模糊数学教程第6章 确定隶属函数的方法

iM
m,
i
n
其中 M { i e ; i 1 , 2 , . . . , n } , i
表示集合 M 的元素的个数，而 [0,1] 是事先给
定的标准。 (7)以 m 作为 A(u0 ) 的估计值，或直接计算
1 m n
m
i 1
n
i
,
1 e n
e
i 1
n
i 1 n
i
, 1 , , )是权重向 ( u , u , , u ) U ,( 其中 u 1 n 1 2 n
( u ) [,] 0 1 量，b是一个适当选取的常数，以保证 A
(3)混合型 如果决定 A(u) 的 Ai (ui ) 可分成两部分，一部分是累加 因素，一部分是乘积因素，则可令
用Dephi法确定 A 的隶属函数 A ( u ) 的步骤如下:
~
~
⑴ 提出影响 A 的主要因素，连同较为详尽的资料 发送选定的n位专家，请专家对于取定的 u 0 U , 给 出隶属度 A(u0 ) 的估值 m ⑵设第ｉ位专家第一次给出的估计值为 m i 1 ,2 ,. . . ,n ) . 1 i(
(5) -型分布；
(6) Cauchy-型分布；
用模糊数学处理带有模糊性的问题时 (7) 岭型分布选择适当的模糊分布函数很重要，否 见教材！ 则会脱离实际情况，从而影响效果， 各式中的参数由实际问题决定！
三分法（Trichotomy ） 基本思想：用随机区间的思想来处理模糊性的试 验模型，在某些场合适用此法来求隶属函数。
§6.３ 模糊统计法
模糊统计法简言之即通过模糊试验来得元素 隶属度。模糊试验四个要素： （１）论域Ｕ，所论问题之范围； （２）Ｕ中的一个确定元素ｕ； （３）Ｕ中的一个随机运动的普通集合Ａ*,Ａ* 联系着一个模糊集 A , Ａ*的每一次确定，都是对
相应于 A 的模糊概念的一个确定划分，可以看作
A 的一个显影，表示模糊概念的一个近似外延
（４）条件Ｓ，它联系着对模糊概念所进行的划分 过程的全部客观或心理的因素，制约者Ａ*的运动。
Remark:
模糊统计法的基本要求是在每次实验中，对u0是 否属于 A 作出确切的判断，即要求在每次试验中， Ａ*必须确定。 模糊统计试验的特点：在各次试验中 u0固定，Ａ*是变的，这点不同于随机试验. 隶属度计算公式为:
Remark:
2 11
通常，具有正态分布，设
2 2 2
N ( a , ) , N ( a , ) , 则上述隶属函数可化为
xa1 A(x) 1 1 1
x a2 A3 (x) 2
x x a a 1 2 A ( x ) 2 1 2
（４）对某些模糊概念，虽然直接 给出其隶属函数比较困难，但却可 以比较两个元素相应的隶属度，此 时可用相对选择法（见§6.４ ）求的隶属函数； （５）若一个模糊概念是由若干个模糊因素复合 而成的，则可先求各因素模糊集的隶属函数，再 综合出模糊概念的隶属函数。
§6.２ Delphi法
A 是Ｕ上待确定其隶属函数的模糊集， 设Ｕ为论域，
( ) 1的连续随机 定理６.１ 设 ( , ) 是满足 P
向量。对于 ( , ) 的每一个取点，都联系着一个映射
e : X P { A , A , A } ( , ) 3 1 23
A 1,x e(,) (x) A2, x A ,x 3
nii反映了第i个因素的重要程度生将优秀生分成思想好学习好身体好团结好纪律好诸因素学生属于优秀生的隶属度就等于u属于5个因素的隶属度au?权平均即例如用模糊集表示学生集合上的优秀a?的加iiau?51iiiiau?au?2乘积平均型3混合型如果决定的可分成两部分一部分是累加因素一部分是乘积因素则可令au?iiau?111mimkiijmjmjjiau?bau?a?u????????其中1112mkuu??为两权重向量且ukn1b为正实数权重11m?11k?可通过专家调查获取也可通过试验取点得到形如1122nnauau?auau????的若干组值再用线性回归方法求出待定权重例子见教材第145页例64
1 2 n
k
其中mi是第i位专家的估计值，并请每个人标出各自对
,e 所做估计值 的信任度，记为 e,e 1 2, n, 这里ei表示第i
位专家对自己的估计的把握程度，并且规定 ei [0,1], 第 有绝对把握时， ei＝１；毫无把握时，取ei＝０； 其
1 （６）计算 m M
M

