高2020届高2017级高考一轮复习理科数学专题训练27Word版及试题解析

专题小练习27空间点、线、面的位置关系
专题小练习○27
一、选择题
1.下列说法正确的是()
A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
【参考答案】：D
【试题解析】：由异面直线的定义可知D正确.
2.如图,正方体或四面体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四点不共面的是()
【参考答案】：D
【试题解析】：A选项中,在正方体中,连接PS,QR,则PS∥QR,所以这四点共面；B选项中,在正方体中,连接PS,QR,则PS∥QR,所以这四点共面；C选项中,在四面体中,连接PS,QR,则PS∥QR,所以这四点共面；D选项中,在四面体中,连接PS,QR,则PS,QR异面,所以这四点不共面.故选D.
3.[2019·益阳市、湘潭市调研]下图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()
A.①③
B.②③
C.②④
D.②③④
【参考答案】：C
【试题解析】：由题意,可知题图①中,GH∥MN,因此直线GH与MN共面；题图②中,连接GN,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面；题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH 与MN共面；题图④中,连接GN,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以直线GH与MN异面.故选C.
4.[2019·银川模拟]已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,若m⊥α,n⊥β,且β⊥α,则下列结论一定正确的是()
A.m⊥n
B.m∥n
C.m与n相交
D.m与n异面
【参考答案】：A
【试题解析】：若β⊥α,m⊥α,则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.
当m⊂β时,又n⊥β,所以m⊥n；当m∥β时,又n⊥β,所以m⊥n.故m⊥n,选A.
5.[2019·山西临汾模拟]已知平面α及直线a,b,下列说法正确的是()
A.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线平行
B.若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直
C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行
D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直
【参考答案】：D
【试题解析】：若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线不一定平行；若直线a,b与平面α所成角都是30°,则这两条直线可能垂直；若直线a,b平行,这两条直线可能都和平面α相交(不平行)；若直线a,b垂直,则直线a,b不平行,而这两条直线与平面α都垂直等价于直线a,b平行,因此若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直.故选D.
6.设l,m,n表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列四个命题：
①若l⊥α,m⊥α,则l∥m；
②若m⊂β,n是l在平面β内的射影,l⊥m,则n⊥m；
③若m⊂α,n∥m,则n∥α；
④若γ⊥α,γ⊥β,则α∥β.
其中真命题为()
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①③④
【参考答案】：A
【试题解析】：由直线与平面垂直的性质定理可得,垂直于同一个平面的两条直线相互平行,所以①为真命题；易得②为真命题；根据直线与平面平行的判定定理,平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行,③中缺少条件n⊄α,所以得到的结论可能为n∥α,也可能为n⊂α,所以③为假命题；若α⊥γ,β⊥γ,则得到的结论可能为β∥α,也可能为β,α相交,所以④为假命题.
DM,
3,DM＝2.
为异面直线P A与43
于②,若α⊥β,则m∥l或m⊥l或m与l异面,故②错误；对于③,若m⊥l,则α⊥β或α与β相交,故③错误；对于④,若m∥l,m⊥α,则l⊥α,又l ⊂β,所以α⊥β,故④正确.
10.[2019·陕西西安模拟]如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N 分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________.
【参考答案】：③④
【试题解析】：A,M,C1三点共面,且在平面AD1C1B中,但C∉平面AD1C1B,C1∉AM,因此直线AM与CC1是异面直线,同理,AM与BN也是异面直线,AM与DD1也是异面直线,①②错,④正确；M,B,B1三点共面,且在平面MBB1中,但N∉平面MBB1,B∉MB1,因此直线BN与MB1是异面直线,③正确.
11.如图所示,在三棱锥C－ABD中,E,F分别是AC和BD的中点.若CD＝2AB＝4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角是______________.
【参考答案】：30°
【试题解析】：如图,取CB的中点G,连接EG,FG.则EG∥AB,FG∥CD,∴EF与CD所成的角为∠EFG.
又∵EF⊥AB,
∴EF⊥EG.
交平面AB1D1于点M,给出下列结论：
三点共线；②A、M、O、A
共面.
________.
C、AC,则A C∥
A.直线AA1
B.直线A1B1
C.直线A1D1
D.直线B1C1
【参考答案】：D
【试题解析】：只有直线B1C1与直线EF在同一平面内,且两者是相交的,直线AA1,A1B1,A1D1与直线EF都是异面直线.
