自动控制原理课后习题答案

第1章控制系统概述
【课后自测】
1-1 试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统，说明它们的工作原理并比较开环控制和闭环控制的优缺点。

解：开环控制——半自动、全自动洗衣机的洗衣过程。

工作原理：被控制量为衣服的干净度。

洗衣人先观察衣服的脏污程度，根据自己的经验，设定洗涤、漂洗时间，洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务。

系统输出量（即衣服的干净度）的信息没有通过任何装置反馈到输入端，对系统的控制不起作用，因此为开环控制。

闭环控制——卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调、冰箱的温度控制系统。

工作原理：以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例，系统的被控制量（输出量）为蓄水箱水位（反应蓄水量）。

水位由浮子测量，并通过杠杆作用于供水阀门（即反馈至输入端），控制供水量，形成闭环控制。

当水位达到蓄水量上限高度时，阀门全关（按要求事先设计好杠杆比例），系统处于平衡状态。

一旦用水，水位降低，浮子随之下沉，通过杠杆打开供水阀门，下沉越深，阀门开度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，阀门全关，系统再次处于平衡状态。

开环控制和闭环控制的优缺点如下表
1-2 自动控制系统通常有哪些环节组成各个环节分别的作用是什么
解：自动控制系统包括被控对象、给定元件、检测反馈元件、比较元件、放大元件和执行元件。

各个基本单元的功能如下：
（1）被控对象—又称受控对象或对象，指在控制过程中受到操纵控制的机器设备或过程。

（2）给定元件—可以设置系统控制指令的装置，可用于给出与期望输出量相对应的系统输入量。

（3）检测反馈元件—测量被控量的实际值并将其转换为与输入信号同类的物理量，再反馈到系统输入端作比较，一般为各类传感器。

（4）比较元件—把测量元件检测的被控量实际值与给定元件给出的给定值进行比较，分析计算并产生反应两者差值的偏差信号。

常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和
电桥等。

（5）放大元件—当比较元件产生的偏差信号比较微弱不足以驱动执行元件动作时，可通过放大元件将微弱信号作线性放大。

如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。

（6）执行元件—用于驱动被控对象，达到改变被控量的目的。

用来作为执行元件的有阀、电动机、液压马达等。

（7）校正元件：又称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，以改善控制系统的动态性能和稳态性能。

1-3 试阐述对自动控制系统的基本要求。

解：自动控制系统的基本要求概括来讲，就是要求系统具有稳定性、准确性和快速性。

稳定性是对系统最基本的要求，不稳定的系统是无法正常工作的，不能实现预定控制任务。

系统的稳定性，取决于系统的结构和参数，与外界因素无关。

所谓稳定性是指：当受到外作用后（系统给定值发生变化或受到干扰因素影响），系统重新恢复平衡的能力以及输出响应动态过程振荡的振幅和频率。

简单来讲，若一个系统稳定，则当其在外部作用下偏离原来的平衡状态，一旦外部作用消失，经过一定时间，该系统仍能回到原来的平衡状态。

反之，系统不稳定。

准确性是衡量系统控制精度的指标，用稳态误差来表示。

当系统达到稳态后，稳态误差可由给定值与被控量稳态值之间的偏差来表示，误差越小，表示系统的输出跟随给定输入信号的精度越高。

快速性反应系统输出响应动态过程时间的长短，表明系统输出信号跟踪输入信号的快慢程度。

系统响应越快，说明系统的输出复现输入信号的能力越强，表明性快速性越好。

在同一个系统中，上述三方面的性能要求通常是相互制约的。

1-4 直流发电机电压控制系统如图所示，图1-17（a）为开环控制，图1-17（b）为闭环控制。

发电机电动势与原动机转速成正比，同时与励磁电流成正比。

当负载变化时，由于发电机电枢内阻上电压降的变化，会引起输出电压的波动。

（1）试说明开环控制的工作原理，并分析原动机转速的波动和负载的变化对发电机输出电压的影响。

（2）试分析闭环控制的控制过程，并与开环控制进行比较，说明负载的作用。

（a）（b）
图1-17 直流发电机电压控制系统
解：（1）这是一个通过调节原动机励磁，控制输出电压的直流发电机系统。

控制作用的实现是输入信号电压控制原动机励磁的电压输出，再有原动机励磁的输出电压控制直流发电机的输出电压，进一步带动负载工作。

由于发电机电动势与原动机转速成正比，同时与励磁电流成正比，所以当原动机转速降低时，发电机输出电压同时降低。

当负载增加时，输出电压同样降低。

（2）该闭环控制系统反馈信号从输出电压得到直接送入电源输入端，形成负反馈控制。

当发电机输出电压减小时，原动机励磁增加，进而使发电机输出电压回升。

1-5 图1-18所示为水位控制系统，分析系统工作原理，指出系统被控对象、被控量、控制器、检测反馈元件、执行元件、给定输入量、干扰量、输出量，并画出系统原理方框图。

图1-18 水位控制系统
解：被控对象：水池；被控量：水位；控制器：放大器；检测反馈元件：浮子、电位器；执行元件：电动机，减速器，阀门；给定输入量：给定水位；干扰量：输出流量与输入流量的变化；输出量：实际水位。