它情形，取 0 ei 1.
u 0 对 A 的隶属频率 f n
A
*
覆盖 u 0 的次数
n
其中n为试验次数。实践证明，随着n的增大，隶属 频率也会呈现稳定性，频率稳定所在的那个数，称 为 u 0 对 A 的隶属度 概率统计(a)与模糊统计(b)试验的区别：
A
.
A
S
A不动
变动
A

u
0
*
U0固定
Ｕ A*变动
(a)
(b)
例１、模糊统计试验的应用 设U=[0, 100]（单位：岁），A 是“青年人”在 Ｕ 上的模糊集，取 u0=27, 试用模糊统计试验来确定
第6章 确定隶属函数的方法
一、确定隶属函数的原则 二、Delphi法 三、模糊统计法 四、增量法 五、因素加权平均法
隶属函数(Membership function)是建 立模糊集的基础，它在模糊数学中占有 突出的地位。隶属函数的确定，无论从 理论上还是实践上都是模糊数学及其应 用的基本而关键的问题。本章介绍确定 隶属函数的原则和方法。
(x) 这里
x
1 2
e dt
t2 2
增量法（Incremental）
F ( X ) , 例１、设论域Ｘ＝[0, 200]（单位:岁），又设 A
且定义 A 为老年，求其隶属函数 A(x).
A ( x ) 也有一个增量 解：任给x一个增量 x , 相应地 假定 A ( x x ) A ( x ) ,

① 与 x 成正比； ② 对同样大的 x , 若x越大，则 也越大；
应越小 ③ 因为不超过１，所以越接近１，
k x x ( 1 ) ,其中k是比例常数 于是有
kx(1 ), 再令 x 0, 上式两边同除以 x , 则有 x k x2 d 有微分方程 kx(1 ), 解得 (x) 1ce 2 dx
这里c为积分常数，适当选择k和c，则可完全确定
因素加权综合法
实际问题中有时会遇到这样的模糊集，它 由若干个因素相互作用而成，而每个因素由可以用 模糊集来表示，此时的论域可以表示为n个因素的
F ( U ) ( i 1 , . . . . , n ) 1 U ,A Descartes乘积，即 UU i i n
1,x a A(x) 0,x a
0,x a A(x) 1,x a 0, x a A ( x ) 1 , a x b 0, x b
1
a
1
a
1
a
b
(２) 正态分布(normal distribution )： ①偏小型
1, xa A(x) ( xa )2 ,x a e
A (u) iA(u i i)
i 1 5
(2)乘积平均型
若 A(u) 随每个 (A 按比例变化，每个 Ai (ui ) ( u) ) i i
i
对 A(u) 都是必要的，且当任意一个 Ai (ui ) 为零时， 都为零，则可令 A(u) A(u)
A ( u ) b u) A i( i
( ,1 , , ) , 1 m
( , , , )可通过专家调查获取，也可通过试验 1 1 k
取点，得到形如
( A ( u ) , A ( u ) , , A ( u ) , A ( u ) ) 1 1 2 2 n n
的若干组值，再用线性回归方法求出待定权重
例子，见教材第１４５页，例６-４
, m , , m 对于 m 计算平均值 m 1 和离差 d 1 : 1 1 1 2 1 n
1 n m 1 m 1i , n i 1
1n 2 d m m 1 1 i 1 n i1
, m ,, m , m , d （３）不记名将全部数据 m 送交 1 1 1 2 1 n 1 1 每位专家，同时附上进一步的补充资料，请每位
i
此时 m 称为 A(u0 ) 在信任度 e 下的估计值，若 e 值 较高，从而达到标准，从而 A(u0 ) 取作 m , 否则，虽 可暂时使用m , 但要特别注意信息反馈，不断通过 “学习过程”，完 善
A ( u ) m 0
Remark:
Delphi法特别适用于有限论域上的模糊集，即模糊 向量的估计，且最好是让专家一次给出对各元素隶 属度的估计值。
A ( u ) b A ( u ) A( ) i i j m ju m j j 1 i 1
m 1 k
i
m
其中 u U , ( ,,, ) , ( ,,,) 为两权重向量， 1 1 m 1 2 k
且u+k=n+1,b为正实数，权重
专家在阅读和思考之后，给出新的估计值：
m , m , , m 2 1 2 2 2 n
（４）重复２、３步，直至离差值小于或等于预先 给定的标准 0 . 设重复k次后，有 d k , 这里 d 为重复k次后的离差。 (5)将第k次得到的对 A(u0 )的平均估计值 m k 和 d k再交 给各位专家，请他们做最后的“判断”，给出估计 值 m , m , , m
是权重向量，且 ( u , . . . , u ) U , ( ,,, ） 其中 u 1 n 1 2 n


