2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)

2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）
高三数学（理科）
一、选择题（60分）
1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A B＝
A、{x|x＞－3}
B、{x|－3＜x＜3}
C、{x|x＞－2}
D、{x|－2＜x＜3}
2、若,a b R
∈，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝
A、－1
B、1
C、2
D、3
3、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是
A 、4B、6C、
2D、
4、采用系系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为
A、4
B、5
C、6
D、7
5、如右图所示，程序框图输出的结果为
A、15
B、16
C、136
D、153
6、在平面直角坐标系中，不等式组
10
40
x
x y
x y
-≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪-+≥
⎩
，表示的平面区域的面积是
A、3
B、9
2
C、6
D、9
7、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好落在CE 与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是
A、1
5
B、
1
6
C、
1
7
D、
2
3
8、函数
2
cos2
3
x
y x
=-的图象大致是
9、若
7
cos(2)
38
x
π
-=-，则sin()
3
x
π
+学科网的值为
A 、
14 B 、78 C 、±14 D 、±7
8
10、已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1，则实数a 的取值范围为 A 、（5,7） B 、（－15,1） C 、（5,10） D 、（－∞,1） 11、如图，棱长为1的正方体ABC －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 为A 1C 1上两动点，且EF ＝1
2
，则下列结论中错误的是
A 、BD ⊥CE
B 、△CEF 的面积为定值
C 、直线BC 与平面CEF 所成的角为定值
D 、直线B
E 与C
F 所成的角为定值 12、已知单位向量e 与向量a ，b 满足：｜a －e ｜＝｜a ｜，（a －b ）²（b －e ）＝0，对每一个确定的向量a ，都有与其对应的向量b 满足以上条件，设M ，m 分别为｜b ｜的最大值和最小值，令t ＝｜M －m ｜，则对任意的向量a ，
实数t 的取值范围是 A 、［0,1］ B 、［0，12］ C 、［1,2
+∞］ D ［1，+∞］ 二、填空题（20分） 13、在6
2
1()x x +
的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。

14、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为＿＿＿
15、若函数21(),1
()2log ,1
x
x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则f （x ）≥2的解集为＿＿＿
16、当*n N ∈时，定义函数N （n ）表示n 的最大奇因数，如
则S （n ）＝＿＿＿＿（用关于n 的代数式表示）。

三、解答题（70分）
17、（本小题满分10分）已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且372a a =，417S = （1）求数列{n a }的通项公式。

（2）求数列{n a }的前n 项和n S 的最大值。

18、（本小题满分12分）
在一次抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，为测量A ，B
两地的距离，救援人员在相
距l米的C，D两地（A，B，C，D在同一平面上），没得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°（如右图）。

考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B距离的1.2倍，问救援人员至少应该准备多长的电线？
19、（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，且AB BC＝1，点E，F分别
为AB，PC中点。

（I）当PA的长度为多少时，EF⊥PD；
（II）在（I）的前提下，求二面角B－PC－D的余弦值。

20、（本小题满分12分）
为参加部队射击比赛，甲、乙两人进行了4天的集中训练，每天的射击数据如下表
甲射击数据表：乙射击数据表：
将射击环数的频率视为概率，估计他们的比赛成绩。

（I）求甲、乙两人射击环数X1，X2的分布列，根据射击环数的期望与方差比较两人的射击水平；
（II）若射击成绩在9环以上（含9环）为成绩优秀，求甲在3次射击中至少有2次成绩优秀的概率。

21、（本小题满分12分）
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右顶点、上顶点分别为M，N，过其左焦点F（－c，0）作垂
直于x 轴的直线l ，且与椭圆在第二象限交于P 点，MN OP λ=。

（1）求椭圆C 的离心率； （2）若椭圆的弦AB 过点E
，0）且不与坐标轴垂直，设点A 关于x 轴的对称点A 1，直线A 1B 与x 轴交于点R （5,0），求椭圆C 的方程。

22、（本小题满分12分）
已知函数()ln a
f x x x
=
-。

（I ）若f （x ）在x ＝1处取得极值，求实数a 的值； （II ）若f （x ）≥5－3x 恒成立，求实数a 的取值范围。

数学（理科答案）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分. 1-5ABABC 6-10DBCCB 11-12DC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 15 14. 3 15. (,1][8,)-∞-+∞ 16.
4233
n + 三、解答题：
17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知732a a =，174=S ，
得11122(6)43
4172a d a d a d +=+⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，………………2分 解得15
12
a d =⎧⎪
⎨=-⎪⎩，1122n n a -∴=
+．……………5分 (Ⅱ)法一：
2
(1)1121441
5.224216n n n S n n -⎛⎫⎛⎫=+-=--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………8分 ∴当n 取１０或１１时，n S 取最大值1
272
．……………10分
法二： 数列{}n a 的10,a >公差0d <，
∴此等差数列{}n a 是首项为正数的递减数列．
当11n =时，1102
n n
a -=
=； 所以当111n n N *
≤≤∈且时，有0;n a ≥
当n 12n N *
≥∈且时，有0n a <．………………8分 综上：当n 取10或11时，1110S S ==1272
． 所以n S 取最大值1
27
2
．………10分 18.解：依题意，CD l =，045=∠ACD ，
在ACD ∆中，0060180CAD =∠-∠-=∠ADC ACD ，
根据正弦定理
60
sin 45sin CD
AD =，∴sin 45sin 60CD AD == ， ……….4分 在BCD ∆中，00135180=∠-∠-=∠BDC BCD CBD ，030=∠BCD
根据正弦定理BD =sin 30sin135CD ︒=︒ , sin 30sin135CD BD == …………………….8分
又在ABD ∆中，090=∠+∠=∠BDC ADC ADB 根据勾股定理有
AB ==
=l 6
42
…………………………10分
实际所需电线长度约为
l AB 5
42
2.1=
………………………….12分 19.解:（Ⅰ）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设PA x =，
则1(0,0,),(1,0,0),(()22
x P x D E C F --- ……………2分
又1(,0,),(1,0,)22
x EF PD x =-=--
2
10022
x EF PD ⋅=+-= ，
所以1x =，
当PA 的长度为1时，EF ⊥PD .………………5分 （Ⅱ）法一：在Rt PBC ∆中作BN ⊥PC ，∴2
1,23==
CN BN . CF=1∴N 为CF 中点。

