高中数学人教A版选修4-5第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件

≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2

＝(a＋b)2，
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件 和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、 配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式， 从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
＝62x＋32＋1－2x＝6×52＝15.
其中等号成立的充要条件是
2x＋32＝ 2
1－2 2x，解得 x＝－13.
10．试求函数 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x的最大值，并求出相 应的 x 的值． 解：设 m＝(3,4)，n＝(cos x， 1＋sin2x) 则 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x＝|m·n|≤|m|·|n| ＝ cos2x＋1＋sin2x· 32＋42＝5 2 当且仅当 m∥n 时，上式取“＝”． 此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0. 解得 sin x＝ 57，cos x＝352.故当 sin x＝ 57，cos x＝352时． f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值 5 2.
1．已知 a，b∈R＋且 a＋b＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
的关系是
()

A．P≤Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P＞Q
解 析：设 m＝ ( ax， by)，n＝( a， b)，则|ax＋by|＝
|m·n|≤|m||n| ＝ ax2＋ by2 · a2＋ b2 ＝
()
A. 3 C．3
B. 5 D．5
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x
≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5(当且仅当 x＝256时 取等号)． 答案：B
5．设 xy>0，则x2＋y42·y2＋x12的最小值为________． 解 析 ： 原 式 ＝ x2＋2y2 1x2＋y2 ≥ x·1x＋2y·y 2 ＝ 9.(当且仅当 xy＝ 2时取等号)
a2＋b2· 12＋12≥a＋b，
即 2· a2＋b2≥a＋b.
同理： 2· b2＋c2≥b＋c，
2· a2＋c2≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得：
2
a2＋b2＋
∴ a2＋b2＋
a2＋c2＋ a2＋c2＋
b2＋c2≥2(a＋b＋c) b2＋c2≥ 2·(a＋b＋c).
利用二维形式的柯西不等式求最值
x·
1＋ x
y·1y2＝2，当且仅当x＋xy＝y＝xy2，，
时等号
成立，此时 x＝1，y＝1. 所以1x＋1y≥2.
9．解方程 4x＋3＋2 1－2x＝ 15.
解：15＝ 2· 2x＋32＋2 1－2x2
≤[(
2)2＋22]·

2x＋322＋ 1－2x2
答案：9
6．设 a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则 a·b 的最小值为________，此时 b＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|， ∴|a·b|≤ －22＋12＋22×6＝18， 当且仅当存在实数 k，使 a＝kb 时，等号成立． ∴－18≤a·b≤18， ∴a·b 的最小值为－18， 此时 b＝－2a＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)
ax2＋by2· a＋b＝ ax2＋by2， ∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.即 P≤Q. 答案：A
2．若 a，b∈R，且 a2＋b2＝10，则 a－b 的取值范围是( )
A．[－2 5，2 5 ]
B．[－2 10，2 10 ]
C．[－ 10， 10 ]
D．(－ 5， 5)
解析：(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2， ∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20. ∴－2 5≤a－b≤2 5. 答案：A
a1b1 )2 ＋
( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥

a1b1·
ab11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
3．设 a，b，c 为正数，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)． 证明：由柯西不等式：
[例 2] 求函数 y＝3sin α＋4cos α 的最大值． [思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值． [解] 由柯西不等式得 (3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5. 当且仅当sin3 α＝cos α>0 即 sin α＝35，cos α＝45时取等号，即 函数的最大值为 5.
一
二
维
形
第
式
三
的
讲
柯
西
不
等
式
理解教 材新知
把握热 点考向
应用创 新演练
考点一 考点二
一
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式的推论： (a＋b)(c＋d)≥ ( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)；
7．设实数 x，y 满足 3x2＋2y2≤6，则 P＝2x＋y 的最大值为 ________．
解析：由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[( 3x)2＋( 2y)2]· 232＋ 122＝(3x2＋2y2)·43＋12
≤6×161＝11当且仅当x＝
4， 11
于是 2x＋y≤ 11.
y＝ 311时取等号，
答案： 11
8．已知 x，y∈R＋，且 x＋y＝2.求证：1x＋1y≥2. 证明：1x＋1y＝12(x＋y)1x＋1y
＝12[ (
x)2＋(
y)2]
1x2＋
1 2 y
≥12
利用柯西不等式证明不等式
[例 1] 已知 θ 为锐角，a，b∈R＋，求证：coas22θ＋sibn22θ≥(a ＋b)2.
[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式， 利用“1＝sin2θ＋cos2θ.”然后用柯西不等式证明．
[证明] ∵coas22θ＋sibn22θ
＝coas22θ＋sibn22θ(cos2θ＋sin2θ)
a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd| (a，b，c，d∈R)； a2＋b2· c2＋d2≥ |ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．
2．柯西不等式的向量形式 定理 2：设 α，β 是两个向量，则 |α·β|≤|α|·|β| ，当且仅当 β 是 零向量 ，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．
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语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
侧时，等号成立．
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1，P2，P3 的坐标分 别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系有|P1P3| ＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1，P2，P3 共线，并且点 P1，P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
4．已知 2x2＋y2＝1，求 2x＋y 的最大值． 解：2x＋y＝ 2× 2x＋1×y≤ 22＋12× 2x2＋y2 ＝ 3× 2x2＋y2＝ 3. 当且仅当 x＝y＝ 33时取等号． ∴2x＋y 的最大值为 3.
5．已知 2x＋3y＝1，求 4x2＋9y2 的最小值． 解：∵(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4， ∴4x2＋9y2≥12. 当且仅当 2×2x＝3y×2，即 2x＝3y 时等号成立． 又 2x＋3y＝1，得 x＝14，y＝16， 故当 x＝14，y＝16时，4x2＋9y2 的最小值为12.
3．已知 x＋y＝1，那么 2x2＋3y2 的最小值是
()
5
6
A.6
B.5
25 C.36
36 D.25
解析：(2x2＋3y2)[( 3)2＋( 2)2]≥
( 6x＋ 6y)2＝[ 6(x＋y)]2＝6，(当且仅当 x＝35，y＝25时
取等号)
即 2x2＋3y2≥65. 答案：B
4．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是
利用柯西不等式求最值 ①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； ②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适 当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； ③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到 目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等 式的方法也是常用技巧之一．
6．求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值及此时 x 的值． 解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得 ( x－6＋ 12－x)2≤(12＋12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x －6＋12－x)＝12， 即 x－6＋ 12－x≤2 3. 故当 x－6＝ 12－x时 即 x＝9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
[注意] 柯西不等式的向量形式中 α·β≤|α||β|，取等号“＝”
的条件是 β＝0 或存在实数 k，使 α＝kβ.
3．二维形式的三角不等式 (1)定理 3： x21＋y21＋ x22＋y22≥
x1－x22＋y1－y22 (x1，
y1，x2，y2∈R)．
当且仅当三点 P1，P2 与 O 共线，并且 P1，P2 点在原点 O 异