2019-2020学年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考
试
数学试题
一、单选题
1.已知集合人={一□}, 6 = {1,2},则AC16等于( )
A. {1}
B. {2}
C. {-1,1}
D. {-1,1,2} 【答案】A
【解析】直接根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
因为集合4 = {-1,1}, 6 = {1,2},
所以AnB = {l}.
故选：A.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2.已知向量)= (1,2), 5 = (2-1),贝!+ b等于( )
A. (-3,-1)
B. (-1,3)
C. (1,3)
D.(3,1)
【答案】D
【解析】根据平面向量加法的坐标运算公式可得结果.
【详解】
因为向量万= (1,2),坂=(2,—1),
所以 d + B = (1 + 2,2 — 1) = (3,1),
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量加法的坐标运算，属于基础题.
3.如图放置的圆柱，它的俯视图是( )
A.匚］
【答案】C
【解析】根据俯视图的定义，结合选项可得答案.
【详解】
俯视图为由上向下观察的平面图形，所以俯视图为圆，
故选：C.
【点睛】
本题考查了由直观图判断三视图，属于基础题.
4.等比数列2, 4, 8,…的公比为（）
11
A. -
B. —
C. 2
D. 4
4 2
【答案】C
【解析】利用等比数列的定义求公比即可.
【详解】
由己知2, 4, 8,…为等比数列,
48
则公比q = ] = W = 2.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念.属于容易题.
5.某射击运动员在一次射击测试中射靶5次，每次命中的环数分别为9, 9, 10, 9, 8, 则他这次
射击测试的平均环数为（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10 【答案】C
【解析】根据一组数据的平均数公式计算可得答案.
【详解】他这次射击测试的平均环数为（x（9 + 9 + 10 + 9 + 8） = 9.
故选：C.
【点睛】本题考查了一组数据的平均数公式，属于基础题.
x>0
6.不等式组，y>0,表示的平面区城为（）
x+y-l<0
【答案】A
【解析】采用排除法可得答案.
【详解】由XNO,排除& c.
由x=O,y = O满足x+）」l<0知A符合,
故选：A.
【点睛】
本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域，属于基础题.
7.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则其向上一面的点数为偶数的概率为（）
1111
A. -
B. -
C. -
D.-
6 4 3 2
【答案】D
【解析】利用列举法可得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式可得结果.
【详解】
随机抛掷一枚骰子，向上点数有1, 2, 3, 4, 5, 6共6种，为偶数的为2, 4, 6共3
3 1
种情况，则概率为一=—.
6 2
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用列举法求占典概型的概率，属于基础题.
8.已知直线心y = x+i, /2：y = kx-l9若则实数k等于（）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】根据两条直线的斜率乘积等于-1可得结果.
【详解】
因为直线4： y=x+i, /2：y = kx-i,且/J*
所以lxk =—l,即k = T.
故选：A.
【点睛】
本题考查了由两条直线垂直求参数值，属于基础题.
9.不等式V—x—2>0的解集是（）
A. {止1cx<2}
B.卜,<-2或%>1}
C. {止2cx<1}
D. {中<-1 或x>2}
【答案】D
【解析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】
由/一工一2>0 即（x+l）（x—2）>0得x<—l或x>2.
所以原不等式的解集为：或x>2}.
故选：D.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，属于简单题.
3
10.已知。

是第二象限的角，且cosa = —§,则sin2。

等于（）
24 12 12 24
A. ------ --- C. — D.—
25 25 25 25
【答案】A
【解析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式求解.
【详解】
因为。

是第二象限的角，
所以sin a =11- 2 = 3,
24
siii 2a = 2 sin a cos a = 2x-x
25
故选：A
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，属于容易题.
11.已知4 = log67, /? = log76, c = log70.6,则。

，b , C 的大小关系是（）A. a <b<c B. c <b<a
C. c <a <b
D. a<c<b
【答案】B
【解析】根据对数函数的单调性可得。

>1，0</?<1, C<0.
【详解】
由"log6 7 > log6 6 = 1,
b = log7 6 < log7 7 = 1 且b > log-1 = 0 ,即0 v b v 1,
c = log7 0.6 <log71 = 0,即
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
12.函数y =，sinx+立cos工的最大值是（）
【答案】C
【解析】先利用辅助角公式化简整理，再利用三角函数的值域求解最大值即可.
【详解】
【答案】B
又函数》= sin x+g 的值域为
\ 3 ） 则函数广如1+冬。