系统工作原理：当输入流量与输出流量相等时，水位的实际测量值和给定值相等，系统处于相对平衡状态，电动机无输出，阀门位置不变。

当输出流量增加时，系统水位下降，通过浮子检测后带动电位器抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零，
系统重新达到平衡状态。

反之易然。

系统原理方框图：
水位给定值
电位计电动机、齿轮阀门水箱
浮子
2
Q
1
Q水位h
h
1-6 图1-19所示为仓库大门控制系统，试说明大门开启和关闭的工作原理。

当大门不能全开或全关时，应该如何调整。

图1-19 仓库大门控制系统
解：当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。

假设门的原始平衡位置在关状态，门要打开时，“关门”开关打开，“开门”开关闭合。

给定电位器与测量电位器输出不相等，其电信号经放大器比较放大，再经伺服电机和绞盘带动门改变位置，直到门完全打开，其测量电位器输出与给定电位器输出相等，放大器无输出，门的位置停止改变，系统处于新的平衡状态。

系统方框图如解图所示。

元件功能
电位器组——将给定“开”、“关”信号和门的位置信号变成电信号。

为给定、测量元件。

放大器、伺服电机——将给定信号和测量信号进行比较、放大。

为比较、放大元件。

绞盘——改变门的位置。

为执行元件。

给定电位器放大器门
测量电位器
开
关
伺服电机
绞 盘
位置
门——被控对象。

系统的输入量为“开”、“关”信号；输出量为门的位置。

当大门不能全开或全关时，应该调整电位器组。

第2章 自动控制系统的数学模型
【课后自测】 2-1
[]1132331223
()()()()
()x k r t c t x x t r t Tx x x x c t k x βτ⎧=--⎪
=⎪⎨
+=+⎪⎪=⎩ 式中，()r t 是输入量，()c t 是输出量；1x ，1x ，1x 为中间变量；τ，β，1k ，2k 为常数。

画出系统的动态结构图，并求传递函数
()
()
C s R s 。

解：对[]1132331223()()()()()x k r t c t x x t r t Tx x x x c t k x βτ⎧=--⎪
=⎪⎨+=+⎪⎪=⎩取拉氏变换可得
[]113231223()()()()()()(1)()()()()()
sX s k R s C s X s X s sR s Ts X s X s X s sC s k X s βτ⎧=--⎪
=⎪⎨
+=+⎪⎪=⎩进一步变换可得
[]11323
1223()()()()()()1()[()()]1
()()
k X s R s C s X s s X s sR s X s X s X s Ts k C s X s s βτ⎧
=--⎪⎪
=⎪⎪
⎨
=+⎪+⎪
⎪=⎪⎩
上式分别作出动态结构图可得
)1()
s
2()
s
3()
X s
)
1
()s
2
()s
3
()
X s
()s
将上面四部分组合可得系统的动态结构图为
()s 求出系统传递函数为
2
22
22
22
()
()(1)
k k
C s
R s s Ts k s k
τ
ττβτ
+
=
+++
2－2 试用复阻抗法求题2－2所示电路的传递函数
()
()
o
i
U s
U s。

1
2
R
2
C
i
u
o
u
1
R
2
R
i
u
o
u
C
L
1
C
（a）（b）
（c）（d）
图2-60 题2－2有源网络和无源网络图
解：题目中要求利用复阻抗法求电路传递函数，分别计算如下：
（a）
1
)
(
1
1
1
//
1
)
(
)
(
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
s
C
R
C
R
C
R
s
C
C
R
R
s
C
R
s
C
R
s
C
C
R
R
s
C
R
s
C
R
s
C
R
s
U
s
U
i
o
（b）
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
)
(
1
//)
(
1
//)
(
)
(
)
(
R
R
s
L
C
R
R
LCs
R
R
Ls
Cs
R
Ls
R
Cs
R
Ls
s
U
s
U
i
o
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
（c）根据理想运算放大器虚短和虚短可得
Cs
R
R
R
R
Cs
R
R
R
R
R
Cs
R
s
U
s
U
i
o
)
(
//)
1
(
)
(
)
(
3
2
3
1
3
2
1
1
3
2
+
+
=
+
-
=
（d）根据理想运算放大器虚短和虚短可得
1
12124122122142132242132243232221432
1
32412)()()1//()1//
()
()
(R s C R R C R R C R R s C C R R R R R s C R R C R R C R R C R R s C C R R R R R s
C R s C R s U s U i o ++++++++++-
=++-=
2－3若某系统的单位阶跃响应为2()1t
t c t e e --=-+，试求系统的传递函数和脉冲传递函
数。

解：根据题意可得
系统输入信号为)()(t t r ε=，对应s s R 1)(=，1)(-=z z z R 输出信号为2()1t t
c t e e --=-+，对应1
1211)(+-
+-=s s s s C ，T
T e
z z
e z z z z z C -------=21)( 则系统传递函数为
232
4111
211)()()(22++++=+-
+-==s s s s s
s s s s R s C s G
系统脉冲传递函数为
T T T T
T T T T ze e z e z z ze ze ze z z z z e z z e z z z z z R z C z G 322233223221
1)()()(--------+--+--+-=
---
---== 2－4已知结构图如题2－4图所示，求传递函数
11221212()()()()
()()()()
C s C s C s C s R s R s R s R s ，，，。

