四川省乐山市高中2015届高三第二次调查研究考试数学(理工农医类)(理科) 含答案

乐山市高中2015届第二次调查研究考试
数 学（理工农医类)
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷。

草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

参考公式:
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么
)()()(B P A P B A P +=+
如果事件A ,B 相互独立，那么
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n
次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
),,2,1,0()1()(n k p P C k P k
n k k n
n
⋅⋅⋅=-=-
台体的体积公式:
)(3
1
2211S S S S h V ++=
其中2
1
,S S 分别表示台体的上、下
底面积，h 表示台体的高。

柱体的体积公式:
Sh V =
其中S 表示柱体的底面积，
h 表示柱体的高。

锥体的体积公式:hS V 3
1=
其中S 表示锥体的底面积，
h 表示锥体的高。

球的表面积公式：2
4R
S π=
球的体积公式:3
34R V π=
其中R 表示球的半径。

第一部分(选择题 共50分)
注意事项:
1．选择题必须用B 2铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号
的位置上。

2．第一部分共12小题,每小题5分,共60分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1、设全集为R ，函数2
4)(x x f -=
的定义域为M ,则M C
R
为)(D
)(A []2,2-
)(B )2,2(- )(C (][)+∞-∞-,22,
)(D ()+∞--∞,2)2,(
2、6
2)2(x
x -
展开式中的常数项为)(A )(A 60
)(B 60-
)(C 30
)(D 30-
3、已知点),1(0
y P 在抛物线x y
82
=上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为)(C
)(A 1
)(B 2 )(C 3
)(D 4
4、已知向量)3,2(-=p ,)6,(x q =,且p ∥q
+的值为)(C
)(A 13
)(B 14 )(C 13
)(D 14
5、已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)10()(≠>=a a a x f x
且 ， 且3)4(log
5
.0-=f ，
则a 的值为)(A
)(A 3
)(B 3 )(C 9
)
(D 2
3
6、已知函数1)(-=kx x f ，其中实数k 随机选自区间[]2,1-．则对任意的
[]1,1-∈x ，0)(≤x f 的概率是
)
(A 3
1
)(B 2
1
)
(C 3
2
)
(D 4
3 7、如图，在正方体1
1
1
1
D C B A ABCD -中,M 、N 分别为棱1
AA 和1
BB 的中点,则
><N D CM 1,sin 的值为)(B
1
)(A )
(B 9
5
4
)(C
)(D
8、如果执行如图的框图，输入4=N ，则输出的数等于)(D )
(A 34 )(B 43
)(C 45
)(D 5
4
9、已知A ，B ，C ，D 是函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 一个周期内的图象上的四个点,如图所示，)0,6
(πA ,B 为y 轴上的点,D 为图象上的最低
点,C 为该函数图象的一个对称中心，B 与E 关于点E 对称,ED 在x 轴上的投影为错误!, 则)6
(π-f 的值为
)
(A 2
1
)
(B 2
3
)(C 2
1-
)(D 2
3-
10、函数f （x ）的定义域为D ，若满足：①f (x ）在D 内是单调函数;②存在⊆D 使得f （x )在上的值域为错误!，则称函数f （x ）为“成功函数"．若函数f （x )＝log c （c x ＋t ） （c 〉0，c ≠1）是“成功函数"，则t 的取值范围为
)(A ()+∞,0
)(B ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∞-41,
)(C ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,41
)(D ⎪⎭
⎫
⎝⎛41,0
乐山市高中2015届第二次调查研究考试
数 学（理工农医类） 第二部分（非选择题 100分）
注意事项:
1．考生须用0。

5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0。

5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效。

2．本部分共11小题，共100分。

二、填空题:本大题共5小题；每小题5分，共25分。

把答案填在题中横线上.
11、复数12i z i
-=的虚部是_____________.
12、已知
α
为锐角,向量
)
sin ,(cos αα=a ，
)
1,1(-=b 满足
3
22=
⋅b a .则
)12
5sin(π
α+
=________。

13、已知直线02=-+ay x 与圆心为C 的圆4)1()
(22
=-+-y a x 相交于B A ,两点,
且ABC ∆为等边三角形,则实数a
14、已知四面体ABCD 则其体积为________。

15、记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.设集合{}1
),(22
≤+=y x
y x A ，
[][]{}1
),(2
2
≤+=y x y x B 。

则
B
A 所表示的平面区域的面积为
____________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明。

