2019版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 三角形中的几何计算教案 新人教A版必修5

3．若锐角△ABC 的面积为 10 3，且 AB＝5，AC＝8，则 BC 等于________． 解析：由面积公式，得 S＝12×AB×AC×sin A＝10 3，
所以 sin A＝250×83＝ 23.因为 A∈(0，π2)，
所以|m＋n|＝ （ 2＋cos A－sin A）2＋（cos A＋sin A）2
＝
4－4sinA－π4.
因为|m＋n|＝2，所以 sinA－π4＝0，
又 0<A<π，所以－π4<A－π4<34π，
所以 A－π4＝0，即 A＝π4.
(2)因为 c＝ 2a，A＝π4，所以ac＝ssiinn CA＝ 2， 所以 sin C＝1， 又 0<C<π，所以 C＝π2. 所以△ABC 为等腰直角三角形，S△ABC＝12×(4 2)2＝16
(2018·陕西部分学校摸底考试)在△ABC 中，设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(cos A，sin A)， n＝( 2－sin A，cos A)，且|m＋n|＝2. (1)求角 A 的大小； (2)若 b＝4 2，c＝ 2a，求△ABC 的面积．
解：(1)因为 m＋n＝( 2＋cos A－sin A，cos A＋sin A)，
1．在△ABC 中，边 BC，CA，AB 上的高分别记为 ha，hb，hc， 那么容易证明：ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝ asin B＝bsin A. 2．知道三角形的两边与一角或者两角与一边求面积时一般用(2) 中公式比较方便，在求解的过程中正弦定理的应用是解题的关 键．
三角形中几何计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用 正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快 解决． (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何 条件．
如图，在△ABC 中，a，b，c
分别是角 A，B，C 的对边，B＝45°，b＝ 10，
AB⊥AD，AB＝1，AC＝ 7，∠ABC＝23π， ∠ACD＝π3. (1)求 sin∠BAC； (2)求 DC 的长．
【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得：AC2＝BC2＋BA2－ 2BC·BAcos B， 即 BC2＋BC－6＝0， 解得：BC＝2 或 BC＝－3(舍)， 由正弦定理得：sin∠BCBAC＝siAnCB⇒sin∠BAC＝BCAsiCn B＝ 721. (2)因为 AB⊥AD， 所以∠CAD＋∠BAC＝π2，
(2)由题设可得∠CAD＝π2，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面
1
π
积的比值为2AB1·AD·sin 6＝1.
2AC·AD
又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC＝2 3，所以△ABD 的面
积为 3.
三角形面积计算的解题思路 对于此类问题，一般用公式 S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B 进行求解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角 形，转化为求三角形的面积． (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两 边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC 的面积 为________．
解析：由siBnCA＝siAnBC，知 sin C＝1，则 C＝90°，
所以 B＝60°，从而 S△ABC＝12AB·BC·sin B＝ 23.
答案：
3 2
探究点 1 与三角形面积有关的计算问题 (2017·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分
A．12
B．
3 2
C． 3
D．2 3
解析：选 B.S△ABC＝12|AB|·|AC|sin A
＝12×1×2× 23＝ 23.
已知△ABC 的面积为32，且 b＝2，c＝ 3，则( )
A．A＝30°
B．A＝60°
C．A＝30°或 150°
D．A＝60°或 120°
解析：选 D.由 S△ABC＝12bcsin A＝32， 得 3sin A＝32，sin A＝ 23， 由 0°<A<180°，知 A＝60°或 A＝120°.
所以 cos∠CAD＝sin∠BAC＝ 721，
sin∠CAD＝ 1－37＝277，
所以 sin D＝sin∠CAD＋π3＝277×12＋ 721× 23＝5147， 由正弦定理得：
sin∠DCCAD＝siAnCD⇒DC＝ACssinin∠DCAD＝
7×2 7 57
7 ＝4
5
7 .
14
1．在△ABC 中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC 的面
积是 ( )
A．9
B．8
C．9 3
D．18 3
解析：选 C.由题知 A＝180°－120°－30°＝30°，
所以 sin
360°＝sin
3b0°，
所以 b＝6，所以 S＝12×6×6sin 120°＝9 3.
2．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
规范解答
三角形中的综合问题
(本题满分 12 分)已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，
C 的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若 a＝b，求 cos B；
(2)设 B＝90°，且 a＝ 2，求△ABC 的面积．
【解】 (1)由题设及正弦定理可得
b2＝2ac.
(2 分)
又 a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
(10 分)
所以△ABC 的面积为12× 2× 2＝1. (12 分)
(1)对正弦定理、余弦定理及三角公式要熟练掌握其形式及特 点，并结合条件确定边、角之间的关系．如余弦定理的推论 cos B＝a2＋2ca2c－b2. (2)使用简洁、准确的数学语言描述解答过程，是解答得分的根 本保证．如本例(1)中“由题设及正弦定理”，(2)中“由勾股定 理得 a2＋c2＝b2”将正弦定理、余弦定理与已知条件结合列出 对应表达式，是解三角问题的规范格式．
(2)由余弦定理，得 a2＋b2－ab＝4，由正弦定理及 sin B＝2sin A，
得 b＝2a，