图2-61 题2－4控制系统结构图
解：欲求传递函数
)
()
(11s R s C ，对原系统结构图等效可得
根据等效的系统结构图可得
)
()()()(1)
()()(4321111s G s G s G s G s G s R s C -= 欲求传递函数
)
()
(21s R s C ，对原系统结构图等效可得
根据等效的系统结构图可得)
()()()(1)()()()()(432143121s G s G s G s G s G s G s G s R s C --=
欲求传递函数
)
()
(12s R s C ，对原系统结构图等效可得
根据等效的系统结构图可得)
()()()(1)()()()()(432132112s G s G s G s G s G s G s G s R s C --=
欲求传递函数
)
()
(22s R s C ，对原系统结构图等效可得
1()
G
s 3()
G s 4()
G s 2()
G s
+
2()
C s 2()
R s
根据等效的系统结构图可得
)
()()()(1)()()
(4321322s G s G s G s G s G s R s C -= 2－5 已知控制系统结构图如题2－5图所示，试求（1）系统闭环传递函数
()
()
C s R s ； （2）当1G ，2G ，3G ，4G ，1H 和2H 满足什么样的关系时，输出()C s 不受干扰信号()N s 的影响。

图2-62 题2－6控制系统结构图
解：（1）欲求系统闭环传递函数
()
()
C s R s ，令0)(=s
D ，对原系统结构图等效可得 +
+
1()G s 2()G s
+
3()
G s
+
4()
G s 1()
H s 2()
H s ()
C s ()
R s
绘制相应的信号流图为
12
系统有两条回路bcdef 和efg ，回路增益分别为
)()()(1211s H s G s G L -=、)()()(2322s H s G s G L -=
则该系统的特征式为
)()()()()()(1)(123212121s H s G s G s H s G s G L L ++=+-=∆
系统有两条前向通路，其增益为
通道abcdefg 的增益为)()()(3211s G s G s G P =，余子式11=∆
abcdg 的增益为)()(412s G s G P =，余子式12=∆
用梅逊公式求得系统的传递函数为
)
()()()()()(1)()()()()()(1
)()(232121413212211s H s G s G s H s G s G s G s G s G s G s G P P s R s C +++=∆+∆∆= (2)输出()C s 不受干扰信号()N s 的影响,即
0)
()
(=s N s C ，令0)(=s R ，对原系统结构图等效可得
2－6某系统动态结构图如题2－6图所示，其中()R s 为输入量，()D s 为扰动量，()C s 为
输出量，求系统总的输出()C s 的表达式。

图2-63 题2－6某控制系统结构图
解：系统总输出()C s 由)()(s C s C d r +求得，需要分别求出)(s C r 和)(s C d 欲求系统闭环传递函数)
()
(s R s C r ，令0)(=s D ，对原系统结构图等效可得
1
G 5
G 6
G 2G 3
G 4
G ()
R s ()
C s
()
C s ()
R s 1
G 2G 3
G 4
5
G 6
G -
系统有四条回路，回路增益分别为
3211G G G L -=、6212G G G L -=、513G G L -=、4324G G G L -=
其中3L 和4L 不相接触，则这一对两两不想接触回路的回路增益乘积为
5432143G G G G G L L =
则该系统的特征式为
5
4321432516213214343211)(1G G G G G G G G G G G G G G G G L L L L L L +++++=++++-=∆
系统有一条前向通路，其增益及其余子式分别为
3211G G G P =，余子式11=∆
用梅逊公式求得系统的传递函数为
5
4321432516213213211
11)()()(G G G G G G G G G G G G G G G G G G G P s R s C s r cr ++++++=∆∆==
Φ 欲求系统闭环传递函数
)
()
(s D s C d ，令0)(=s R ，对原系统结构图等效可得
()
C s ()
R s 5
系统有四条回路，回路增益分别为
3211G G G L -=、6212G G G L -=、513G G L -=、4324G G G L -=
其中3L 和4L 不相接触，则这一对两两不想接触回路的回路增益乘积为
5432143G G G G G L L =
则该系统的特征式为
5
4321432516213214343211)(1G G G G G G G G G G G G G G G G L L L L L L +++++=++++-=∆
系统有一条前向通路，其增益及其余子式分别为
321G G P =，余子式5111G G +=∆
用梅逊公式求得系统的传递函数为
5
4321432516213215
32132111)()()(G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G P s D s C s d cd +++++++=∆∆==
Φ )()()()()()()(s D s s R s s C s C s C cd cr d r Φ+Φ=+=
2－7 如题2－7图所示为一系统结构图，试通过结构图简化求取系统传递函数
()
()
C s R s ，()()E s R s ，()()C s
D s ，()
()
E s D s 。