证明过程或推演步骤。

16.（本小题满分12分)
已知函数()sin()4
f x A x πω=+（其中x ∈R ,0A >,0ω>）的最大值为2，最小
正周 期为8.
（1)求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求△POQ 的面积。

17。

（本小题共12分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望。

18.(本小题共12分）
如图，直三棱柱11
1
ABC A B C -中，1
12
2
2
AB AC AA BC ===
，,,D E F 分别是
11,,BC BB CC 的中点.
E
C
B 1
A D
A
（1)求证1
//A E 平面ADF ；
（2）求二面角B AD F --的大小的余弦值. 19.(本小题共12分）
设等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且2
48,40a
S ==．数列{}n b 的前n 项和
为n
T ,
且230n
n T
b -+=n N *∈．
（1）求数列{}n
a ，{}n
b 的通项公式；
（2）设⎩⎨⎧=为偶数
为奇数
n b n a c
n n
n
， 求数列{}n
c 的前n 项和n
P ．
20。

(本小题共13分)
已知1
2
F F 、为椭圆E 的左右焦点，点3(1,)2
P 为其上一点，且有
12||||4PF PF +=
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2）过1
F 的直线1
l 与椭圆E 交于A B 、两点，过2
F 与1
l 平行的直线2
l 与椭圆
E 交于C D 、两点，
求四边形ABCD 的面积ABCD
S 的最大值.
21。

（本小题共14分）
已知函数()(1)x
f x e
a x =-+在ln 2x =处的切线的斜率为
1．
（e 为无理数,271828e =) （1)求a 的值及()f x 的最小值;
（2)当0x ≥时，2
()f x mx ≥，求m 的取值范围；
（3)求证：42
ln 1
2n
i i i
e
=<
∑(,)i n +∈N ．
（参考数据：ln 20.6931≈) 乐山市高中2015届第二次调查研究考试数学
参考答案及评分意见(理工农医类）
一、选择题（每小题5分，10小题,共50分)
1、)(D
2、)(A
3、)(C
4、)(C
5、)(A
6、)(B
7、)(D
8、)(C
9、)(B 10、)(D 提示：
1、由题值]2,2[-=M ,∴),2()2,(+∞⋃--∞=M C R
，故选)(D .
2、r
r r r r r r x C x
x C T
3662
661
)2()2(--+⋅-=-
⋅= ，由题得036=-r ，2=∴r ， ∴常数项为60)2(22
6
=-⨯C ，故选)(A 。

3、由题得)0,2(=F ,∴准线为2-=x ， ),1(0
y P 在抛物线上，321=+=∴PF ，故
选)(C 。

4、
p ∥q ,123=-∴x ，4-=∴x ，13)3,2()6,4()3,2(=-=-+-=+，故选)(C .
5、 )(x f 为奇函数，则3)2()2()4(log 25
.0-=-=-=-=a f f f ，32=∴a ，3±=∴a （舍
去)，故选)(A 。

6、以D 为原点,DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1
DD 所在直线
为z 轴建坐标系令正方体的棱长为2，则)0,2,0(C ，)1,0,2(M ，)2,0,0(1
D ，
)1,2,2(N ，)1,2,2(-=∴CM ，
)1,2,2(
1-=N D ，9
1
33144-=⨯--=
=
∴N D CM ,
9
5
48111=-
=∴，故选)(B .
7、由题可知，该程序框图的功能是计算)
1(1
431321211++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=
k k S ，现在输入4=N ,由控制循环的条件N K <知，43<=K ，再循环一次
4
=K ,
5
41
⨯+
=S S ，此时
5
<K 不成立，故输出
5
451413121211541431321211=-+⋅⋅⋅+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯=
S ，故选)(D .
8、由题，对]1,1[-∈∇x ，0)(≤x f 得，0)1(≤-f 且0)1(≤f ,即01≤--k 且01≤-k ，即
11≤≤-k ,∴所求的概率为3
2
)1(2)1(1=----=
P ，故选)(C .
9、如图，由ED 在x 轴上的投影为12π,知12π=OF ，又)0,6
(πA ，ϕ
πϖπ===∴24
T
AF ，
2=∴ϖ,又πϕπ
=+⨯26
，
32π
ϕ=∴，)3
22sin()(π+=∴x x f ,2
3
3
sin )6(=
=-∴π
πf ，故选)(B . 10、无论1>c 还是10<<c ，)(log )(t c
x f x
c
+=都是R 上的单调增函数,故应有
⎪⎩⎪⎨
⎧
==2
)(2)(b b f a
a f ,则问题可转化为求2)(x x f =，即2
)(log x t c x
c =+，即2x
x c t c =+在R 上
有两个不相等的实数根的问题,令)
0(2
>=m m c
x ，则2
x x
c
t c
=+可化为
2m m t -=,问题进一步可转化为求函数t y =与)0(2>-=m m m y 的图象有两个交点的问题，结合图形可得)4
1,0(∈t 。

