2017年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷(理科)

2017年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）
A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}
2．已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
3．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（）
A．y=sin（+）B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（﹣
）
4．若向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），则下列说法中正确的个数是（）
①⊥；②向量与向量的夹角为90°；③对同一平面内的任意向量，都存在
一对实数k1，k2，使得=k1+k2．
A．3 B．2 C．1 D．0
5．已知函数f（x）=f（log23）的值为（）
A．B．C．D．
6．直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）
A．（，）∪（，）B．（，）C．（0，）∪（，π） D．[0，π）
7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）
A．4 B．8 C．12 D．20
8．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（）
A．B．C． +4+D．π+8+
9．图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=e x﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）
A．B． C．1﹣D．1﹣
10．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c ﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）
A．4 B．2 C．D．1
11．已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所
截得的弦长为（）
A．2 B．2 C．D．
12．已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）
A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），则++…+的值为．
14．已知等差数列{a n}满足：a1+a5=4，则数列{2}的前5项之积为（用数字作答）
15．设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）
的最大值为2，记m为+的最小值，则y=sin（mx+）的最小正周期为．16．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，
∠ABC=120°，若球O的体积为，则三棱锥O﹣ABC的体积是．
三、解答题（共70分）
17．（12分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣在（0，
+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}（n∈N*）
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
18．（12分）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查
中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：
（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由
附：独立性检验统计量K 2=，n=a +b +c +d
19．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，且△ABC 是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD 与平面ABDE 所成角的余弦值为，
F 是线段CD 上一点．
（Ⅰ）若F 是线段CD 的中点，证明：平面CDE ⊥面DBC ； （Ⅱ）求二面角B ﹣EC ﹣D 的平面角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，P 是椭圆C
上任意一点，且点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于+1
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，设N 为椭圆上
一点，是否存在整数t，使得t•=+（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y= x，求实数a，b的值；
（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴
为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点
（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求+的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．
2017年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）
A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}
【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．
【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可．
【解答】解：∵
化简得：P={x|0＜x＜2}
而Q={x||x﹣2|＜1}
化简得：Q={x|1＜x＜3}
∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，
∴P﹣Q={x|0＜x≤1}
故选B
【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．
2．已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．
【解答】解：（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，
∴a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴a2﹣1=0，﹣2a=﹣2，∴a=1．
则|ai|=|i|=1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（）
A．y=sin（+）B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（﹣
）
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】由题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项B或C，再由在[﹣，
]上是增函数进一步判断只有C符合．
【解答】解：由图象的相邻两条对称轴间的距离是，可知，T=π，选项B、C满足．
由x∈[﹣，]，得2x∈[0，π]，函数y=cos（2x+）为减函数，不合题意．
由x∈[﹣，]，得2x﹣∈[，]，函数y=sin（2x﹣）为增函数，符合合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．
4．若向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），则下列说法中正确的个数是（）
①⊥；②向量与向量的夹角为90°；③对同一平面内的任意向量，都存在
一对实数k1，k2，使得=k1+k2．
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可判断①②；由向量共线定
理，可得，共线，由平面向量基本定理，即可判断③．
【解答】解：向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），
由•=1×2+（﹣2）×1=0，可得⊥，故①正确；
由•=1×（﹣4）+（﹣2）×（﹣2）=0，可得⊥，故②正确；
由=﹣2可得，共线，由平面向量基本定理，
可得对同一平面内的任意向量，不都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．故③错误．
综上可得，正确的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的性质，主要是向量垂直的条件：数量积为0，考查平面向量基本定理的运用以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．
5．已知函数f（x）=f（log23）的值为（）
A．B．C．D．
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据log23的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于3时代入f（x）的解析式求值．
【解答】解：由f（x）=，
∵log23＜3，∴f（log23）=f（log23+1）=f（log26），
由log26＜3，∴f（log26）=f（log26+1）=f（log212），
∵log212＞3，∴f（log23）=f（log212）==．
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，关键是
注意适用范围，是基础题．
6．直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）
A．（，）∪（，）B．（，）C．（0，）∪（，π） D．[0，π）
【考点】直线与双曲线的位置关系．
【分析】首先根据题意直线l：y=k（x+）与曲线x2﹣y2=1（x＜0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．
【解答】解：曲线x2﹣y2=1（x＜0）的渐近线方程为：y=±x