图2-64 题2－7某控制系统结构图
()
D s
1
G 2G 3
G
4
G
1
H 5
G ()
C s ()
R s ()
E s 2
2G H
()
D s
1
G
4
G
5
G ()
C s ()
R s ()
E s
2
2G H 1
2321H G G G +
解：欲求系统闭环传递函数
()
()
C s R s ，对原系统结构图等效可得
1
G 4
G
5
G ()
C s ()
R s
2
2G H 1
2321H G G G +
欲求系统闭环传递函数
()
()
E s R s ，对原系统结构图等效可得
() C s
欲求系统闭环传递函数
()
()
C s
D s
，对原系统结构图等效可得
欲求系统闭环传递函数
()
()
E s
D s
，对原系统结构图等效可得
2－8已知系统的信号流图题如2－8图所示，试求系统的传递函数
() ()
C s
R s。

（a ）
（b ）
（c ）
图2-65 题2－8系统的信号流图
解：
（a ）系统有三条回路，回路增益分别为
121H G L -=、232H G L -=、343H G L -=
其中1L 和3L 不相接触，则这一对两两不想接触回路的回路增益乘积为
314231H H G G L L =
则该系统的特征式为
3142342312313211)(1H H G G H G H G H G L L L L L ++++=+++-=∆
系统有两条前向通路，其增益及其余子式分别为
543211G G G G G P =，余子式11=∆ 6512G G G P =，余子式12=∆
用梅逊公式求得系统的传递函数为
3
1423423126515432122111)(1
)()(H H G G H G H G H G G G G G G G G G P P s R s C +++++=∆+∆∆=
(b) 系统有五条回路，回路增益分别为
131H G L -=、22H L -=、343H G L -=、4435H G G L -=、54325H G G G L -=
则该系统的特征式为
543244334213542211)(1H G G G H G G H G H H G L L L L L +++++=++++-=∆
系统只有一条前向通路，其增益为543211G G G G G P =，余子式11=∆ 用梅逊公式求得系统的传递函数为
5
43244334213543211
11)()(H G G G H G G H G H H G G G G G G P s R s C +++++=∆∆= （c ）系统有三条回路，回路增益分别为
s C R L 1111-
=、s
C R L 2121-=、s C R L 2231
-= 其中1L 和3L 不相接触，则这一对两两不想接触回路的回路增益乘积为
2
2121311
s C C R R L L =
则该系统的特征式为
s C C R R s C R s C R s C R L L L L L 2121222111313211
1111)(1++++
=+++-=∆ 系统只有一条前向通路，其增益为2
21111
s C C R P =，余子式11=∆
用梅逊公式求得系统的传递函数为
s s C R s C R s C R s C C R R R s
C C R R s C R s C R s C R s C C R P s R s C ++++=
+
+++=∆∆=111222221212212122211122111
1111111
)()(2－9已知系统的信号流图如题2－9图所示，试求系统的传递函数
()
()
C s R s 。

若10K =，为使上述传递函数
()
()
C s R s 保持不变，应如何修改()G s
图2-66 题2－9某系统的信号流图
解：（1）系统有三条回路，回路增益分别为
)
1(5.02
1+-
=s s K L 、)1(12+-=s s L 、)1(5
.23+-=s L 无两两不想接触回路，则该系统的特征式为
)
1(5
.2)1(1)1(5.01)(12321++++++
=++-=∆s s s s s K L L L
系统只有一条前向通路，其增益为)
1(5.02
1+=s s K
P ，余子式11=∆ 用梅逊公式求得系统的传递函数为
K s s s K s s s s s K s s K
P s R s C 5.05.35.0)
1(5.2)1(1)1(5.01)
1(5.0)()(232211+++=++
+++++=∆∆=
（2）若10K =，则系统三条回路增益分别为
2
1)(5.0s
s KG L -
=、s s G L )
(2-=、03=L s s G s
s KG L L L )
()(5.01)(12
321++=++-=∆ 系统前向通路增益为21
)
(5.0s s KG P =，余子式11=∆ 求得系统的传递函数为
)()(5.0)(5.0)()(5.01)
(5.0)()(22
211s sG s KG s s KG s s G s s KG s s KG P s R s C ++=+
+=∆
∆=
题目要求系统传递函数保持不变，则有
K
s s s K
s sG s KG s s KG 5.05.35.0)()(5.0)(5.02
32+++=++ 计算可得
5
.31
)(+=
s s G
2－10已知控制系统结构图如题2－10图所示，试求出它们的传递函数
()
()
C s R s 。

