高三数学数学归纳法(二)

高三数学数学归纳法

※第十三章极限

●体系总览

●考点目标定位

1.数学归纳法、极限

要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

（2）了解数列极限和函数极限的概念.

（3）掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限. （4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

●复习方略指南

极限的概念和方法是近代数学的核心内容，微积分学的基本

概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用，并在现代

数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主

要内容由两部分组成，一是数学归纳法，二是极限.学习极

限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限

与函数连续性的渐进性.

13.1 数学归纳法

●知识梳理

1.数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学

命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n=n0（n0是使

命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.

2.数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探

求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明. 特别提示

（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;

（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标.

●点击双基

1.设f（n）=+++...+（n∈N *），那么f（n+1）－f（n）等于

A. B.

C.+

D.－

解析：f（n+1）－f（n）= + +...+ + +－（++...+）=+－=－.

答案：D

2.（2004年太原模拟题）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为

解析：2002=4×500+2，而an=4n是每一个下边不封闭的正

方形左、上顶点的数.

答案：D

3.凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数

f（n+1）为

A.f（n）+n+1

B.f（n）+n

C.f（n）+n－1

D.f（n）+n－2

解析：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶

点与原n－2个顶点连成的 n－2条对角线，及原先的一

条边成了对角线.

答案：C

4.用数学归纳法证明"（n+1）（n+2）*...・（n+n）=2n・1

・3*...・（2n－1）"，从"k到k+1"左端需增乘的代数式为A.2k+1B.2（2k+1）C.D.

解析：当n=1时，显然成立.

当n=k时，左边=（k+1）（k+2）*...・（k+k），

当n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）*...・（k+1+k）（k+1+k+1）=（k+2）（k+3）*...・（k+k）（k+1+k）（k+1+k+1）

=（k+1）（k+2）*...・（k+k）=（k+1）（k+2）*...・（k+k）2（2k+1）.

答案：B

5.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个

数的变化规律，试猜测第n个图形中有_________个点.

解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一

个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第

三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;...;依次

类推，第n个图形中除中心外有n条边，每边n－1个点，故第n个图形中点的个数为n（n－1）+1.

答案：n2－n+1

●典例剖析

【例1】比较2n与n2的大小（n∈N *）.

剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.

解：当n=1时，21＞12，

当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，

当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，

猜想：当n≥5时，2n＞n2.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=5时，25＞52成立.

（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，

那么2k+1=2・2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C+C+C=k2+2k+1=（k+1） 2.

∴当n=k+1时，2n＞n2.

由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立. 综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n＜n2.

评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩.

深化拓展

当n≥5时，要证2n＞n2，也可直接用二项式定理证：2n=（1+1）n=C+C+C+...+C+C+C＞1+n++=1+n+n2－n＞n2.

【例2】是否存在常数a、b、c使等式1・（n2－12）+2（n2－22）+...+n（n2－n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.

剖析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n∈N*，a、b、c所确定的等式都成立.

解：分别用n=1，2，3代入解方程组

下面用数学归纳法证明.

（1）当n=1时，由上可知等式成立;

（2）假设当n=k+1时，等式成立，

则当n=k+1时，左边=1・［（k+1）2－12］+2［（k+1）2－22］+...+k［（k+1）2－k2］+（k+1）［（k+1）2－（k+1）2］=1・（k2－12）+2（k2－22）+...+k（k2－k2）+1・（2k+1）+2（2k+1）+...+k（2k+1）

=k4+（－）k2+（2k+1）+2（2k+1）+...+k（2k+1）=（k+1）4－（k+1）2.

∴当n=k+1时，等式成立.

由（1）（2）得等式对一切的n∈N*均成立.

评述：本题是探索性命题，它通过观察--归纳--猜想--证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的