直线l：y=k（x+）与相交于A、B两点
所以：直线的斜率k＞1或k＜﹣1
α∈（，）
由于直线的斜率存在：倾斜角a≠，
故直线l的倾斜角的取值范围是（，）∪（，）
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系．
7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）
A．4 B．8 C．12 D．20
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=4，b=4
时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．
【解答】解：第一次循环，a=36，b=28，a＞b，a=8；
第二次循环，a=8，b=28，a＜b，b=20；
第三次循环，a=8，b=20，a＜b，b=12；
第四次循环，a=8，b=12，a＜b，b=4，
第五次循环，a=8，b=4，a＞b，a=4，
第六次循环，a=4，b=4，a=b，不满足条件a≠b，
退出循环，输出a=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
8．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（）
A．B．C． +4+D．π+8+
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，进而可得答案．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，
其表面积由半圆锥的曲面，底面及四棱锥的底面，前，后，右侧面组成，
∵其侧视图是一个等边三角形，
∴半圆锥的底面半径为1，高为，故圆锥的母线长为：2，
故半圆锥的底面面积为：，曲侧面面积为：π，
四棱锥的底面面积为：4，
前后侧面均为腰长为2的等腰直角三角形，面积均为：2，
右侧面是腰为2，底为2的等腰三角形，面积为：，
故组合体的表面积为：π+8+，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
9．图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=e x﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）
A．B． C．1﹣D．1﹣
【考点】定积分；几何概型．
【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．
【解答】解：由题意，阴影部分的面积为（e x﹣1）dx=（e x﹣x）|=e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，
∴该点落在阴影部分的概率是=1﹣．
故选D．
【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题．
10．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c ﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）
A．4 B．2 C．D．1
【考点】余弦定理．
【分析】（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．再
利用余弦定理可得A=．sinA=2sinBcosC，利用正弦定理与余弦定理可得：b=c．因此△ABC是等边三角形．即可得出．
【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．
∴cosA==，
A∈（0，π），∴A=．
∵sinA=2sinBcosC，∴a=2b×，化为：b=c．
∴△ABC是等边三角形．
那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值==4．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）
A．2 B．2 C．D．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，
由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，则|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，
由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，
可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，
由C（0，4），F（，0），可得A（，2），
代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，
即有a=+=，A（，2），
可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，
可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=，
直线OA被圆C所截得的弦长为，
故选D
【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
12．已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）
A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求导数f′（x）=x+tsinx，并设g（x）=f′（x），并求出g′（x）=1+tcosx，由f′（x）在R上单调递增即可得出tcosx≥﹣1恒成立，这样即可求出t的取值范围．
【解答】解：f′（x）=x+tsinx，设g（x）=f′（x）；
∵f′（x）在R上单调递增；
∴g′（x）=1+tcosx≥0恒成立；
∴tcosx≥﹣1恒成立；
∵cosx∈[﹣1，1]；
∴；
∴﹣1≤t≤1；
∴实数t的取值范围为[﹣1，1]．
故选：C．
【点评】考查基本初等函数的求导公式，函数的单调性和函数导数符号的关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），则++…+的值为﹣
1．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，
可得0=1+++…+，即可得出．
【解答】解：由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），
令x=0，可得1=a0．
令x=，可得0=1+++…+，
∴++…+=﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．已知等差数列{a n}满足：a1+a5=4，则数列{2}的前5项之积为1024（用数字作答）
【考点】数列的求和．
【分析】根据等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=2a3=4，即可求出前5项和，再根据指数幂的运算性质即可求出答案．
【解答】解：∵等差数列{a n}满足：a1+a5=4，
∴a1+a5=a2+a4=2a3=4，
∴a1+a5+a2+a4+a3=4+4+2=10，
∴数列{2}的前5项之积为2=210=1024，
故答案为：1024
【点评】本题考查了等差数列的性质和指数幂的运算性质，属于中档题
15．设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）
的最大值为2，记m为+的最小值，则y=sin（mx+）的最小正周期为π．【考点】简单线性规划．
【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的最小正周期，求出结果．
【解答】解：设x、y的线性约束条件，如图所示：
解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，
即：a+b=2，
所以： +=≥2，
则y=sin（2x+）的最小正周期为π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的最小正周期，属于基础题型．
16．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，
∠ABC=120°，若球O的体积为，则三棱锥O﹣ABC的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．
【分析】由已知条件可求出AC，求出△ABC的面积，设球半径为R，由球的体积可解得R，再设△ABC的外接圆的圆心为G，进一步求出OG，则三棱锥O﹣ABC 的体积可求．
【解答】解：三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，
则AC=，
∴，
设球半径为R，由球的体积，解得R=4．
设△ABC的外接圆的圆心为G，
∴外接圆的半径为GA=，
∴OG=．
∴三棱锥O﹣ABC的体积是=．
故答案为：．
【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，
逻辑思维能力，是中档题．
三、解答题（共70分）
17．（12分）（2017•曲靖模拟）已知函数f（x）=，函数y=f
（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）根据二倍角公式先化简得到f（x）=tanx，再根据函数零点定理可
得x=+kπ，k∈Z，即可得到数列的通项公式，
（Ⅱ）化简bn=（﹣），再裂项求和即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）===tanx，
∵y=f（x）﹣=0，
∴tanx=，
∴x=+kπ，k∈Z，
∵函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}，
∴a n=+（n﹣1）π，
（Ⅱ）b n====（﹣
），
∴数列{b n}的前n项和S n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）
=
【点评】本题考查了三角函数的化简和函数零点定理以及数列的通项公式和裂项
法求前n 项和，属于中档题
18．（12分）（2017•曲靖模拟）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：
（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由
附：独立性检验统计量K 2=，n=a +b +c +d