（a
）
（b ）
（c
）
（d ）
（
e
）
（f ）
（g ）
图2-67 题2－10 控制系统结构图
解：（a ）系统动态结构图中发生交叉连接，为消除交叉，可将前向通道中两相邻比较点互换位置，等效动态结构图如图所示
()
R s
+
+
2()
G s 1()H s 2()
H s
1()
G s ()
C s
计算可得系统传递函数为
)
()()()(1)
()()())
()()((1)())(1()()
(221221221221s H s G s H s G s G s G s G s H s H s G s G s G s R s C -++=
-++=
（b ）系统动态结构图中未发生交叉连接，利用并联和反馈即可求出系统传递函数为
)
()()()()()()()(1)
()())
()())(()((1)()()()
(4241323121432121s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s R s C --+++=
-+++=
(c) 根据系统动态结构图画出等效信号流图如图所示
()
R s ()
C s
G
系统只有一条回路，回路增益为
)()(311s G s G L -=
则该系统的特征式为
)()(11311s G s G L +=-=∆
系统有两条前向通路，其通道增益分别为
)(11s G P =，余子式11=∆
)(22s G P =，余子式12=∆
用梅逊公式求得系统的传递函数为
)
()(1)()()(1
)()(31212211s G s G s G s G P P s R s C ++=∆+∆∆= （d ）系统动态结构图可等效为
计算可得系统传递函数为
)()()(1)())(1(1)
()
(21221s G s G s G s G s G s R
s C ++=++= (e)根据系统动态结构图画出等效信号流图如图所示
()
C s G
系统有两条回路，回路增益分别为
)()()(2211s H s G s G L -=、)(12s G L =
无两两不想接触回路，则该系统的特征式为
)()()()(1)(1122121s G s H s G s G L L -+=+-=∆
系统只有一条前向通路，其增益为)()(211s G s G P =，余子式11=∆ 用梅逊公式求得系统的传递函数为
)
()()()(1)()()()(12212111s G s H s G s G s G s G P s R s C -+=∆∆= （f ）根据系统动态结构图画出等效信号流图如图所示
()
R s ()
C s
1
-G
系统有两条回路，回路增益分别为
)(11s G L =、)(22s G L -=、)()(213s G s G L -=、)()(214s G s G L -=
无两两不想接触回路，则该系统的特征式为
)()(2)()(1)(121214321s G s G s G s G L L L L ++-=+++-=∆
系统有四条前向通路，其通道增益分别为
)(11s G P -=，余子式11=∆ )(22s G P =，余子式12=∆ )()(213s G s G P -=，余子式12=∆
)()(214s G s G P =，余子式12=∆
用梅逊公式求得系统的传递函数为
)
()(2)()(1)()()(1
)()(21211244332211s G s G s G s G s G s G P P P P s R s C ++--=∆+∆+∆+∆∆= （g ）根据系统动态结构图画出等效信号流图如图所示
(R s ()
C s
系统有三条回路，回路增益分别为
)()()(1211s H s G s G L =、)()(122s H s G L -=、)()()(2323s H s G s G L -=
无两两不想接触回路，则该系统的特征式为
)()()()()()()()(1)(123212121321s H s G s G s H s G s H s G s G L L L ++-=++-=∆
系统有两条前向通路，其通道增益分别为
)()()(3211s G s G s G P =，余子式11=∆
)(42s G P =，余子式
)()()()()()()()(1)(12321212143212s H s G s G s H s G s H s G s G L L L L ++-=+++-=∆
用梅逊公式求得系统的传递函数为
)()
()()()()()()()(1)()()()(1
)()(4232121213212211s G s H s G s G s H s G s H s G s G s G s G s G P P s R s C +++-=∆+∆∆=
第3章 自动控制系统的是域分析法
【课后自测】
3-1 一阶系统的结构如图所示，其中K K 为开环放大系数，H K 为反馈系数。

设
100K K =，0.1H K =，试求系统单位阶跃作用下的调节时间（0.05∆=）。

如果要求调节
时间为秒，设开环放大系数不变试求反馈系数
图3-35题3-1图
解：由结构图得系统的闭环传递函数为
1()()1()11K
K H K K H
H
K H K K K C s s s K R s s K K s K K K s Φ====+++
1
K H
T K K =
系统误差要求为0.05∆=，则调节时间3s t T = 将100K K =，0.1H K =带入可得33
30.31000.1
s K H t T K K ==
==⨯秒
若要求调节时间为秒，计算H K 值。

此时，33
30.1100s K H H
t T K K K ==
==解得
0.3H K =
3-2 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为4
()(1)
k G s s s =+，求系统在单位阶跃
信号作用下的响应。

解：系统闭环传递函数为
2()()4()()1()4
k k G s C s s R s G s s s Φ=
==+++ 对照二阶系统的标准形式，得2
4n ω=，21n ξω=
因而可求得2n ω=，114
ξ=
< 因此有0.5n ξω=
， 1.9d ωω== 代入欠阻尼状态二阶系统单位阶跃响应可得
0.5()1 1.03sin(1.975)t c t e t -︒=-+
3-3 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为2
()(3)
k G s s s =+，求系统在单位阶跃
信号作用下的响应。

解：系统闭环传递函数为
2()()2()()1()32
k k G s C s s R s G s s s Φ=
==+++ 对照二阶系统的标准形式，得2
2n ω=，23n ξω=
因而可求得n ω=
1ξ=
>
又有1
()R s s
=
，则系统的单位阶跃响应为 221121
()()()3212
C s s R s s s s s s s =Φ==-+
++++ 经拉氏反变换可得
2()12t t c t e e --=-+
3-4 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为()(1)
k K
G s s Ts =
+
（1）试确定系统特征参数,n ξω与实际参数,K T 的关系。

