二次函数的性质【六大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)

专题1.3 二次函数的性质【六大题型】
【浙教版】
【题型1 利用二次函数的性质判断结论】............................................................................................................ 1 【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】........................................................................................................ 2 【题型3 二次函数的对称性的应用】 ................................................................................................................... 3 【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】 .................................................................................................... 3 【题型5 利用二次函数的性质求最值】 ............................................................................................................... 4 【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】.. (4)
【知识点1 二次函数2y ax bx c =++的性质】
①当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值244ac b a -．
②当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值244ac b a -．
【题型1 利用二次函数的性质判断结论】
【例1】已知函数y ＝2mx 2+（1﹣4m ）x +2m ﹣1，下列结论错误的是（ ） A ．当m ＝0时，y 随x 的增大而增大
B ．当m =12时，函数图象的顶点坐标是（1
2，−1
4）
C ．当m ＝﹣1时，若x ＜5
4，则y 随x 的增大而减小 D ．无论m 取何值，函数图象都经过同一个点
【变式1-1】关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（）
A．开口向上
B．当a＝2时，经过坐标原点O
C．不论a为何值，都过定点（1，﹣2）
D．a＞0时，对称轴在y轴的左侧
【变式1-2】对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；①对称轴为直线x＝1：①顶点坐标为（﹣1，3）；①x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4
【变式1-3】对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列结论：
①它的图象与x轴有两个交点；
①如果当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，则m＝﹣1；
①如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝1；
①如果当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，则m＝5．
其中一定正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】
【例2】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【变式2-1】抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．无法比较大小
【变式2-2】已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b+m+n
2，y3）都在二次函数y＝﹣x
2+2bx+c的图
象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3＞y1＞y2．结合图象，则m的取值范围是．
【知识点2 二次函数的对称性】
①如果抛物线上x=m与x=n对应的函数值相等，那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=m+n
2
.
②如果抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=x1+x2
2
.【题型3 二次函数的对称性的应用】
【例3】在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x…﹣1134…
y…﹣6m n﹣6…
则m、n的大小关系为（）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【变式3-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
x…﹣2﹣1012…
y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…
则该二次函数图象的对称轴为（）
A．y轴B．直线x=1
2C．直线x＝1D．直线x=
3
2
【变式3-2】已知二次函数y＝2x2﹣9x﹣34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值应当与（）
A．x＝1时的函数值相等B．x＝0时的函数值相等
C．x=1
4的函数值相等D．x=
9
4的函数值相等
【变式3-3】已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（）
A．﹣2≤a≤−3
2B．﹣2≤a≤﹣1C．﹣3≤a≤−
3
2D．0≤a≤2
【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】
【例4】设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2
【变式4-1】若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．
【变式4-2】已知抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+9，当m ≤x ≤5时，0≤y ≤9，则m 的值可以是（ ） A ．﹣2
B ．1
C ．3
D ．4
【变式4-3】若抛物线y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）经过四个象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣3
B ．﹣1＜m ＜2
C ．﹣3＜m ＜0
D ．﹣2＜m ＜1
【题型5 利用二次函数的性质求最值】
【例5】若实数m 、n 满足m+n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______． 【变式5-1】已知抛物线y ＝﹣x 2﹣3x +t 经过A （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）设点P （m ，n ）在该抛物线上，求m +n 的最大值．
【变式5-2】抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≤2或m ≥3
B ．m ≤3或m ≥4
C ．2＜m ＜3
D ．3＜m ＜4
【变式5-3】已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1经过第一象限内的点A （m ，y 1）和B （2m +1，y 2），1＜y 1＜y 2，则满足条件的m 的最小整数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】
【例6】若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3，那么m 的值是（ ） A ．﹣4或7
2
B ．﹣2√3或7
2
C ．﹣4 或2√3
D ．﹣2√3或2 √3
【变式6-1】已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3
B ．﹣3或3
8
C ．3或−38
D ．﹣3或−38
【变式6-2】已知二次函数y ＝mx 2﹣4m 2x ﹣3（m 为常数，m ≠0），点P （x p ，y p ）是该函数图象上一点，当0≤x p ≤4时，y p ≤﹣3，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1或m ＜0
B ．m ≥1
C ．m ≤﹣1或m ＞0
D ．m ≤﹣1
【变式6-3】若二次函数y ＝x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6，那么m 的值是 ．。