【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．
【分析】（1）分层从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人，若从这8份问卷中随机抽取3份，随机变量X=0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；
（2）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得K 2的观测值k ，即可得出．
【解答】解：（1）从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人．…（2分） 则随机变量X=0，1，2，…（3分）
∴P（X=0）==；P（X=1）==，P（X=2）==…（6分）
分布列为
…（7分）
E（X）=0×+1×+2×=．…（8分）
（2）K2=≈2.930 …（10分）
由表可知2.706＜2.93＜3.840；
∴P=0.10．…（12分）
【点评】本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2017•曲靖模拟）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE
所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．
（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；
（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CDE⊥平面DBC．
（Ⅱ）求出平面DEC 的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，
∵DB⊥平面ABC，DB⊂平面ABDE，
∴平面ABDE⊥平面ABC，
∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，
又OC⊂平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，
∴OC⊥平面ABD，
∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD与平面ABDE所成角，
∵CD与平面ABDE所成角的余弦值为，
∴CD与平面ABDE所成角的正弦值为，∴sin，
∵OC=2，∴CD=4，BD=4，
取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，4），E（0，
﹣2，2），F（，1，2），
∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），
∴，，
∴EF⊥BC，EF⊥BD，
∵DB，BC⊂平面DBC，且DB∩BC=B，
∴∴EF⊥平面DBC，又EF⊂平面BDF，
∴平面CDE⊥平面DBC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当F是线段CD的中点时，得BF⊥平面DEC，
又=（），
则可取平面DEC 的一个法向量==（），
设平面BCE的一个法向量=（x，y，z），
=（2，﹣2，0），=（2，2，﹣2），
则，
取x=1，得=（1，），
则cos＜＞===，
sin＜＞=，
∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．
20．（12分）（2017•曲靖模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率
为，P是椭圆C上任意一点，且点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，设N为椭圆上
一点，是否存在整数t，使得t•=+（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义．
【分析】（Ⅰ）由离心率为，可得a2=2b2，代入点（0，﹣1），可求解a，b 的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于
0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入t•
=+后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k 的范围确定t的范围，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题知离心率为，所以a2=2b2．
又因为点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1，
所以a+c=+1，所以b2=1，a2=2．
故C的方程为=1…（3分）
（Ⅱ）由题意知直线直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由y=k（x﹣2）代入=1，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．
△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，
∴k2＜．…
x1+x2=，x1x2=，
∵t•=+，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．
∴x=，y=﹣．…（8分）
∵点N在椭圆上，∴[]2+2•[﹣]=2，
∴16k2=t2（1+2k2），
∴t2=＜4，
∴﹣2＜t＜2．
∴整数t值为﹣1，0，1．…（12分）
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．
21．（12分）（2017•曲靖模拟）设函数f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y= x，求实数a，b的值；
（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），
求h（a）的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将（0，﹣1），代入f（x），即可求得b的值，求导，由f′（1）=﹣2，即可求得a的值；
（Ⅱ）求导，g′（x）=e x﹣2a，分类分别取得g（x）在区间[0，1]上的最小值h （a）解析式，根据函数的单调性即可求得h（a）的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，则过点（0，﹣1），代入f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，
则1+b=﹣1，则b=﹣2，求导f′（x）=e x﹣2ax﹣e，
由f′（1）=﹣2，即e﹣2a﹣e=﹣2，则a=1，
∴实数a，b的值分别为1，﹣2；
（Ⅱ）f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣e，g′（x）=e x﹣2a，
（1）当a≤时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a≤e x恒成立，
即g′（x）=e x﹣2a≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，
∴g（x）≥g（0）=1﹣e．
（2）当a＞时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a＞e x恒成立，
即g′（x）=e x﹣2a＜0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴g（x）≥g（1）=﹣2a
（3）当＜a≤时，g′（x）=e x﹣2a=0，得x=ln（2a），
g（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，
所以g（x）≥g（ln2a）=2a﹣2aln2a﹣e，
∴h（a）=，
∴当a≤时，h（a）=1﹣e，
当＜a≤时，h（a）=2a﹣2aln2a﹣e，求导，h′（a）=2﹣2ln2a﹣2=2ln2a，
由＜a≤时，h′（a）＜0，
∴h（a）单调递减，h（a）∈（1﹣e，﹣e]，
当a＞时，h（a）=﹣2a，单调递减，h（a）∈（﹣∞，﹣e），
h（a）的最大值1﹣e．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•曲靖模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin
（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N 两点
（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求+的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：
．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，可得
+=+==即可得出．
【解答】解：（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：
，化为：．
曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．
（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，
t1+t2=1，t1t2=﹣1．
∴+=+====．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•曲靖模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．
【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求出f（x）的最小值，即可求实数a的最小值M；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求++的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|，
∵关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，
∴|a﹣2|≤a，∴a≥1，
∴实数a的最小值M=1；
（Ⅱ）m+2n+3p=1， ++=（++）（m+2n+3p）≥（+2+）2=16+8，
∴++的最小值为16+8．
【点评】本题考查绝对值不等式的运用，考查柯西不等式在最值中的应用，考查计算能力．。