（2）当16,0.25K T ==时，求系统的峰值时间、调节时间和超调量。

（3）欲使超调量为16%，当T 不变时，K 应该如何取值。

解：（1）系统闭环传递函数为
22()()()1()1()k k K
G s C s K T s K R s G s Ts s K s s T T
Φ====
+++++
对照二阶系统的标准形式，得2
n K T ω=，12n T
ξω= 因而可求得n K
T
ω=
，2KT ξ=
（2）当16,0.25K T ==时，代入可得
8n K
T
ω=
=，0.252KT ξ=
= 20.41p d n t πωωξ
=
==-秒
3
1.5s n
t ξω=
=秒
2
1%100%44.4%e ξσ-
-=⨯=
（3）由题意可得2
1%100%16%e ξσ-
-=⨯=解得
0.5ξ= 0.54220.25K KT K
ξ=
==⇒=
3-5 已知单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定该系统的开环传递函数
图3-36 题3-5图
解：由系统单位阶跃响应曲线可知() 1.3,()1,0.1p p c t c t =∞==
()(
)
2
1()%100%
100%30%
p c t c c e ξσ-
--∞=
⨯∞=⨯=
可解得0.36ξ=
22
0.1110.36
p d n n
t πωωξ
=
==
=--
可解得33.8n ω=
代入二阶系统开环传递函数标准形式可得1142
()(24)
K G s s s =
+
3-6 已知系统结构如图所示，试求τ取值多少是，系统才能稳定。

图3-39 题3-6图
解：由系统结构图可得系统闭环传递函数为
3255
()(55)5
s s s s s τ+Φ=
++++
可得系统的闭环特征方程为3
2
(55)50s s s τ++++=
若要求系统稳定，闭环特征方程系数需大于零，可得5501ττ+>⇒>- 列写劳斯表为
321
15515
55
s s s
s ττ+
根据劳斯稳定判据，系统稳定的充要条件为
5501ττ+>⇒>-
0τ>
综合得0τ>
3-7 已知系统结构如图所示，欲使系统具有1σ=以上的稳定裕度，试确定K 的取值范围。

图3-38题3-7图
解：根据题意可得，系统闭环特征方程为
()()()()1()(0.11)(0.41)k k G s C s K s R s G s s s s K
Φ=
==++++ 闭环特征方程为(0.11)(0.41)0s s s K +++= 整理形式可得
320.040.50s s s K +++=
欲使系统具有1σ=以上的稳定裕度，将11s s =-代入原闭环特征方程，得
321110.04(1)0.5(1)(1)0s s s K -+-+-+=
整理上可得
320.040.380.120.540s s s K +++-=
根据劳斯稳定判据，系统稳定的充要条件为
0.540
0.380.120.04(0.54)
K K ->⨯>-
所以K 的取值范围是0.54 1.68K <<
3-8 设单位负反馈控制系统的开环传递函数分别为： （1）()(1)(0.11)k K
G s s s =
++
（2）2
(0.51)
()(1)(0.51)
k K s G s s s s s +=
+++
试确定系统稳定时K 的取值范围。

解：(1)根据题意可得，系统闭环特征方程为
()()()()1()(1)(0.11)k k G s C s K s R s G s s s K
Φ=
==++++ 闭环特征方程为(1)(0.11)0s s K +++= 整理形式可得
211100s s K ++= 210
1101110s K
s s K
根据劳斯稳定判据，系统稳定的充要条件为
0K >
(2)根据题意可得，系统闭环特征方程为
2()()(0.51)()()1()(1)(0.51)(0.51)
k k G s C s K s s R s G s s s s s K s +Φ=
==++++++ 闭环特征方程为2
(1)(0.51)(0.51)0s s s s K s +++++= 整理形式可得
4320.5 1.52(10.5)0s s s K s K +++++=
432210
0.521.5
10.52.50.251.5
(10.5)(2.50.25) 1.52.50.25s K
s K
K
s K
K K K
s K
s K
+-+--- 根据劳斯稳定判据，计算可得系统稳定的充要条件为
1.710K <<
3-9 已知系统闭环特征方程如下： （1）3
2
310400s s s +++=
（2）432
3310s s s s ++++= （3）5
4
3
2
63210s s s s s +++++= （4）6
5
4
3
2
26810440s s s s s s ++++++=
试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，如不稳定指出s 有半平面上根的个数。

并用MATLAB 软件求其特征根进行验证。

解：（1）列出劳斯表
321
110340
10340
s s s
s -
由劳斯表可见，第一列元素的符号改变了两次，表示有两个正实部根（右根），相应的系统为不稳定。

MATLAB 软件求其特征根为： >> p=[1 3 10 40]; >> roots(p) ans =
+ -
（2）列出劳斯表
43210
11133
0()
133
1
s s s s s εεε
-
由劳斯表可见，第一列元素的符号改变了两次，表示有两个正实部根（右根），相应的系统为不稳定。

MATLAB软件求其特征根为：
>> p=[1 3 1 3 1];
>> roots(p)
ans =
+
-
（3）列出劳斯表
5 4 3 2 1 0131 621 85 36
11
8
123
6
1
s
s
s
s
s
s
由劳斯表可见，第一列元素的符号改变了两次，表示有两个正实部根（右根），相应的系统为不稳定。

MATLAB软件求其特征根为：
>> p=[1 6 3 2 1 1];
>> roots(p)
ans =
+
+ -
（4）列出劳斯表
654
3
16104
284284
s s s
s
由于3
s 这一行的元素全为零，使得劳斯表无法往下排列。

可由上一行的元素作为系数组成辅助多项式
42()284p s s s =++
()p s 对s 求导，得
3()
816dp s s s ds
=+ 用系数8和16代替全零行中的零元素，并将劳斯表排完。