SX 的最大值为1. 故选：c.
【点睛】 本题主要考查了辅助角公式以及求三角函数的最值问题,属于较易题.
13 .已知函数），=/, y = b x , y = c'的图象如图所示，则实数〃，b,。

的大小关系
是（）
A. a<b<c
B. b<a<c
C. b<c<a
D. c<b<a
【答案】D
【解析】取x = l ，根据指数函数的图象可得结果. 【详解】
当x 取1时，三个函数的函数值分别为。

，b, C,由图知 故选：D. 【点睛】
本题考查了指数函数的图象的应用，属于基础题.
14 .函数= 的定义域为（）
B.(1,2]
C. (-00,2]
D. (1,+8)
由 y 」smx+3c°sx = . 2 2
= su 】2
I 3 J
A. 1，2]
【答案】B
【解析】根据函数有意义的条件列出关于X 的不等式组，解对数不等式组即可: 【详解】
x-l> 0,
log 】 (x-l)> 0 » 解
得 所以l<x<2.
故选：B. 【点睛】
本题考查了函数定义域的求解，其中主要考查了对数及根式有意义的条件，属于简单题, 解题的关键在于对数不等式的解法的掌握.
15 .用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.已知墙长20米，则菜园面 积的最大值是
（ ）
【答案】C
36- V
【解析】设菜园靠墙一边的长为X 米，则矩形菜园的宽为二一米，且0<x<20,根 据矩形的面积公式得到矩形的面枳，再根据基本不等式求出最大值即可得解. 【详解】
36 — 丫
设菜园靠墙一边的长为X 米，则矩形菜园的宽为工^米，且0<x «20,
2
x = 36 —x 即x = 18时等号成立,
故选：C. 【点睛】
本题考查了函数的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
二、填空题
16 .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为3,则输出的）的
.
X>1, X-1 <1,
A. 144
B. 160
C. 162
D. 180
则菜园面枳y = x •生尸=
1
一・1・
2
(36-X )<1X [
V + 36
-V
[ =162.当且仅当
2 I 2
>
【答案】2
【解析】根据程序框图判断框内的条件进行判断及运算即可.
【详解】
根据程序框图可知，当x = 3时，应执行步骤y = log2（x+l） = log2 4 = 2, 所以输出）'的值为2.
故答案为：2 •
【点睛】
本题考查根据程序框图判断输出的结果，属于简单题.
17.已知|£卜5, \b\=4f£与5的夹角8 = 60°,则.
【答案】10
【解析】由。

•bTM-W-ose计算出答案即可
【详解】
因为|。

|=5, | h |= 4 > a与b的夹角6 = 60
所以。

・5=|4卜 /? •cos8 = 5x4xcos600 = 10
故答案为：10
【点睛】
本题考查的是向量数量积的直接计算，属于基础题.
18.在△ABC 中，AB = 2» A = 45。

，C = 30 ,则6C =.
【答案】2&
【解析】直接根据正弦定理可解得结果.
【详解】
由正弦定理得里•二」也, sm A sin C
BC 2
所以7?一工，得6c = 2jl・ T 2
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.
以已知"x)= Q(i),m，则42)=——•
【答案】2
【解析】根据分段函数的解析式代入求值即可得解.
【详解】
/(2) = /(2-1) = /(1) = 21 = 2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
20.已知函数〃x) = 4W一丘-8.若对任意为，士45,20],且占工毛，均有 /(不)。

/(毛)，则实数出的取值范围____________________________________ .
【答案】(Y,40]U[160,+OO)
【解析】已知条件转化为函数AM在[5,20]上为单调函数，根据对称轴与区间端点的关系列式可解得结果.
【详解】
依题意分析可知，函数AM在[5,20]上为单调函数，
_L _k
所以———45或———>20,即ZK40或女2160.
2x4 2x4
故答案为：(—S,40]U[160,+8).
【点睛】
本题考查了二次函数的单调性，属于基础题.
三、解答题
21.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且生=5, d5 = ll.
(1)求｛q｝的通项公式；
(2)若S“=120,求〃.
【答案】(1)%=2〃 + 1： (2) 10.
【解析】(1)设等差数列｛〃”｝的首项为外，公差为d ,由等差数列的通项公式代入%=5, %=11，即可得解；
(2)由(1)求出通项公式。