故选故选)(D . 二、填空题(5小题,每小题5分,共25分） 11、1-； 12、6
2
15+; 13、33
±
； 14、32; 15、4
5π
+。

提示:
11、i i i i z --=-+=-=21
2
21，∴z 的虚部为1-。

12、3
2
2)4
cos(2sin cos =
+
=
-=⋅π
αααb a ,即32)4cos(=+πα,α 为锐角, 3
5
)4
sin(=
+
∴π
α，⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡++=+∴6)4
(sin )12
5sin(ππαπα 6
sin
)4
cos(6
cos
)4
sin(π
π
απ
π
α⋅+
+⋅+
=6
2
1521322335+=⨯+⨯=
. 13、ABC ∆ 为等边三角形,)1,(-∴a C 到02=-+ay x 的距离31
22
=+-=
a d ，
3342+=∴a ,132=∴a 3
3±
=∴a 。

14、将展开图围成一个三棱锥ACD B -如图示,其中三侧棱均为5，底
面是
90=∠A 的等腰直角三角形,且2=
=AD AC ，2=∴CD ，BD BA BC == ，
B ∴底面射影O 为CD 中点1=∴AO ,215=-=BO ,3
22222131=⨯⨯⨯⨯=
-ACD B V . 15、当)0,1[-∈x 时，1][-=x ，于是0][=y ，)1,0[∈y ；当)1,0[∈x 时,0][=x ，于是1][-=y 或0 或1，)2,1[-∈y ；当)2,1[∈x 时，1][=x ，于是0][=y ，)1,0[∈y ；B A ⋃∴所表示的平面区域由五个单位正方形和第三象限的41单位圆构成，其面积为4
5π+.
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16、解：（1)∵()f x 的最大值为2,且0A >， ∴2A =. ……………1分
∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω
==，得4
πω=。

(2)
分
∴()2sin()4
4
f x x ππ=+。

……………3分
（2
）∵(2)2sin 2cos 2
44
f πππ⎛⎫=+== ⎪
⎝⎭
， ……………4分
(4)2sin 2sin 44f πππ⎛
⎫=+=-= ⎪⎝
⎭5
分
∴(4,P Q 。

∴OP PQ OQ =
==……………8分
∴
2
2
2
2
2
2
cos 23
OP OQ PQ
POQ OP OQ
+-+-∠==
=。

………10分
∴POQ
sin ∠=
=
……………
11分
∴△POQ 的面积为1122
3
S
OP OQ POQ sin =
∠=⨯⨯⨯
32=。

(12)
分
17、解：设i
A 表示事件“此人于3月)13,...,3,2,1(=i i 日到达该市”， 根据题意，13
1)(=i
A P ，且)(j i A
A j
i ≠Φ= ， (4)
分
（1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染"，则85
A A
B =，
所以13
2
)()()()(8585
=
+==A P A P A A
P B P .………………6分
（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1,2，且
134
)()()()()()1(1176311763=
+++===A P A P A P A P A A A A P X P ， 13
4
)()()()()()2(131221131221=+++===A P A P A P A P A A A A P X P ,
135
)2()1(1)0(==-=-==X P X P X P ,………………10分
则X 的分布列为
X 0
1 2
P
13
5 134 13
4 故X 的数学期望值为13
12134213411350=⨯+⨯+⨯=EX (12)
分
18、（1）证明：取1
1
C B 的中点M ，连结EM 、M A 1
，
DF
∥EM ，AD ∥M A 1
，AD D DF =,M A 1
EM =M ,
∴平面ADF ∥平面EM A 1
，……………4分
⊂E A 1 平面EM A 1，
∴1//A E 平面ADF 。