6543210
16104
284284
81644
14
s s s s s s s
由上表可知，第一列元素的符号没有变化，表明该特征方程在s 右半平面上没有特征根。

但3
s 这一行的元素全为零，表明有大小相等、符号相反的实根和（或）共轭根。

MATLAB 软件求其特征根为： >> p=[1 2 6 8 10 4 4]; >> roots(p) ans =
- + - + -
3-10已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试求系统的稳态位置误差系数
p K 、稳态速度误差系数v K 和稳态速度误差系数a K ，并确定当输入信号为2(),5,t t t ε和
215t t ++时系统的稳态误差ss
e 。

（1）10
()(0.11)(0.51)k G s s s =
++
（2）2
()(1)(0.51)k G s s s s =
++
（3）28(1)
()(0.11)k s G s s s +=
+
（4）25(31)
()(21)(2)
k s G s s s s +=
++
解：（1）劳斯判据判断可得该系统稳定，根据系统开环传递函数
10
()(0.11)(0.51)
k G s s s =
++分别求出系统
111
()(),()r t t R s s
ε==
时，静态位置误差系数为 0
010
lim ()lim
10(0.11)(0.51)p k s s K G s s s →→===++，此时01111111
ssr p p R e K K =
==++ 200()5,5r t v t t v ===时，静态速度误差系数
10
lim ()lim 0(0.11)(0.51)
v k s s K sG s s
s s →→===++，此时0250ssr v v e K ===∞
223001
(),22
r t a t t a ===时，静态加速度误差系数
22
10
lim ()lim 0(0.11)(0.51)
a k s s K s G s s s s →→===++，此时0320ssr a a e K ===∞
2()15r t t t =++时，123ssr ssr ssr ssr e e e e =++=∞
（2）劳斯判据判断可得该系统稳定，根据系统开环传递函数2
()(1)(0.51)
k G s s s s =++分别求出系统
111
()(),()r t t R s s
ε==
时，静态位置误差系数为 0
2
lim ()lim
(1)(0.51)
p k s s K G s s s s →→===∞++，此时011011ssr p p R e K K =
==++ 200()5,5r t v t t v ===时，静态速度误差系数
2
lim ()lim 2(1)(0.51)
v k s s K sG s s
s s s →→===++，此时025 2.52ssr v v e K ===
223001
(),22r t a t t a ===时，静态加速度误差系数
22
2
lim ()lim 0(1)(0.51)
a k s s K s G s s s s s →→===++，此时0320ssr a a e K ===∞
2()15r t t t =++时，123ssr ssr ssr ssr e e e e =++=∞
（3）劳斯判据判断可得该系统稳定，根据系统开环传递函数2
8(1)
()(0.11)
k s G s s s +=+分别求出系统
111
()(),()r t t R s s
ε==
时，静态位置误差系数为 20
8(1)
lim ()lim
(0.11)
p k s s s K G s s s →→+===∞+，此时01
1011ssr p p R e K K ===++ 200()5,5r t v t t v ===时，静态速度误差系数
2
8(1)
lim ()lim (0.11)
v k s s s K sG s s
s s →→+===∞+，此时0250ssr v v e K ===∞ 223001
(),22
r t a t t a ===时，静态加速度误差系数
22
2
8(1)
lim ()lim 8(0.11)a k s s s K s G s s s s →→+===+，此时0320.258ssr a
a e K === 2()15r t t t =++时，1230.25ssr ssr ssr ssr e e e e =++=
（4）劳斯判据判断可得该系统不稳定 3-11 一单位负反馈控制系统，若要求 （1）跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2
（2）设该系统为三阶系统，其中一对复数闭环极点为11j -± 求满足上述要求的开环传递函数。

解：根据已知条件，可知系统是I 型三阶系统，因而令其开环传递函数
2()()
K K
G s s s bs c =
++
因为120.5,0.5ss v v K
e K K c K c
=
=⇒=== 按照定义0
lim ()v k s K
K sG s c
→== 相应闭环传递函数为：
32232
()(2)()(2)(22)2K K K
s s bs cs K s s s s p s p s p s p
Φ=
==+++++++++++ 可得1
24
22220.53
p p b c p c K p K c b =⎧+=⎧⎪=⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎪
==⎩⎪=⎩
所求开环传递函数为2
2
()(34)
K G s s s s =
++ 3-12 已知系统结构如图所示，其中12()()()()r t d t d t t ε===试求 （1）在()r t 作用下系统的稳态误差
（2）在1()d t 和2()d t 同时作用下系统的稳态误差
图3-39 题3-12图
解：（1）当系统输入信号为()()r t t ε=时，系统结构图等效为
()
R s -
()
C s 1s s +10(0.21)
s s +
根据系统等效结构图可以得出，此时系统开环传递函数210(1)
()(0.21)
K s G s s s +=
+，闭环特
征方程为3
2
0.210100s s s +++=，劳斯稳定判据可得系统稳定。