”，进而求出S“，代入求和公式即可的解.
【详解】
(1)设等差数列｛4｝的首项为可,公差为d ,
因为生=5,。

5=11，
所以q + d = 5, q+4d = 11,
解得q = 3, d = 2・
所以。

“ =4 +(〃—l)d = 3+2(〃-1) = 2〃 + l, 〃£ N* ,
所以｛q｝的通项公式为% = 2〃 +1, 〃G N” .
(2)由(1)知q = 3,=2〃 + 1,
因为S〃 = 120,
所以如包=120, 2
nn (3 + 2〃 + 1)〃
即^ ---------- <- = 120,
2
化简得〃2+ 2〃一120 = 0,
解得刀= 10.
【点睛】
本题考查了等差数列基本量的计算，考查了等差数列的通项公式和求和公式，有一定的计算量，难度不大，是基础题.
22.已知圆。

：V + y=8,点"（—1,2）,直线/过点4且倾斜角为a.
（1）判断点4与圆。

的位置关系，并说明理由；
（2）若a = ：,求直线/被圆。

所戴得的弦A5的长.
4
【答案】（1）点々在圆。

内，理由见解析；（2）晒.
【解析】（1）根据|北|<，.可得结果；
（2）利用点斜式求出直线/的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线/的距离, 根据勾股定理可求得弦长.
【详解】
（1）点痣在圆。

内，理由如下：
由已知得圆。

的圆心为0（0,0）,半径「二2直，
因为《（一1,2）,所以|0周=J（_i）2 + 2? =6.
因为|O引 <〃，所以点”在圆。

内.
（2）因为。

=」，所以直线/的斜率为—1.
4
因为直线/过点鸟（一1,2）,
所以直线/的方程为y — 2 = -（x+l）,即x+> - l = 0,
由圆心O到直线I的距离d = ,
所以lABk2］（2&j_孝=病.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，考查了直线方程的点斜式，考查了点到直线的距离公式, 属于基础题.
23.某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表:
求)‘关于，的线性回归方程；
(2)利用(1)中的线性回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.
2(—)(丫-了)
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为〃 =J ------------------------------ ,
f=l
a = y-bT
【答案】(1)夕= 05 + 2.3； (2) 2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，7. 8千元.
【解析】(1)根据根据最小二乘法估计公式，基础线性回归方程的基本量，即可得解：(2)由(1)知，〃 =0.5>0,故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐
年增加，将2020年的年份代号［ = 11代入1=0.5/ + 2.3,即可得解.
【详解】
(1)由题意得丁=；(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 4, 尸｝(2.9 + 3.3 + 3.6 + 4.4 + 4.8 + 5.2 + 5.9)= 4.3 , 所以
/?_(-3)x(-1.4)+ (-2)x(-l) + (-l)x(-0,7)+ 0x0.1 + lx0.5 +2x0.9 + 3xl.6 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4
+ 9
= — = 0.5
28
所以力=了一〃7=4.3 — 0.5x4 = 2.3 ,
所以)'关于t的线性回归方程为夕=0.5Z + 2.3.
(2)由(1)知，b = 0.5>0,
故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0. 5千元, 将2020年的年份代号％ = 11代入1=0.5f + 2.3 ,
得9 = 0.5x11 + 2.3 = 7.8,
故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7. 8千元.
【点睛】
本题考查了线性回归方程的计算，考杳了对线性回归方程各个量的理解以及线性回归方程的预测作用，在解题时公式已经给出，计算相对较为繁琐，属于中档题.
24.如图，在直四棱柱488 —AdGR中，库面四边形A5CO的对角线AC, BD
互相平分，E为的中点.
（1）求证：平面A£C；
（2）若,则平面4EC_L平面8月试在三个条件“①四边形A6CQ是平行四边形；②四边形A5CO是矩形；③四边形A6CO是菱形”中选取一个，补充在上面问题的横线上，使得结论成立，并证明.
【答案】（1）证明见解析：（2）答案见解析，证明见解析.
【解析】（1）设ACn5O = O,连接。

