立体几何高考专题--外接球的几种常见求法

立体几何高考专题--外接球的几种常见求
法
高三微专题：外接球
在立体几何中，外接球问题是一个重点和难点。

其实质是确定球心O的位置和使用勾股定理求解外接球半径（其中底
面外接圆半径r可根据正弦定理求得）。

一、由球的定义确定球心
在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。

简单多面体外接球问题是立体几何中的重点和难点。

二、球体公式
球的表面积公式为S=4R²，球体积公式为V=4/3R³。

三、球体几个结论：
1）长方体、正方体外接球直径等于体对角线长。

2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心。

3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角）。

4）正三棱锥对棱互相垂直。

四、外接球几个常见模型
1.长方体（正方体）模型
例1：长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14。

练1：体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12。

2.正棱锥（圆锥）模型
对于侧棱相等，底面为正多边形的正棱锥，其外接球的球心位置位于顶点与底面外心连线线段（或延长线）上。

半径公
式为R²=(h-R)²+r²（其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理a=2rsinA求得）。

例2：已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为h，体积为V，则这个球的表面积为____。

正四棱锥的高为h，体积为V，易知底面面积为，底面边长为。

正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，得，在中。

由勾股定理，所以球的表面积为。

练2：正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于。

解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥S-ABC的直径为2R=，外接球半径R=，外接球体积V=4/3R³=。

对于侧棱与底面垂直的直棱柱和圆柱，其外接球的球心位置在上下底面外心连线中点处。

半径公式为R²=r²+(h/2)²（其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱柱的高）。

以上是关于外接球的一些常见模型和公式，掌握这些内容对于解决立体几何题目非常有帮助。

文章中的公式需要进行排版，应该写成：
公式：R2 = r2 + (h/2)2，其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理计算（一边一对角） r = (a/2)sinA
例3：在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，
∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）。

A.11π B.7π C.1040π D.π33
解析：在△ABC中，BC=AC+AB-2ABcos120°=7，
∠ABC=∠ACB=2π/3
BC=7，△ABC的外接球直径为
2r=BC/sin∠BAC=7/(√3/2)= (14/√3)
R2=r2+(h/2)2=(14/√3)2+(2/2)2=40/3，R=√(40/3)=
(2/√3)√10，S=4πR2=π(40/3)= (40/3)π
选D
练3：
1）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于。

解析：BC=2√3，2r=BC/sin∠BAC=2√3/(√3/2)=4，
∴S=4πr2=16π
答案：16π
2）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2
的同一个球面上，则该圆柱的体积为。

解析：该圆柱可以看成是一个长方体，长为2，宽为1，
高为1，∴V=2×1×1=2
答案：2
4.侧面与底面垂直的锥体：三棱锥P-ABC中，平面
PAC⊥平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为。

例4：
解析：连接PH，OH为三棱锥P-ABC外接球的球心，
∠PHA=∠PBA=60°，∠HAP=∠BAP-∠BAH=60°-30°=30°PH=AHsin30°=2×(1/2)=1，∴OH=√(OP2-HP2)=√(3-1)=√2
R=OH=√2
答案：√2
练4：
1）已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E-ABCD的
外接球的表面积为。

解析：将矩形ABCD折叠成一个四棱锥，底面为△ABC，顶点为D，此时E-ABCD为一个五棱锥，底面为△ABC，顶
点为E，此五棱锥的外接球半径为OA，其中O为五棱锥的外心，A为底面△ABC的外心，
∴OA=√(AE2+AO2)=√(32+(1/2)2)=√(37/4)
S=4πR2=37π/2
答案：37π/2
2）（2017新课标）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在
球O的球面上，SC是球O的直径。

若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面
积为________
解析：连接SO，OH为三棱锥S-ABC外接球的球心，
∠OHS=∠OAS=∠OBS=90°，∠ASB=∠ASC=∠BSC=π/3 SOB=2π/3，SB=BC，∴∠OBC=π/6，∴∠OBA=π/3-
π/6=π/6
OAB=π/2-π/6=π/3，∠OAS=90°，∴∠SAB=π/6
SA=AC，∠SAC=π/2-π/6=π/3，∴∠ASC=π/3，
∴∠SBC=π/3，∴∠SBA=π/6
SB=BC，∠SBC=π/6，∴∠SAC=π/3，∴∠SAB=π/6
三棱锥S-ABC为正三角锥，底面为△ABC，高为OH，
∴V=1/3×S△ABC×OH=1/3×(1/2)×(SA)2×OH=9
OH=√(54/SA2)=√(54/4)=3√3/2
R=OH+OS=3√3/2+1= (3√3+2)/2
S=4πR2=36π+12√3π+3/2π= (75+12√3)/2π
答案：(75+12√3)/2π
墙角模型是一种求解外接球半径的方法，只需找出三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2即可求出球半径R。

例如，在已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°的情况下，可以使用墙角模型求解球O的体积。

具体计算过程为：找出三条垂直的线段，得到2R=a+b+c=PA+AB+PB=2+2+2=6，因此R=3，球O的体积为V=4/3πR^3=4/3π27=36π/3=12π。

对棱相等模型是一种求解外接球半径的方法，适用于已知三组对棱分别相等的三棱锥。

首先画出一个长方体，并标出三组互为异面直线的对棱，设长方体的长宽高分别为a,b,c，
AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，然后列方程组求解。

具体计算过程为：根据已知条件得到a^2+b^2=x^2，
b^2+c^2=y^2，c^2+a^2=z^2，然后代入公式
2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x+y+z)即可求出球半径R。

例如，在已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4的情况下，可以使用对棱相等模型求解外接球的表面积。

具体计算过程为：设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，根据已知条件列出方程组a^2+b^2=9，b^2+c^2=4，
c^2+a^2=16，解得2(a^2+b^2+c^2)=29，因此
2R=2(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=29/4，球的表面积为S=4πR^2=29π。