静态位置误差系数为
2
10(1)
lim ()lim
(0.21)
p k s s s K G s s s →→+===∞+，此时01011ssr p p R e K K ===++ （2）当系统输入信号为1()
()d t t ε=时，系统结构图等效为
1()
d E s 1s s
+10
(0.21)s s -
+1()
D s
由动态结构图可得1432
2
10
10(0.21)
()10(1)0.210101(0.21)
ed s s s s s s s s s s -
+Φ==-++++++ 11110
4320lim ()lim ()()
110
lim ()0.21010ssd d ed s s s e s E s s s D s s s s s s s
→→→==Φ=-=∞+++
2()
d E
s 1s s +10(0.21)
s s +1()
D s 1
-
由动态结构图可得32
232
2
10.2()10(1)0.210101(0.21)
ed s s s s s s s s s -+Φ==-++++++ 22220
32
320lim ()lim ()()
10.2lim ()00.21010
ssd d ed s s s e s E s s s D s s s s s s s s →→→==Φ+=-=+++
12ssd ssd ssd e e e =+=∞
3-13 已知系统结构如图所示，其中()()()r t d t t ε==
（1）当10K =和20K =，求系统的稳态误差，并进行比较。

（2）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节对结果有什么影响，在扰动作用点之后引入积分环节对结果又有什么影响。

图3-40 题3-13图
解：（1）当系统输入信号为()()r t t ε=时，系统结构图等效为
()
R s -
()
C s 0.051
K
s +25
s +
根据系统等效结构图可以得出，此时系统开环传递函数2()(0.051)(5)
K K
G s s s =
++，闭
环特征方程为2
0.05 1.25520s s K +++=。

当10K =和20K =时，可分别判断系统均能达到稳定。

静态位置误差系数为
02lim ()lim
0.4(0.051)(5)p k s s K
K G s K s s →→===++，此时01110.4ssr p R e K K
==++
当10K =和20K =时，系统给定信号作用下的稳态误差分别为和1
9
当系统输入信号为()()d t t ε=时，系统结构图等效为
由动态结构图可得
2
2
25()2(0.051)(0.05 1.2552)1(0.051)(5)
ed s s K s s s K s s -
+Φ==-+++++
++ 0
20lim ()lim ()()
122lim (0.051)(0.05 1.2552)52ssd d ed s s s e s E s s s D s s s s s s K K
→→→==Φ⎡⎤=-=⎢⎥+++++⎣⎦
当10K =和20K =时，系统扰动信号作用下的稳态误差分别为和
2
45
综上可得当10K =，系统稳态误差为0.20.080.28ss ssr ssd e e e =+=+= 当20K =，系统稳态误差为120.15945
ss ssr ssd e e e =+=
+≈ （2）扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节之和决定系统响应扰动作用的型别，与扰动作用点之后的前向通道积分环节数无关。

如果在扰动作用点之前的前向通道或主反馈通道中设置γ个积分环节，必可消除系统在扰动信号作用下的稳态误差。

第4章 线性系统的根轨迹分析法
【课后自测】
4-1 已知系统开环传递函数的零极点分布如图所示，试绘制系统概略根轨迹图
图4-17 题4-1图
解：
σj ωσj ωσj ωσ
j ω
σj ωσj ω
σj ω
σ
j ω
4-2 系统的开环传递函数为*
()(1)(2)(4)
k K G s s s s =+++
(1)试用相角条件证明该系统的根轨迹通过点(1,3)j -
（2）求在闭环极点(1,3)j --时系统的根轨迹增益*
K
解：（1）若点在根轨迹上，则点应满足相角条件如图所示，
对于，由相角条件
∠"
满足相角条件，因此=-1在根轨迹上。

将代入幅值条件：
解出
4-3 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统的根轨迹
（1）
*
()
(1)(3)(5)
k
K
G s
s s s
=
+++
（2）
*(8) ()
(5)(10)
k
K s
G s
s s s
+
=
++
解：
（1）①,总共3条根轨迹，其中极点分别为
②确定实轴上轨迹，
③渐近线
④确定根轨迹分离点
,令,
⑤确定根轨迹与虚轴交点，令代入特征方程，
画出根轨迹图如下
（2）
①,总共3条根轨迹，一条趋于零点，两条趋于无穷远，其中零极点分别为
②确定实轴上轨迹，
③渐近线
④确定根轨迹分离点
得出
画出根轨迹图如下
4-4已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统的根轨迹
（1）
*2
22
(24)
()
(22)(825)
k
K s s
G s
s s s s
++
=
++++
（2）
*(8) ()
(2)(5)
k
K s
G s
s s s
+
=
++
解（1）
①,总共4条根轨迹，两条趋于零点，两条趋于无穷远，其中零极点分别为
②实轴上无轨迹
③渐近线
④出射角和入射角
=223
=
画出根轨迹图如下：
（2）
①,总共3条根轨迹，一条趋于零点，两条趋于无穷远，其中零极点分别为
②确定实轴上轨迹，
③渐近线
④确定根轨迹分离点
得出
⑤确定根轨迹与虚轴交点，令代入特征方程，
画出根轨迹图如下
4-5已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*
()(2)(4)
k K G s s s s =++，若已知一对复数
主导极点的阻尼比0.707ξ=，求对应的根轨迹增益*
K ，相对应的主导极点和另一极点 解：0.707ξ=，
，因而设一对主极点
根据三角和公式得：
得
一对主极点分别为（，），（，）。