石，由题意得8OJ/OE,利用线面平行的判定定理证明即可：（2）先判断三个条件，判断选择的条件是③；先利用菱形的特点得到ACLBD,又几何体为直四棱柱，得到。

R_L平面A5C。

，进而得到4C_LOR, 利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】
（1）证明：如图，设Acnso = o,
所以。

为3。

的中点.
连接。

石，因为石为。

2的中点,
所以 BDJ/OE.
又因为6%(Z平面AEC, OEu平面A£C,
所以6D”平面AEC.
(2)解：选择的条件是③.
证明如下：
因为四边形ABCO是菱形，
所以AC _L 60,
因为四棱柱A5CQ —AdGR是直四棱柱，
所以0A_L平面A6C0,
因为4Cu平面468，
所以AC_L£>2，
因为6。

n。

] = D ,
所以AC_L平面6月。

]。

，
因为人CU平面AEC,
所以平面AEC1平面BBQQ.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直，面面垂直的判定定理.属于中档题. 25.已知定义在R上的函数/(x)既是偶函数又是周期函数，4是它的一个周期，且
y = /(x)的图象关于点(1。

对称.
(1)试给出满足上述条件的一个函数，并加以证明；
(2)若TKxKl, f(x) = l-x2t写出/(x)的解析式和单调递增区间.
【答案】(1)/(x) = cosyx,证明见解析；(2)
, 11 —(x—4k>，—l+4k(xKl + 4k,
\ keZ,单调递增区间是
[(x-2-4k)- -1,1 + 4攵<x<3 + 4k,
[―2 + 4攵,4k](k £Z).
【解析】(I) /(x) = cosyX,根据偶函数的定义可证/(X)是偶函数；根据周期函数乙
的定义可证4是函数/（X ）的一个周期：设4（.%,%）关于点（1,0）的对称点为
4（匕,乂），利用中点公式求出用（《兴），可证点《也在函数y = /（x ）的图象上.
（2）利用对称性求出当1<X<3时，/（x ） = （x —2f —1,再根据周期性可求出了（X ）
的解析式：先求出函数/（M 在一个周期内的递增区间为[-Z0],再根据周期性得到函数 的单调递增区间. 【详解】
（1） /（^） = cos^-x
证明如下：
①因为函数"X ）的定义域为H ，
所以/（X ）是偶函数.
所以4是函数/（x ）的一个周期.
③设4（X 。

,稣）在函数y = /（X ）的图象上,
71
则兄二COS/，
设治）关于点（1,0）的对称点为兄（匕,乂），
工+ > T
2 ， = 2-x 0, 则〈,得到《.
儿 + 儿 _ 0,
1）0=
->0-
兀] 兀 ,
兀 一/a=_ cos,*。

= -y 0 = y 0,
所以点4'也在函数y = /（x ）的图象上, 所以y = / （x ）的图象关于点（L 0）对称. 综上，
/(x) = cos^x 是满足题设的一个函数.
2
(2)因为当T «x<l 时，/(x) = l-x 2
,且函数y = 〃x)的图象关于点(LO)对称, 所以当1cx<3
且〃T)= C0S( — ]x
=cos
②因为/(x+4) = cos
加+ 4)
兀 C
=cos —x+2 兀
= cospr=/(x),
兀，
又因为cos5/ = cos
=cos
时，-1K2—XV1,所以
f (x) = -/(2--v) = - 1 一(2 - x)~ = (x-2)~ -1,
因为的一个周期为4,
所以/(x)的解析式为
, 。

-(工-4&『,-1 + 4k Wl + 4k,
、，ksZ,
［(%-2-4氏)-1,1 + 4& <x«3 + 4&,
因为当1cx<3时，/(6二。

-2)2—1的单调递增区间为［2,3］, 又/(x)的一个周期为4,所以/U)在［-2-1］上递增，
又/W在［—L 0］上递增，所以/W在［-2,0］上递增，
所以“X)的单调递增区间为［―2 + 4k,4k］(k£Z).
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性，属于中档题.。