联立得方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，解得 a＝233，b＝433，
所以△ABC
的面积
S＝12absin
C＝2 3
3 .
探究点 2 三角形中的线段长度和角度的计算 如图，在平面四边形 ABCD 中，
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
在△ABC 中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则 S△ABC 的值为( )
解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角 形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合 适的方法、知识进行求解． (2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考 查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条 件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
(3 分)
由余弦定理可得 cos B＝a2＋2ca2c－b2
＝14.
(6 分)
推出a，b，c间 的关系，再利用 余弦定理，是本 题关键
(2)由(1)知 b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
(8 分) 故 a2＋c2＝2ac，进而可得 c＝a＝ 2.
忽略B＝90°导 致无法求解
章解三角形
第 2 课时 三角形中的几何计算
第一章 解三角形
1.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用． 2.能够运用正、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问 题．
三角形的面积公式
(1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc 分别表示边 a，b，c 上的高)． (2)S＝12absin C＝_12_b_c_s_in__A__＝_12_a_c_s_i_n_B__． (3)S＝12(a＋b＋c)·r(r 为△ABC 内切圆的半径)．
在本例(2)中，去掉条件“△ABC 的面积为 3”，求
(1)△ABC 周长的取值范围；
(2)△ABC 面积的最大值．
解：(1)由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 即 b2＝a2＋c2＋ac.
又 b＝4， 所以 16＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－a＋2 c2. 所以34(a＋c)2≤16，所以(a＋c)2≤634.
别为 a，b，c，已知 sin A＋ 3cos A＝0，a＝2 7，b＝2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积. 【解】 (1)由已知可得 tan A＝－ 3，所以 A＝23π. 在△ABC 中，由余弦定理得 28＝4＋c2－4ccos23π， 即 c2＋2c－24＝0.解得 c＝－6(舍去)，c＝4.
即
4<a＋c≤8 3
3.所以
8<a＋b＋c≤4＋8 3
3 .
(2)由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 即 b2＝a2＋c2＋ac，又 b＝4，
所以 16＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac.即 ac≤136.
所以
S△ABC＝12acsin
B≤12×136×
23＝4
3
3 .
即△ABC 面积的最大值为433.
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a， b，c.已知 c＝2，C＝π3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sin B＝2sin A，求△ABC 的面积． 解：(1)由余弦定理，得 a2＋b2－ab＝4，又△ABC 的面积等于 3， 所以12absin C＝ 3，得 ab＝4， 联立得方程组aa2b＋＝b42－ab＝4， 解得 a＝2，b＝2.
＝ 22×255＋ 22× 55＝31010，
由正弦定理得 a＝bssiinnBA＝ 10×1010＝3 2. 2
(2)由余弦定理得 c2＝(3 2)2＋( 10)2－2×3 2× 10×255＝4， 所以 c＝2，又因为 D 为 AB 的中点， 所以 BD＝1. 在△BCD 中，由余弦定理得 CD2 ＝ BD2 ＋ BC2 － 2×BD×BC×cos B ＝ 12 ＋ (3 2 )2 － 2×1×3 2× 22＝13， 所以 CD＝ 13.
若 sin A＝232，a＝2，S△ABC＝ 2，则 b 的值为(
)
A． 3 C．2 2
B．3
2 2
D．2 3
解析：选 A.因为△ABC 为锐角三角形，sin A＝232，所以 cos A ＝13.由 S△ABC＝12bcsin A＝ 2，得 bc＝3 ①.由 cos A＝b2＋2cb2c－a2 得 b2＋c2＝6 ②.联立①②，解得 b＝ 3，故选 A.
探究点 3 三角形中的综合问题 (2018·郑州一中期末检测)在△ABC 中，角 A，B，C 的
对边分别为 a，b，c，且满足 bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)． (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝4，△ABC 的面积为 3，求△ABC 的周长．
【解】 (1)因为 bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)，所以 bcos A＝ (2c＋a)(－cos B)． 由正弦定理可得，sin Bcos A＝(－2sin C－sin A)cos B， 即 sin(A＋B)＝－2sin Ccos B＝sin C. 又角 C 为△ABC 的内角，所以 sin C>0，所以 cos B＝－12.又 B∈(0，π)，所以 B＝23π. (2)由 S△ABC＝12acsin B＝ 3，得 ac＝4. 又 b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. 所以 a＋c＝2 5，所以△ABC 的周长为 4＋2 5.
cos
∠ACB＝2
5
5 .
(1)求边长 a；
(2)设 AB 中点为 D，求中线 CD 的长．
解：(1)由 cos ∠ACB＝255，∠ACB∈(0°，90°)，
得 sin ∠ACB＝ 1－cos2∠ACB
＝
1－2

5
52＝

55，
sin A＝sin(B＋∠ACB)
＝sin Bcos ∠ACB＋cos Bsin ∠ACB