n
i1
i 1， （ 12 , ,. . . ,n ) 反映了第i个因素的重要程度 i i
例如，用模糊集 A 表示学生集合上的“优秀 生“，将”优秀生“分成思想好、学习好、 身体 好、团结好、纪律好诸因素，学生属于”优秀生”的 隶 属度 A(u)就等于u属于５个因素的隶属度 Ai (ui ) 的加 权平均，即
的隶属函数 由此模糊统计试验所确定的 A ,A ,A 1 2 3
分别为
A ( x ) ( u ) d u 1 p
x
A ( x ) ( u ) d u 3 p

x
A ( x ) 1 A ( x ) A ( x ) 2 1 3
其中 p (x),p (x) 分别是的，边缘分布密度函数
由 A ， . . . , A 复 合 而 成 . A F ( U ) ,A １ n
(1)加权平均型（Method of weightedห้องสมุดไป่ตู้mean）
. . . ,A( ） 若 A(u） 是由 A(u 累加成的，可令 ） ， n u n １ １
A (u ） = iA(u) i i
i 1
n
1
a
②偏大型
xa 0, A(x) ( xa)2 ,x a 1 e
( x a ) 2 ,x a e A ( x ) 1, a x b ( x b )2 e ,x b
1
a
③中间型
1
a
其它常见模糊分布还有 (3) 半梯形分布与梯形分布； (4) K次抛物线分布；
u0对 A 的隶属度，并用模糊统计求 A , 的隶属函数
曲线（见教材１３２－１３４页）。
论域为实数域的隶属函数叫模糊分布（Fuzzy distribution), 即 A F (X) ，其中X为实数集，称 ~ = A (x) 为模糊分布。 常见的模糊分布有： ~ (1) 矩形分布或半矩形分布(适用确切概念)： ① ② ③ 偏小型 偏大型 中间型
§6.1 确定隶属函数的原则
（１）若模糊集反映的是社会的一般意识， 它是大量的可重复表达的个别意识的平均结 果，例如，青年人，经济增长快，生产正常 等，则此时采用模糊统计法（见§6.３ ）来 求隶属函数较为理想；
（２）如果模糊集反映的是某个时间段内的个 别意识，经验和判断，例如，某专家对某个 项目可行性的评价，那么，对这类问题可采 用Delphi法；（见§6.２） （３）若模糊集反映的模糊概念已有相应成熟 的指标，这种指标经过长期实践检验已成为 公认的对事物的真实的又是本质的描述，则 可直接采用这种指标，或者通过某种方式将 这种指标转化为隶属函数；