课堂新坐标高中数学北师大必修四学业分层测评：第章 § 平面向量的坐标 含解析

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则－2a ＋4b 等于( ) A ．(－6，－8) B ．(－3，－6) C ．(6,8)
D ．(6，－8)
【解析】 －2a ＋4b ＝－2(3,2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)．
【答案】 A
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7,4)
C ．(－1,4)
D ．(1,4)
【解析】 法一：设C (x ，y )，则AC →
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．
故选A ．
法二：AB →
＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
BC →＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A ． 【答案】 A
3．若a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32b
B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b
【解析】 设c ＝x a ＋y b ，
即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，y ＝－3
2.
【答案】 B
4．向量P A →＝(k,12)，PB →＝(10，k )，PC →
＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( )
A ．－2
B ．11
C ．－2或11
D ．2或－11
【解析】 BA →＝P A →－PB →
＝(k,12)－(4,5)＝(k －4,7)， CA →＝P A →－PC →
＝(k,12)－(10，k )＝(k －10,12－k )． 因为A ，B ，C 三点共线，所以BA →∥CA →
， 所以(k －4)(12－k )－7(k －10)＝0， 整理得k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或11. 【答案】 C
5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →
＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72
B ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2)
D ．(1,3)
【解析】 BC →
＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)． 设D (x ，y )，
AD →
＝(x ，y )－(0,2)＝(x ，y －2)． 又∵BC →＝2AD →
，∴4＝2x 且3＝2(y －2)， 解得x ＝2，y ＝7
2. 【答案】 A 二、填空题
6．(2016·华阴高一检测)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，2a －b 与c 平行，则实数k ＝________.
【解析】 因为a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)， 所以2a －b ＝2(3，1)－(0，－1)＝(23，3)． 又因为c ＝(k ，3)，2a －b 与c 平行， 所以23×3－3k ＝0，解得k ＝2. 【答案】 2
7．在平面直角坐标系中，若点M (3，－2)，N (－5，－6)，且MP →＝12MN →
，则点P 的坐标为________．
【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →
＝(－8，－4)，从而⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－4，
即点P 的坐标为(－1，－4)． 【答案】 (－1，－4)
8．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC →
|＝22，且∠AOC ＝π4.设OC →＝λOA →＋OB →
(λ∈R )，则λ＝________.
【导学号：66470053】
【解析】 由题意得向量OC →与x 轴正向所成的角是3π4，又|OC →
|＝22， 所以点C 的坐标是⎝ ⎛
⎭⎪⎫22cos 3π4，22sin 3π4，
即(－2,2)，所以OC →
＝(－2,2)． 因为A (－3,0)，B (0,2)， 所以OA →＝(－3,0)，OB →
＝(0,2)，
OC →＝λOA →＋OB →
＝λ(－3,0)＋(0,2)＝(－3λ，2)， 所以－3λ＝－2，λ＝2
3. 【答案】 2
3 三、解答题
9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →
，BF →＝13
BC →.求证：EF →∥AB →.
【证明】 设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 依题意，得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →
＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，
∴(x 1＋1，y 1)＝1
3(2,2)， ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13，23.
同理，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
73，0.
∴EF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫8
3，－23.
∵83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23＝0，
∴EF →∥AB →.
10．已知向量AB →＝(4,3)，AD →
＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；
(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →
(λ∈R )，求λ与y 的值． 【解】 (1)设B (x 1，y 1)， 因为AB →
＝(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．
同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)，
则x 2＝3－42＝－1
2，y 2＝1－32＝－1， 所以M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，－1.
(2)由PB →
＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD →
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 又PB →＝λBD →
(λ∈R )，
所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
1＝－7λ，1－y ＝－4λ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1
7，y ＝3
7.
[能力提升]
1．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →
|，则点P 的坐
标为( )
A ．(3,1)
B ．(1，－1)
C ．(3,1)或(1，－1)
D ．无数多个
【解析】 ∵|AB →|＝2|AP →
|，且点P 在直线AB 上， ∴AB →＝2AP →或AB →＝－2AP →. 设P (x ，y )，∴AP →
＝(x －2，y )， 而AB →
＝(2,2)，
∴(2,2)＝2(x －2，y )或(2,2)＝－2(x －2，y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－1. 【答案】 C
2．(2016·柳州高一检测)对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m ⊗n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a ⊗b ，那么向量b 等于( )
A ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，45
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－45
C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，－45 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－2，45 【解析】 设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a ⊗b ， 可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )， 所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ， 解得x ＝2，y ＝45， 所以向量b ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，45.
【答案】 A
3．已知OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →
＝(5，－1)，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则m ＋n ＝________.
【解析】 AB →＝OB →－OA →
＝(n,1)－(－2，m )＝(n ＋2,1－m )， BC →＝OC →－OB →
＝(5，－1)－(n,1)＝(5－n ，－2)． 因为A ，B ，C 共线，所以AB →与BC →
共线， 所以－2(n ＋2)＝(1－m )(5－n )，① 又m ＝2n ，②
解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝6，
n ＝3，或⎩⎨⎧
m ＝3，n ＝3
2.
所以m ＋n ＝9或9
2. 【答案】 9或9
2
4．过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图像交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴的垂线交函数y ＝log 2x 的图像于C ，D 两点．求证：O ，C ，D 三点在一条直线上．
【证明】 设A (x 1，log 8x 1)，B (x 2，log 8x 2)， 则OA →＝(x 1，log 8x 1)，OB →
＝(x 2，log 8x 2)， 根据已知OA →与OB →
共线， 所以x 1log 8x 2－x 2log 8x 1＝0.
又根据题设条件可知C (x 1，log 2x 1)，D (x 2，log 2x 2)，
所以OC→＝(x1，log2x1)，OD→＝(x2，log2x2)．因为x1log2x2－x2log2x1＝x1log23x32－x2log23x31＝3(x1log8x2－x2log8x1)＝0，
所以OC→与OD→共线，又OC→与OD→有公共点O，所以O，C，D三点在一条直线上．。