北师大版七年级数学上册专题2.5 新定义问题(压轴题专项讲练)(学生版)

专题2.5 新定义问题
【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f （3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f （4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f （4，1
2）＝ ，f （5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；
③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f （5，3）×f （4，1
3
）×f （5，﹣2）×f （6，1
2
）．
【思路点拨】
（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；
③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；
（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解题过程】
解：（1）f （4，1
2）=1
2÷1
2÷1
2÷1
2=4，
f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=1
27；
故答案为：4；
1
27
．
（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16
， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误；
②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；
③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为：②．
（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣
2）＝（1
a
）n ﹣
2（n 为正整数，a ≠0，n ≥2）．
（4）f （5，3）×f （4，13
）×f （5，﹣2）×f （6，1
2
）
=
127×9×（−1
8）×16 =−23
．
1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a 和b ，规定a ☆b ＝a b ﹣b 2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ） A ．﹣3
B ．1
C ．3
2
D ．−3
2
2．（2023秋•东港区期末）已知a 、b 皆为正有理数，定义运算符号为※：当a ＞b 时，a ※b ＝2a ；当a ＜b 时，a ※b ＝2b ﹣a ，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ） A ．﹣2
B ．5
C ．﹣6
D ．10
3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a 、b ，都有a *b ＝b 3﹣1，则12
*[3*（﹣1）]的值为（ ） A ．﹣1
B ．﹣9
C ．−12
D ．0
4．（2023秋•洪山区期末）定义：如果a 4＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：因为72＝49，所以log 749＝2；因为53＝125，所以log 5125＝3．则下列说法中正确的有（ ）个．①log 66＝36；②log 381＝4；③若log 4（a +14）＝4，则a ＝50；④log 2128＝log 216+log 28； A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．（2023秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−2
3=2×1×23−1，2−35=2×2×35
−1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，2
3
），（2，3
5
）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）
A ．（﹣3，4
7
）
B ．（4，4
9
）
C ．（﹣5，
6
11
） D ．（6，
7
13
）
6．（2023秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n +5；②当n 为偶数时，结果为n 2
k
；（其中k 是使n
2k
为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，
例如，取n ＝26．则：
若n ＝49，则第2021次“F ”运算的结果是（ ） A ．68
B ．78
C ．88
D ．98
7．（2023秋•大连月考）我们对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义一种新的运算：|
a
b
c
d
|=ad ﹣bc ．则|−4−2
31|的值为 ．
8．（2023秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a ﹣b +c ，图形
表示﹣x +y ﹣z ，则
+
的值为 ．
9．（2023秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a *b =
a+1
b ，则（13*12
）*2＝ ． 10．（2023秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a 、b ，当a ≤b 时，都有a △b ＝a 2b ；当a ＞b 时，都有a △b ＝ab 2，那么，2△6＝ ；(−2
3
)△(−3)= ．
11．（2023秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x ⨂y ={x 2−2y ，x ＞y
1，x =y
−2xy ，x ＜y
，例如2⨂1＝22﹣2×1
＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ ．
12．（2023•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：
（1）x Θy ＝4x +y ，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根据以上规则，计算[1Θ(−1
2)]+[(−2)Θ19
4]= ．
13．（2023秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b= a+b+|a−b|
2．
（1）计算：（﹣6）☆5＝．
（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是．
14．（2023秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a ﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．
（1）计算3⨂（﹣5）的值．
（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．
15．（2023秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab ﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：
（1）（﹣3）⨂6的值；
（2）[2⨂（−3
2）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．
16．（2023秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．
（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号，异号，并把绝对值；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得．
（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝．
（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1
a×b +
1
(a+2)×(b+2)
+
1
(a+4)×(b+4)
+
1
(a+6)×(b+6)
+
1(a+8)×(b+8)
的值．
17．（2023秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a ，b 满足等式a ﹣b ＝ab ．那么称a ，b 是“关联有理数对”，记作（a ，b ）．如：因为3−3
4=12
4−3
4=9
4，3×3
4=9
4．所以数对（3，3
4）是“关联有理数对”．
（1）在数对①（1，12
）、②（﹣1，0）、③（52，5
7
）中，是“关联有理数对”的是 （只
填序号）；
（2）若（m ，n ）是“关联有理数对”，则（﹣m ，﹣n ） “关联有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．
18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b ＝n ，那么b 为n 的“劳格数”，记为b ＝d （n ）．由定义可知：10b ＝n 与b ＝d （n ）表示b 、n 两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d （100）＝2． 理解运用：
（1）根据“劳格数”的定义，填空：d （10﹣
3）＝ ，d （1）＝ ；
（2）“劳格数”有如下运算性质：
若m 、n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ），d （m
n ）＝d （m ）﹣d （n ）；根据运算性
质，填空：
d(a 3)d(a)
= ；（a 为正数）
（3）若d （2）＝0.3010，计算：d （4）、d （5）；
（4）若d （2）＝2m +n ，d （4）＝3m +2n +p ，d （8）＝6m +2n +p ，请证明m ＝n ＝p ．
19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a ，b ，c ，计算a ﹣b ，
a−c 2
，
b−c 3
，
将这三个数的最小值称为a ，b ，c 的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，
1−32
=−1，
−2−33
=−5
3
，所以1，﹣2，3的“分差”为−5
3．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；
（3）调整﹣1，6，x 这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x 的值．
20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：第一列第二列
第一排 1 2
第二排4 3
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为．
（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．。