取ＣＤ中点Ｍ，连结ＭＮ∴ＭＮ//ＤＦ。

又 ＤＦ⊥P Ｃ，∴ＭＮ⊥P Ｃ∴MNB ∠为二面角B －PC －Ｄ的平面角．…………9分 在MNB ∆中23
,21,26=
==
BN MN BM ， ∴cos MNB ∠=3
3-
∴二面角B －PC －Ｄ的余弦值为3
3
-
.…………12分 法二：如图建立空间直角坐标系A-xyz ，
则B （0,2,0）P （1,0,0）C （0,2,1-）D(0,0,1-) 则)1,2,0(-=,)1,2,1(--=,)1,0,1(--= 设平面PBC 的法向量1(,,)x y z =n
∴10PB ⋅= n ，10PC ⋅= n
∴
02,02=-+-=-z y x z y ，令1=y ，则 1=n ，……………8分
同理可得平面PCD 的一个法向量2(1,0,1)=-n ，………………10分 则二面角B －PC －Ｄ的余弦值cos 12,n n =3
3
-
，……………12分 20.解：（Ⅰ） 由甲射击数据表可知，总共射击400次，其中射击7环的频数为40次，8环频数为80次，9环频数为120次，10环的频数为160次.
故 ()14070.1400P X ==
= ()180
80.2400P X === ()112090.3400P X === ()1160
100.4400
P X ===
所以，甲射击环数1X 的分布列为
同理可计算
乙射击环数2X 的分布列
(4)
分
()()119,1E X D X ==;()()229, 1.4E X D X ==
…………………………………………………………6分
甲乙两人射击环数均值相等，甲射击环数方差比乙射击环数方差小,因此甲乙射击的平均水平没有差别，但甲发挥比乙稳定. ………………8分
（Ⅱ）甲在一次射击成绩优秀的概率0.30.40.7P =+= 甲在3次目标射击中至少有2次成绩优秀的概率为：
2
233330.70.30.7C C ⨯⨯+⨯=0.784 …………………………12分
21.解：（Ⅰ）由椭圆方程22221(0)x y a b a b
+=>>得M 、N 的坐标为
M (,0)a ，N (0,)b ，则(,)MN a b =- ，又由2
2
221
x c x y a b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2(,)b P c a - 由(0)MN OP λλ=>
得b c =……………….2分
.…………….4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由1A R BR k k =得
12
1255y y x x -=
--
，又AE BE k k ==，
则2211
55x y x y --==-
1212
20(2)c x c x x +=++．…………8分
1X
7 8 9 10
P 0.1 0.2 0.3 0.4
2X
7 8 9 10
P 0.2 0.1 0.2 0.5
设直线:(AB y k x =-
，则由222
22(x y c y k x ⎧+=⎪
⎨=-⎪⎩
得
22
2
2
(810)(12)05k c k x x -+-+=．
12x x +=，22122(810)5(12)k c x x k -=+．…………10分
代入得220(2c c +=+
c = 所以椭圆方程为22
1105
x y +=．…………12分
22．解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(0,)+∞，2'()x a
f x x
+=-
． '(1)0f =，即1a =-．…………2分
经检验，1a =-符合题意.………………….4分 （Ⅱ）设()()35ln 35a
g x f x x x x x
=+-=
-+-，则当0x >时，()0g x ≥恒成立． (1)20g a =-≥，所以2a ≥．…………6分
22
3'()x x a
g x x --=．方程'()0g x =有一负根1x 和一正根2x .120x x <<．其中1x 不在函数定义域内．
()g x 在2(0,)x 上是减函数，在2(,)x +∞上是增函数．即()g x 在定义域上的最小值为2()g x ．………8分
依题意2()0g x ≥．即2222()ln 350a g x x x x =
-+-≥．又22230x x a --=，所以22
31a
x x =-，因为02
>x a ，31
2>x 。

所以2222()31ln 350g x x x x =--+-≥，即2266ln 0x x --≥，…………10分
令x x x h ln 66)(--=，则x
x x h 1
6)('-=
当1(,)3
x ∈+∞时，0)('
>x h ，所以)(x h 是增函数。

所以2266ln 0x x --≥的解集为),1[+∞ 所以22232a x x =-≥．
即a 的取值范围是[2,)+∞．…………12分
解法二：()53f x x ≥-，即x x x x a 53ln 2+-≥ 设x x x x x g 53ln )(2+-=，则，66ln )('+-=x x x g 设)()('x g x h =，则x
x
x h 61)('-=
，0)1()1('==g h 当),1(+∞∈x 时，0)('<x h ，)()('x g x h =是减函数
0)(<∴x h ，即)(x g 是减函数，2)1()(=<g x g .……………8分
当)1,0(∈x 时，先证1ln -<x x ， 设)1(ln )(--=x x x F ，01)('>-=
x
x
x F ， )(x F 是增函数且0)1(=F ，0)(<x F ，即1ln -<x x ，
当)1,0(∈x 时，22)1(253)1(53ln )(2
2
2
<+--=+--<+-=x x x x x x x x x x g
)(x g 的最大值为2，
即a 的取值范围是[2,)+∞．………………12分。