3.将下面的平面图形(图中每个点是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是()
A.①②
B.②④
C.①④
D.①③
【参考答案】：C
【试题解析】：图②翻折后N与Q重合,两直线相交；图③翻折后两直线平行,因此选C.
4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题：
①若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β；
②若m∥α,α⊥β,则m⊥β；
③若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β；
④若m∥α,m⊥β,则α⊥β.
其中正确命题的序号是()
A.①④
B.②③
C.②④
D.③④
【参考答案】：D
【试题解析】：①α与β可能相交,m,n都与α,β的交线平行即可,故该命题错误；②当α⊥β,m∥α时,m⊂β也可能成立,故该命题错误；
③当m⊥α,m⊥n时,n⊂α或n∥α,又n⊥β,所以α⊥β,故该命题正确；
④显然该命题正确.综上,选D.
5.[2019·衡阳模拟]若直线l与平面α相交,则()
A.平面α内存在直线与l异面
B.平面α内存在唯一一条直线与l平行
C.平面α内存在唯一一条直线与l垂直
D.平面α内的直线与l都相交
【参考答案】：A
【试题解析】：当直线l与平面α相交时,这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线,故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线,故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直,所以C错误,平面α内的直线与l可能异面,故D错误,故选A.
6.[2019·湖南常德模拟]一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()
A.AB∥CD
B.AB与CD相交
C.AB⊥CD
D.AB与CD所成的角为60°
【参考答案】：D
【试题解析】：如图,把展开图中的各正方形按图(1)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图(2)所示的直观图,可得选项A,B,C不正确.图(2)中,DE∥AB,∠CDE为AB与CD所成的角,△CDE为等边三角形,∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.
7.如图,过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面CB1D1平行的直线有()
A.18条
B.20条
C.21条
D.22条
【参考答案】：C
【试题解析】：设各棱的中点如图所示(各点连线略),其中与D1B1平行的有F1G1,E1H1,FG,EH,NL,共5条；与CD1平行的有G1M,GN,LE1,KE,H1F,共5条；与CB1平行的有F1M,FL,HK,NH1,GE1,
共5条.分别取CB1,B1D1,CD1的中点如图,连接CO,D1P,B1T,与CO平行的有GH1,FE1,共2条；与D1P平行的有H1L,NF,共2条；与B1T平行的有E1N,GL,共2条.故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21(条).
8.[2019·内蒙古赤峰模拟]已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是()
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α∩β＝l,m∥α,m∥β,则m∥l
D.若α∩β＝m,α∩γ＝n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
【参考答案】：C
【试题解析】：
对于选项A,若m∥α,n∥α,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误.对于选项B,在正方体ABCD－A′B′C′D′中,设平面ABCD为平面α,平面CDD′C′为平面β,直线BB′为直线m,直线A′B为直线n,则m⊥α,n∥β,α⊥β,但直线n与m不垂直,故B错误.对于选项C,设过m的平面γ与α交于a,过m的平面θ与β交于b,∵m∥α,m⊂γ,α∩γ＝a,∴m∥a,同理可得m∥b.∴a∥b.∵b⊂β,a⊄β,∴a∥β.∵α∩β＝l,a⊂α,∴a∥l,∴l∥m.故C正确.对于选项D,在正方体ABCD－A′B′C′D′中,设平面ABCD为平面α,平面ABB′A′为平面β,平面CDD′C′为平面γ,则α∩β＝AB,α∩γ＝CD,BC⊥AB,BC⊥CD,但BC⊂平面ABCD,故D错误.故选C.
二、非选择题
3
在棱长均相等的四棱锥P－ABCD
的中点,有下列结论：
OMN；
∥OM,所以PC∥
PCD∥平面OMN,结论
BC2＝P A2＋PC2
③正确.由于M,
点,AC∩BD＝P,A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D,B,F,E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线；
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
证明：(1)如图所示.
因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)在正方体AC1中,设A1CC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)∵EF∥BD且EF<BD,
∴DE与BF相交,设交点为M,
则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,
得M∈平面D1DCC1,同理,点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1,∴M∈CC1.
∴DE,BF,CC1三线交于点M.。