……………6分
（2）解：建立如图所示的直角坐标系: 设1=AB ，则)0,0,0(D ，)0,0,2
2
(-
B ，)22,0,0(A ，
)0,1,2
2
(
F ,………7分
则)22,
0,0(=DA ,)0,0,22(-=BD ，)0,1,2
2(=DF ，………………8分
设平面ADF 的法向量为),,(z y x n =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00
DA n DF n ,即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+022022
z y x ， (9)
分
令2=x ,则)0,1,2(-=n ，………………10分
又⊥CF 面ABD ,则面ABD 的法向量为)0,1,0(=CF ,
3
3
cos -
==
CF n θ ，
∴二面角B AD F --的余弦值3
3
-
.………………12分
19、解：（1)由题意，118
4640a d a d +=⎧⎨+=⎩,得⎩⎨⎧==4
41d a ．
所以n a
n
4=……………2分
230n n T b -+=，113n b ∴==当时，， (3)
分
112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减,得12,(2)n n b b n -=≥ (5)
分
则数列{}n
b 为等比数列,132n n
b
-∴=⋅． (6)
分
（2）由题得1
4 32n
n n
n c
n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数
．
当n 为偶数时，1
3
124()()n
n n P a a a b b b -=++
++++
+
=
2
12(444)6(14)2222
14
n
n n n n ++-⋅
-+=+--．……………8分
当n 为奇数时，1
3
2241()()n
n n n P a a
a a
b b b --=++
+++++
+
1
2
21(44)6(14)2221214
n n n n n n -++⋅-=
+=++--……………10分
122
22,221n n n
n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数
，为奇数
……………12分
20、解：（1)设椭圆E 的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
由已知1
2
||||4PF PF +=得24a =，∴2a = ……………………2分
又点3(1,)2
P 在椭圆上,∴219
144b
+
=
∴b =椭
圆
E
的标准方程为
22
143
x y += ……………………5分
（2）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形 ∴ABCD
S =4OAB S
∆
设直线AB 的方程为1x my =-，且1
1
2
2
((A x y B x y ,)、,)
由22
1
14
3x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--= ∴121222
69
,3434
m y y y y m m +=
=-++ ……………………7分
OAB S ∆=1OF A S ∆+1OF B S ∆=12112||||OF y y ⋅-=1
2
12||y y -
=1
2
…………………………9分 令2
1m t +=,则1t ≥
OAB S ∆
=
……… 11分
又
1
()9g t t t
=+
在[1,)+∞上单调递增 ∴()(1)10g t g ≥= ∴OAB S ∆的最大值为3
2
所以ABCD
S
的最大值为6.………………………………13分
21、解:(1）()x
f x e
a '=-,由已知,得(ln 2)21f a '=-=,∴a ＝1．…………1分
此时()1x
f x e
x =--，()1x f x e '=-，
∴当01x <<时，()0f x '<;当1x >时,()0f x '>．
∴当x ＝0时,f （x ）取得极小值，该极小值即为最小值, ∴f （x ）min ＝f （0)＝0．……………4分 (2）记2()1x
g x e
x mx =---，()12x g x e mx '=--，
设()()12,()2,x
x h x g x e
mx h x e m ='=--'=-则…………5分
①当12
m ≤时,()0 (0)h x x '≥≥，()(0)0h x h ≥=,
()0 g x ∴'≥，()(0)0g x g ∴≥=,1
2
m ∴≤
时满足题意；…………7分
②当12
m >时,()=0h x '令，得ln 20x m =>，
当[0,ln 2]x m ∈,()0h x '<，()h x 在此区间上是减函数,()(0)0h x h ≤=， ∴()g x 在此区间上递减, (ln 2)(0)0g m g ∴≤=不合题意。

综合得m 的取值范围为1(,]2
-∞.…………………9分
（3)记2
ln )(x x x h =，
3
12ln ()x
h x x -∴'=
，令()0h x '=，解得e x =, 当e x =时函数)(x h 有最大值，且最大值为
12e
， (10)
分
2ln 12e x x ∴
≤，∴42ln 11
(2)2e n n n n
≤⋅≥，…………11分
∴42222
ln 1111
()223n
i i i e n
=<⋅++⋅⋅⋅+∑
, 又
n n n )1(13
2121113121222-+⋅⋅⋅+⨯+⨯<+⋅⋅⋅++
11
1)111()3121()211(<-=--+⋅⋅⋅+-+-=n
n n ,
∴42222ln 11111
()2232n
i i i e n e
=<++⋅⋅⋅+<
∑
, 即4
2
ln 1
2n
i i i
e
=<
∑。

………………14分。