3322
a b c x x x ++=-+=-+≥矛盾………………………………………8分
∴假设不成立
∴,,a b c 中至少有一个不小于1……………………………………………………………12分
17．解：若p 真：1a >……………………………………………………………………………2分
若q 真：2
4004a a a ∆=-<⇒<<………………………………………………4分
∵p 且q 为假，p 或q 为真
∴p 真q 假或p 假q 真…………………………………………………………………6分 ∴14a a >⎧⎨
≥⎩或01
04a a <≤⎧⎨<<⎩
∴4a ≥或01a <≤……………………………………………………………………12分
18．取CD 的中点O ，连接OB 、OM ，则,OB CD OM CD ⊥⊥.
又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD .取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、
y 轴、z
轴，建立空间直角坐标系，如图，OB OM ==
(1,0,0),(0,(0,C M B A .
（1）设(,,)n x y z =是平面MBC
的法向量，则BC BM ==u u u r u u u u r
，由
n BC ⊥u u u r
得0x +=；
由n BM ⊥u u u u r
0=.
取1,1),(0,0,n BA =-=u u u r
，则距离BA n d n
⋅==
u u u r .……………………6分 （2
）((1,CM CA =-=-u u u u r u u u r
.
设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z '''=，
由11,,
n CM n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u r u u u r
得0,0.x x ⎧''-+=⎪⎨
'''-+=⎪⎩
解得,x y z ''''==
，取1,1)n =.
又平面BCD 的法向量为2(0,0,1)n =
，则121212cos(,)n n n n n n ⋅=
=⋅，……………10分
设所求二面角为θ，
则sin θ==.……………………………………12分 19．解：设此颗粒输送仪1分钟行驶的路程为S ，则
60
()S v t dt =⎰
102060
10
20
102060
20
10
20
3102206001020()()()(460)1401/(260)/140/31000(2000800)(84002800)
31
71337673
3
v t dt v t dt v t dt
t dt t dt dt
t t t t =++=+++=+++=+-+-≈<⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 答：此输送仪不能被列入拟挑选对象之一.
20．解（1
）222
2221
21a c a c b b c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎪⎩
∴椭圆的方程为22
132x y +=………………………………………………………………4分 （2）将10x y +-=与22
132
x y +=联立得 25630x x --=
∴121263
,25
x x x x +=
=-
∴AB ==
…………………………………………8分（3）将10x y +-=与22221x y a b +=联立得2222222
()20a b x a x a a b +-+-=
∴2
1222
2a x x a b +=+
222
1222
a a
b x x a b -=+
222
1212121222
(1)(1)1()b a b y y x x x x x x a b -=--=-++=+
∵O 与AB 为直径的圆的原点
∴OA OB ⊥u u u r u u u r
∴12120x x y y +=即222222
2
222
0a a b b a b a b a b
--+=++ ∴2222
0a b a b +-=
∴22
21
a b a =-
又∵32
e ≤≤
∴2222
22
1132
c a b e a a -≤==≤ ∴2212
23
b a ≤≤
∴
22212
23
a b a ≤≤ ∴2222
12
213
a a a a ≤≤-
∴
2
a ≤≤
2a ≤≤
∴椭圆长轴长的取值范围为……………………………………………13分
21．解：（1）()2ln(1)2222ln(1)2h x x x x x =++--=+- (1)x >-
22()211
x
h x x x -'=
-=
++ 令()0h x '>则10x -<<
令()0h x '<则0x >
∴()h x 的单调增区间为(1,0)-，单调减区间为(0,)+∞
∴max ()(0)0h x h ==………………………………………………………………………4分
（2）2212(1)()2ln(1)1(1)x x x f x x x x +-'=+⋅-++222
2(1)ln(1)2()
(1)(1)
x x x x g x x x ++--==++ 由（1）知()()0h x g x '=≤ ∴()g x 在(1,)-+∞上单调递减 又∵(0)0g =
∴10x -<<时()0g x >此时()0f x '>
0x >时()0g x <此时()0f x '<
∴()f x 的单调增区间为(1,0)-，单调减区间为(0,)+∞…………………………………8分
（3）max ()(0)0f x f ==即2
2
ln (1)01x x x
+-≤+
∴22
(1)ln (1)0x x x ++-≤
∵1(1)n a
e n
++≤恒成立
∴1()ln(1)1n a n
++≤恒成立 又∵111n +
>即1
ln(1)0n
+> ∴11
ln(1)
a n n
≤
-+恒成立.
令
111,()(01)ln(1)x G x x n x x
==-<≤+
则22
11
()(1)ln (1)G x x x x '=-+++
2222(1)ln (1)0(1)ln (1)
x x x x x x ++-=≤++
∴()G x 在(0,1]上为减函数
∴min 1
()(1)1ln 2
G x G ==
- 又()a G x ≤恒成立
∴min 1
()1ln 2
a G x ≤=
- ∴a 的最小值为1
1ln 2
-……………………………………………………………………14分。